1、 1、复合函数的概念 如果 y 是 a 的函数， a 又是 x 的函数，即 y=f（ a）， a=g（ x），那么 y关于 x的函数y=fg（ x） 叫做函数 y=f（ x）和 a=g（ x）的复合函数，其中 a 是中间变量，自变量为 x，函数值 y。 例如：函数 是由 复合而成立。 函数 是由 复合而成立。 a 是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例 对任意 a， 都有意义（ a 0 且 a1 ）且 。 对任意 ， 当 a 1 时， 单调递增，当 0 a 1 时， 单调递减。 当 a 1 时， y=f （ u）是 上的递减函数 是单调递减函数 类似地， 当 0 a 1 时， 是单调递增函数
2、 一般地，定理：设函数 u=g（ x）在区间 M 上有意义，函数 y=f（ u）在区间 N 上有意义，且当 XM 时， uN 。 有以下四种情况： （ 1）若 u=g（ x）在 M 上是增函数， y=f（ u）在 N 上是增函数，则 y=fg（ x） 在 M 上也是增函数； （ 2）若 u=g（ x）在 M 上是增函数， y=f（ u）在 N 上是减函数，则 y=fg（ x） 在 M 上也是减函数； （ 3）若 u=g（ x）在 M 上是减函数， y=f（ u）在 N 上是增 函数，则 y=fg（ x） 在 M 上也是减函数； （ 4）若 u=g（ x）在 M 上是减函数， y=f（ u）在
3、N 上是减函数，则 y=fg（ x） 在 M 上也是增函数。 注意：内层函数 u=g（ x）的值域是外层函数 y=f（ u）的定义域的子集。 例 1、讨论函数的单调性 （ 1） （ 2） 又 是减函数 函数 的增区间是（ - ， 2，减区间是 2， + ）。 x （ -1， 3） 令 x （ -1， 1上， u 是递增的， x1 ， 3）上， u 是递减的 。 是增函数 函数 在（ -1， 1上单调递 增，在（ 1， 3）上单调递减。 注意：要求定义域 练习： 求下列函数的单调区间。 1、（ 1） 减区间 ，增区间 ； （ 2） 增区间（ - ， -3），减区间（ 1， + ）； （ 3） 减
4、区间 ，增区间 ； （ 4） 减区间 ，增函数 。 2、已知 求 g（ x）的单调区间。 提示：设 ，则 g（ x） =f（ u）利用复合函数单调 性解决： g（ x） 的单调递增区间分别为（ - ， -1， 0， 1，单调递减区间分别为 -1， 0， 1， + ）。 例 2、 y=f（ x），且 lglgy=lg3x+lg（ 3-x） （ 1） y=f（ x）的表达式及定义域； （ 2）求 y=f（ x）的值域； （ 3）讨论 y=f（ x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。 答案：（ 1） x （ 0， 3） （ 2）（ 0， （ 3） y=f（ x）在 上单调递增函数，在 上是单
5、调递减函数 当 x 时， ； 当 x 时， 。 例 3、确定函数 的单调区间。 提示，先求定义域：（ - ， 0），（ 0， + ），再由奇函数，先考虑（ 0， + ）上单调性，并分情况讨论。 函数 的递增区间分别为（ - ， -1， 0， + ） 函数 的递减区间分别为 -1， 0），（ 0， 1。 1、求下列函数的单调区间。 （ 1） （ 2） （ 3） 2、求函数 的递减区间。 3、求函数 的递增区间。 4、讨论下列函数的单调性。 （ 1） （ 2） 答案： 1（ 1）递减区间 （ 2）递增区间（ 0， + ）（ 3）递减区间（ - ， 0递增区间 2， + ） 2、 ， 2 3、（ -
6、 ， -2） 4、（ 1）在 上是增函数，在 上是减函数； （ 2） a 1 时，在（ - ， 1）上是减函数，在（ 3， + ）上是增函数； 用待定系数法求函数解析式 一、填空题： 1、已知二次函数 mxxy 32 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 。 2、抛物线 cbxxy 2 过点 (1， 0)，与 x 轴两交点间距离 3，则 b ， c 。 3、抛物线 42 bxxy 与 x 轴只有一个交点，则 b 。 4、抛物线的顶点是 C(2， 3 )，它与 x轴交于 A、 B两点，它们的横坐 标是方程 0342 xx的两个根，则 AB ， S ABC 。 5、如图，二次函数 5)2(2 ax
7、axy 的图象交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C，当线段 AB 最短时，线段 OC 的长是 。 6、若抛物线 cxxy 212 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是 。 7、抛物线 12 mxxy 与 x 轴有 个交点。 二、选择题 1、抛物线 532 2 xy 与 y 轴的交点坐标是 ( ) (A)(0， 5)； (B) (0， 13)； (C) (0， 4)； (D) (3， 5) 2、抛物线 xxy 221 的顶点坐标为 ( ) (A) 211，(B) 211，(C) 1,21(D) ( 1， 0) 3、若抛物线 322 mxmxy 的顶点在 y 轴上，则 m 的值为 ( )
8、 (A) 3 (B)3 (C) 2 (D) 2 4、若抛物线 cxxy 212 的顶点在 x 轴上，则 c 的值为 ( ) (A) 41 ； (B) 41 ； (C) 161 ； (D) 161 5、函数 xxy 32 图象可能为 ( ) 6、若 (2， 5)， (4， 5)是抛物线 cbxaxy 2 上的两点，那么它的对称轴为直线 ( ) (A) abx (B) 1x (C) 2x (D) 3x 7、抛物线 12 mxxy 与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0； (B)1； (C)2； (D)无数个。 三、求符合下列条件的二次函数式图象： 1、过点 (0， 1)， (1， 1)， ( 1， 1)； 2、对称轴是 x 2，经过 (1， 4)和 (5， 0)两点。 3、抛物线与 x 轴的一个交点 (6， 0)，顶点是 (4， 8) 4、当 x 3 时， y 有最大值为 1，且抛物线过点 (4， 3)。 5、抛物线以点 ( 1， 8)为顶点 ，且与 y 轴交点纵坐标为 6。 6、顶点在 x 轴上，对称轴方程 x 3，且经过点 ( 1， 4)。 7、求二次函数 )4()232 mmxmxy （ 的图象与 x 轴两交点间的距离的最小值，此时 m 的值是多少？ 8、二次函数图象经过 A(0， 2)和 B(5， 7)两点，且它的顶点在直线 y x 上。
