1、 1 例 5、（衢州市） 如图，已知点 A(-4， 8)和点 B(2， n)在抛物线 上 (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P的坐标，并在 x轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标； (2) 平移抛物线 ，记平移后点 A 的对应点为 A ，点 B 的对应点为 B ，点 C(-2， 0)和点 D(-4， 0)是 x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时， A C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A B CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由 14 年 1 月
2、石景山期末 6. 已知 点 )2,2( A 和 点 ),4( nB 在 抛物线 )0(2 aaxy 上 . （ 1） 求 a 的 值及点 B 的 坐标； （ 2） 点 P 在 y 轴上，且满足 ABP 是以 AB 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标 ; （ 3）平移 抛物线 )0(2 aaxy ， 记平移后点 A 的 对应点为 A ， 点 B 的 对应点 为 B . 点 M（ 2,0）在 x 轴上 ，当抛物线 向 右 平移到某个位置 时 ， MBMA 最短 ，求此时抛物线的函数解析式 . 练习 1、（达州） 15、如图 6，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，
3、 点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、 PQ，则 PBQ 周长的最小值为 _（结果不取近似值） . 2如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A 23 B 26 C 3 D 6 2y ax2y ax4 x 2 2 A 8 -2 O -2 -4 y 6 B C D -4 4 2 3、 滨州市中考第 24 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c 经过 A( 2, 4 )、 O(0, 0)、 B(2, 0)三点 （ 1）求抛物线
4、 y ax2 bx c 的解析式； （ 2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM OM 的最小值 4 、 山西省中考第 26 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A、 B两点，与 y轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点（ 1）求直线 AC 的解析式及 B、 D 两点的坐标； （ 2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l/AC交抛物线于点 Q试探究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以 A、 P、 Q、 C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）请在直线
5、 AC 上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标 图 1 满分解答 5. （年山东聊城）已知 ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20 （ 1）写出 ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； （ 2）当 BC 多长时， ABC 的面积最大？最大面积是多少？ （ 3）当 ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明 6. （江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中 ， RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（ 3， 3 ），点
6、C 的坐 标为（ 12， 0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA PC的最小值为【 】 A 132 B 312 C 3 192 D 2 7 7. （已知点 D 与点 A（ 8， 0）， B（ 0， 6）， C（ a， a）是一平行四边形的四个顶点，则 CD 长的最小值为 . 3 8. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， BE=2， AE=3BE， P 是 AC上一动点，则 PB+PE的最小值是 9.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）的图象过点 C（ 0， 1），顶点为 Q（ 2， 3），点 D在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （ 1）求直线 CD 的
7、解析式；（ 2）求抛物线的解析式； （ 3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45 所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证： CEQCDO ； （ 4）在（ 3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 一、 费马点、 利用旋转变换求线段和最值 费马点 编 辑本段 费马点定义 在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的 费马点 。 在平面三角形中 : (1).三内角皆小于 120的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向 三
8、角 形 外 侧 做 正 三 角 形 ABC1,ACB1,BCA1, 然 后 连 接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所求的费马点 . (2).若三角形有一内角大于或等于 120 度 ,则此钝角的顶点就是所求 . (3)当 ABC 为等边三角形时 ,此时外心与费马点重合 （ 1） 等边三角形中 BP=PC=PA， BP、 PC、 PA 分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。 BPC CPA PBA。 （ 2） 当 BC=BA 但 CAAB时， BP 为三角形 CA 上的高和中线、三角上的角分线。 编 辑本段 证明 (1)费马点对边的张角为
9、120 度。 CC1B 和 AA1B 中 ,BC=BA1,BA=BC1, CBC1= B+60 度 = ABA1, CC1B 和 AA1B 是全等三角形 ,得到 PCB= PA1B 同理可得 CBP= CA1P 由 PA1B+ CA1P=60 度，得 PCB+ CBP=60 度 ,所以 CPB=120 度 同理 , APB=120 度， APC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1 将 BPC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与 BDA1 重合，连结 PD，则 PDB 为等边三角形，所以 BPD=60 度 又 BPA=120 度，因此 A、 P、 D 三点在同一直线上， 4 又 CPB
10、= A1DB=120 度， PDB=60 度， PDA1=180 度，所以 A、 P、 D、 A1 四点在同 一直线上，故 PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC 最短 在 ABC 内任意取一点 M（不与点 P 重合），连结 AM、 BM、 CM，将 BMC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与 BGA1 重合，连结 AM、 GM、 A1G(同上 )，则 AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点 A、 B、 C 的距离最短。 平面四边型费马点 平面四边型中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 （ 1）在凸四边型 ABCD 中，费马点为两对角线 A
11、C、 BD 交点 P。 （ 2）在凹四边型 ABCD 中，费马点 为凹顶点 D（ P）。 7（自编） 已知 O 点坐标为（ 0， 0）， A 点坐标为（ 8， 0）， B 点坐标为（ 0， 8），在平面直角坐标系上确定点 P，使 OPAP BP 最小。并求出点 P 坐标和 OP AP BP 的最小值 。 8（自编） 已知 O 点坐标为（ 0， 0）， A 点坐标为（ 5， 0）， B 点坐标为（ 32 ， 332 ），在平面直角坐标系上确定点 P，使OP AP BP 最小。并求出点 P 坐标和 OP AP BP 的最小值 。 9、若 P 为 ABC 所在平面上一点，且 120A P B B P
12、 C C P A ，则点 P 叫做 ABC 的费马点 . （ 1）若点 P 为锐角 ABC 的费马点，且 60A B C P A P C ， 3 ， 4，则 PB 的值为 _； （ 2）如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB 连结 BB . 求证： BB 过 ABC 的费马点 P ，且 BB = PA PB PC. A C B B 5 25.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为 )2,0( ，点 D 在 x 轴的正半轴上， 30ODB ， OE 为BOD 的中线，过 B 、 E 两点的 抛物线 2 36y ax x c 与 x 轴 相交于 A 、 F 两点（ A 在 F 的左
13、侧） . （ 1）求 抛物线 的解析式；（ 2）等边 OMN 的顶点 M 、 N 在线段 AE 上，求 AE 及 AM 的长； （ 3）点 P 为 ABO 内的 一个动点，设 m PA PB PO，请直接写出 m 的最小值 ,以及 m 取得最小值时，线段 AP 的长 . （备用图） 13 通州 24 已知： 2AD， 4BD，以 AB 为一边作等边三角形 ABC.使 C、 D 两点落在直线 AB 的两侧 . （ 1） 如图， 当 ADB=60时，求 AB 及 CD 的长； （ 2）当 ADB 变化，且其它条件不变时，求 CD 的 最大值，及相应 ADB 的大小 . A D B C 6 1 房山
14、 28如图 1，已知线段 BC=2，点 B 关于直线 AC 的对称点是点 D，点 E 为射线 CA 上一点，且 ED=BD，连接 DE， BE. (1) 依题意补全图 1，并证明： BDE 为等边三角形； (2) 若 ACB=45，点 C 关于直线 BD 的对称点为点 F，连接 FD、 FB.将 CDE 绕点 D 顺时针旋转 度（ 0 360）得到 CDE ， 点 E 的对应点为 E，点 C 的对应点为点 C. 如图 2，当 =30时，连接 BC 证明： EF = BC ； 如图 3，点 M 为 DC 中点，点 P 为线段 CE上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段 PM 长度的取值范围？ 2 顺义 28 如图， ABC 中， AB=AC，点 P 是三角形右外一点，且 APB= ABC （ 1）如图 1，若 BAC=60，点 P 恰巧在 ABC 的平分线上， PA=2，求 PB 的长； （ 2）如图 2，若 BAC=60，探究 PA， PB， PC 的数量关系，并证明； （ 3）如图 3，若 BAC=120，请直接写出 PA， PB， PC 的数量关系 图3图1 图2AB CPAB CPAB CPEDCEB CFA EDMCEB CFA P图 1 DCBA图 2 图 3
