1、 C3-1 第三章 部分习题解答 3-10 AB,AC和 DE 三杆连接如图所示。杆 DE 上有一插销 H 套在杆 AC 的导槽内。试求在水平杆 DE 的一端有一铅垂力 F 作用时，杆 AB所受的力。设 DEBCHEDHDBAD , ，杆重不计。 解： 假设杆 AB， DE 长为 2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程： 0CM 02 aFBy 0ByF 取杆 DE 为 研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0HM 0 aFaFDy FFDy 0BM 02 aFaFDx FFDx 2 取杆 AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0yF 0 ByDyAy FFF FFAy (
2、与假设方向相反 ) 0AM 02 aFaF BxDx FFBx (与假设方向相反 ) 0BM 02 aFaF DxAx FFAx (与假设方向相反 ) 3-12 ADACAB , 和 BC 四杆连 接如图所示。在水平杆 AB 上作用有铅垂向下的力 F 。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力 F 的位置如何，杆 AC 总是受到大小等于 F 的压力。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0CM 0 xFbFD FbxFD FCx FCy FD FCx FCy FBx FBy FDx FDy FHy FBx FBy FDy FDx FAx FAy C3-2 取杆 AB 为
3、研究对象，受力如图所 示，列平衡方程： 0AM 0 xFbFB FbxFB 杆 AB 为二力杆，假设其受压。取杆 AB 和 AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0EM 02)2(2)( bFxbFbFF ACDB 解得 FFAC ，命题得证。 注意：销钉 A 和 C 联接三个物体。 3-14 两块相同的长方板由铰链 C 彼此相连接，且由铰 链 A 及 B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为 M 的力偶。如 ba ，忽略板重，试求铰链支座 A 及 B 的约束力。 解： 取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有： 0AM 0)( MMFM B
4、A 即 BF 必过 A 点，同理可得 AF 必过 B 点。也就是 AF 和BF 是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。 取板 AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0CM 045c o s45s in 00 MbFaF AA 解得： ba MFA 2 (方向如图所示 ) 3-20 如图所示结构由横梁 BCAB, 和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求 A 处 的约束力及杆 1， 2， 3 所受的力。 解： 支撑杆 1， 2， 3 为二力杆，假设各杆均受压。选梁 BC 为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为 2qa，作用在 BC 杆中点。
5、列平衡方程： FABx FABy FB FEx FEy FAC FB FA FB FCx FCy FBx FBy F3 C3-3 0BM 0245s in 03 MaqaaF )2(23 qaaMF (受压 ) 选支撑杆销钉 D 为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程： 0xF 045c o s 031 FF qaaMF 21 (受压 ) 0yF 045s in 032 FF )2(2 qaaMF (受拉 ) 选梁 AB 和 BC 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0xF 045c o s 03 FF Ax )2( qaaMF Ax (与假设方向相反 ) 0yF 0445s in 032
6、 qaPFFF Ay qaPFAy 4 0AM 0345s i n242 032 MaFaqaaPaFM A MPaqaM A 24 2 (逆时针 ) 3-21 二层三铰拱由 DGBCAB , 和 EG 四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座 BA, 的约束力。 解： 选整体为研究对象，受力如右图所示。 列平衡方程： 0AM 022 aFaF By FFBy 0BM 022 aFaF Ay FFAy 0xF 0 FFF BxAx (1) 由题可知杆 DG 为二力杆，选 GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点 G，受力如图所示，画出力的FAx FAy FBx FBy D F3
7、 F2 F1 x y FAx FAy F3 F2 MA C3-4 三角形，由 几何关系可得： FFE22。 取 CEB 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0CM 045s in 0 aFaFaF EByBx 2FFBx 代入公式 (1)可得： 2FFAx 3-24 均质杆 AB 可绕水平轴 A 转动，并搁在半径为 r 的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子 AC 拉在销钉 A 上 ，杆重 16N， rACrAB 2,3 。试求绳的拉力和杆 AB 对销钉 A 的作用力。 解： 取杆 AB 为研究对象，设杆重为 P，受力如图所示。列平衡方程： 0AM 060c o s233
8、01 rPrN )(93.61 NN 0xF 060s in 01 NF Ax )(6 NFAx 0yF 060c o s 01 PNF Ay )(5.12 NFAy 取圆柱 C 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0xF 030c o s30c o s 001 TN )(93.6 NT 注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不是杆 AB 对销钉的作用力。 3-27 均质杆 AB 和 BC 完全相同， A 和 B 为铰链连接， C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数 353.0sf 。试求平衡时 角的范围。 FE FG FE FG F FE FBx F
9、By FCx FCy P FAx FAy N1 N2 N1 T C3-5 解： 取整体为研究对象，设杆长为 L，重为 P，受力如图所示。列平衡方程： 0AM 0c o s22s in2 LPLF N tan2 PFN (1) 取杆 BC 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0BM 0c o sc o s2s in LFLPLF sN PFS (2) 补充方程： Nss FfF ， 将 (1)式和 (2)式代入有： 2tan sf ，即 010 。 3-29 不计重量的杆 AB 搁在一圆柱上，一端 A 用铰链固定，一端 B 作用一与杆相垂直的力 F ，如图所示。试： （ 1） 不计圆柱重量，
10、求证各接触面的摩擦角大于 2 时，不论 F 多大，圆柱不会被挤出，而处于自锁状态。 （ 2） 设圆柱重为 P，则圆柱自锁条件为： cos1 sinSCf )c o s1)( s in PaFl Flf SD 证明：（ 1）不计圆柱重量 法 1： 取圆柱为研究对象，圆柱在 C 点和 D 点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力2 FRD FRC 2 FND FSD o FAx FAy FAx FAy FN Fs P P FBx FBy FN Fs P C3-6 RDRC FF , 来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则 RDRC FF , 等值，反向，共 线。由几何关系可知
11、， RDRC FF , 与接触点 C， D 处法线方向的夹角都是2，因此只要接触面的摩擦角大于2，不论 F 多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。 法 2（解析法）： 首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0AM 0 lFaFND FalFND 再取杆 AB 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0AM 0 lFaFNC NDNC FFalF 取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为 R，列平衡方程： 0OM 0 RFRF SDSC SDSC FF 0xF 0c o ss in SDSCNC FFF NDNCSDSC FFFF c o s1 s inc o s1 s in 由
12、补充方程： NDSDSDNCSCSC FfFFfF ,，可得如果： 2t a n,2t a nc o s1 s in SDSC ff FNC FSC FNC FSC FND FSD o C3-7 则不论 F 多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。 证明：（ 2）圆柱重量 P 时 取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力 P， C 点和 D 点处的全约束力 RDRC FF , 。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于 D 点（如图所示）。全约束力 RCF 与 C 点处法线方向的夹角仍为2，因此如果圆柱自锁在 C 点必须满足： 2tanc o s1 s in SCf (1) 该结果与不计圆柱重量时相
13、同。 只满足 (1)式时 C 点无相对滑动，但在 D 点有可能滑动 (圆柱作纯滚动 )。 再选杆 AB 为研究对象，对 A 点取矩可得 FalFNC ，由几何关系可得： FalFSC 2tan 2cos a FlFRC(2) 法 1（几何法）： 圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知： s in)21 8 0(1 8 0s in 00 RCFP 将 (2)式代入可得： )c o s1)( s inta n FlPa Fl因此如果圆柱自锁在 D 点必须满足：)c o s1)( s int a n FlPa Flf SD(3) 即当同时满足 (1)式和 (3
14、)式时，圆柱自锁，命题得证。 法 2（解析法）： 取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： P 2 FRD FRC P FRD FRC 2 FNC FSC FND FSD P C3-8 0xF 0c o ss in SDSCNC FFF 0yF 0c o ss in NCSCND FFPF 解得： FalFF SDSC 2ta n ， )2t a ns in( c o s aFlPF ND 代入补充方程： NDSDSD FfF ， 可得如果圆柱自锁在 D 点必须满足：)c o s1)( s int a n FlPa Flf SD(3) 即当同时满足 (1)式和 (3)式时，圆柱自锁，命题得
15、证。 3-30 如图所示机构中，已知两轮半径量 cmR 10 ，各重 NP 9 ，杆 AC 和 BC 重量不计。轮与地面间的静摩擦因数 2.0sf ，滚动摩擦系数 cm1.0 。今在 BC 杆中点加一垂直力F 。试求： （ 1） 平衡时 F 的最大值 maxF ； 当 maxFF 时，两轮在 D 和 E 点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。 解： 取整体 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 00yxFF 020PFFF FFNENDSESD 由题可知，杆 AC 为二力杆。作用在杆 BC 上的力有主动力 F ，以及 B 和 C 处的约束力 BF和 ACF ，由三力平衡汇交，可确定约束力 B
16、F 和 ACF 的方向如图所示，其中： 31tan ，杆 AC 受压。 FND FNE FSD FSE ME MD FB FAC C3-9 取轮 A 为研究对象，受力如图所示，设 ACF 的作用线与水平面交于 F 点，列平衡方程： 0AM 0 DSD MRF 0FM 0)( DND MRPF 取轮 B 为研究对象，受力如图所示，设 BF 的作用线与水平面交于G 点，列平衡方程： 0BM 0 RFM SEE 0GM 0ta n)( RFPM NEE 解以上六个方程，可得： FPFND 41 ， FPFNE 43 ， FFF SESD 41 ， FRMM ED 41 若结构保持平衡，则必须同时满足
17、： NDD FM ， NEE FM ， NDsSD FfF ， NEsSE FfF 即： PRfPffPfPRPRF ssss 431 4,14,34,4m i n ， 因此平衡时 F的最大值 36.0max F ，此时： )(0 9 1.0 NFF SESD ， )(91.0 cmNMM ED 3-35 试用简捷的方法计算图中所示桁架 1， 2， 3 杆的内力。 解： 由图可见杆桁架结构中杆 CF， FG， EH 为零力杆。用剖面 SS 将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： FAC FND FSD MD F FNE FSE ME FB G F2 F3 F1 S
18、 FG FH S C3-10 0CM 0346c o s1 GH FFF )(58.141 kNF (受拉 ) 0xF 0s in 31 HFFF 3.313 F (受拉 ) 0yF 0c o s12 GFFF 67.412F (受压 ) 3-38 如图所示桁架中， ABCDEG 为正八角形的一半， GBGCAEAD , 各杆相交但不连接。试求杆 BC 的内力。 解：假设各杆均受压。取三角形 BCG 为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0xF 0 CDFF FFCD (受压 ) 取节点 C 为研究对象，受力如图所示。列平 衡方程： 00yxFF 0s in45s in 0c o s45c o s 00 CGBCCGCDBC FF FFF 其中：22 21tan ，解以上两个方程可得： FFBC 586.0 (受压 ) 3-40 试求图中所示桁架中杆 1 和 2 的内力。 解： 取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程： 0AM 0322 aFaFaF B FB 5.2 FG FEG FAB C FBC FCD FCG A B C 3 4 5 FAy FAx FB S S F1 F3 F4 F5 F2
