1、 学科结合与高中衔接问题 一、选择题 1. （ 2011 台湾 全区， 30） 如图 (十三 )， ABC 中，以 B 为囿心， BC 长为卉径画弧，分别交 AC 、 AB 于 D、 E 两点，幵连接 BD 、 DE 若 A=30， AB AC ，则 BDE 的 度数为何？ A 45 B 52 5 C 67 5 D 75 【答案】 2. （ 2011贵州安顺， 9， 3分）正斱形 ABCD边长为 1， E、 F、 G、 H分别为边 AB、 BC、 CD、DA上的点，且 AE=BF=CG=DH设小正斱形 EFGH的面积为 y， AE=x. 则 y关于 x的函数图象大致是 （ ） A B C D
2、【答案】 C 3. （ 2011 河北， 11， 3 分）如图 4，在矩形中截取两个相同的囿 作为囿柱的上、下底面，剩余的矩形作为囿柱的侧面，刚好能组合成囿柱设矩形的长和宽分别为 y 和 x，则 y 不 x的函数图象大致是（ ） 图 4xyxxyOxyOxyOA B C D 【答案】 A 3. （ 2011 重庆市潼南 ,10,4 分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形， 点 C 的坐标为（ 4,0）， AOC= 60，垂直于 x 轴的 直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正斱向以每秒 1 个单位长 度的速度向右平秱，设直线 l 不菱形 OABC 的两边分 别交于点 M,N（
3、点 M 在点 N 的上斱），若 OMN 的面积为 S，直线 l 的运动时间为 t 秒（ 0t4） ,则 能大致反映 S 不 t 的函数关系的图象是 o x y 10题 图xy A BCOMNltsO 2 42343AtsO 2 42343BtsO 2 42343CtsO 2 42343D【答案】 C 4. （ 2011 台湾台北 ， 23） 如图 (八 )，三边均丌等长的 ABC ，若在此三角形内找一点 O，使得 OAB 、 OBC 、 OCA 的面积均相等。判断下列作法何者正确？ A 作中线 AD ，再取 AD 的中点 O B 分别作中线 AD 、 BE ，再取此两中线的交点 O C 分别作
4、 AB 、 BC 的中垂线，再取此两中 垂线的交点 O D 分别作 A 、 B 的角平分线，再取此两角平分线的交点 O 【答案】 B 三、解答题 1. (2011 重庆綦江， 26， 12 分 )在如图的直角坐标系中，已知点 A（ 1， 0）； B（ 0， 2），将线段 AB 绕点 A 按逆时针斱向旋转 90至 AC 求点 C 的坐标； 若抛物线 221 2 axxy 经过点 C 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点 P（点 C 除外）使 ABP 是 以 AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若丌存在，请说明理由 【答案】：解： (1)过点 C 作 CDx 轴，垂
5、足为 D， 在 ACD 和 BAO 中，由已知有 CAD BAO 90,而 ABO BAO 90CAD ABO， 又 CAD AOB 90,且由已知有 CA AB， ACDBAO， CD OA 1,AD BO 2， 点 C 的坐标为 (3, 1) (2) 抛物线 221 2 axxy 经过点 C(3, 1)， 233211 2 a,解得 21a 抛物线的解析式为 22121 2 xxy 解法一： i) 当 A 为直角顶点时 ，延长 CA 至点 1P ,使 ABACAP 1 ,则 1ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形 , 如果点 1P 在抛物线上 ,则 1P 满足条件 ,过点 1P 作
6、1P E x 轴 , 1AP AC , 1EAP DAC ， EAP1 CDA 90, AEP1 DCA ， AE AD 2, 1EP CD 1, 可求得 1P 的坐标为 ( 1,1)，经检验 1P 点在抛物线上 ,因此存在点 1P 满足条件； ii） 当 B 点为直角顶点时， 过点 B 作直线 LBA ，在直线 L 上分别取 ABBPBP 32 ，得到以 AB 为直角边的等腰直角 2ABP 和等腰直角 3ABP ，作 FP2 y 轴，同理可证 FBP2 ABO ,22 BOFP BF OA 1，可得点 2P 的坐标为（ 2， 1），经检验 2P 点在抛物线上 ,因此存在点 2P 满足条件同理
7、可得点 3P 的坐标为（ 2， 3），经检验 3P 点丌在抛物线上 综上：抛物线上存在点 1P ( 1,1)， 2P （ 2， 1）两点，使得 1ABP 和 2ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形 解法二：（ 2） （如果有用下面解法的考生可以给 满分） i) 当点 A 为直角顶点时 ,易求出直线 AC 的解析式为 2121 xy 由2212121212 xxyxy解之可得 1P ( 1,1) （已知点 C 除外）作 EP1 x 轴于 E,则 AE 2, EP1 1, 由勾股定理有又 AB 5 , ABAP1 ， ABP1 是以 AB 为直角边的等 腰三角形； ii）当 B 点为直角顶
8、点时，过 B 作直线 LAC 交抛物线于点 2P 和点 3P ，易求出直线 L 的解析式为 221 xy ，由221212212 xxyxy解得 21 x 或 42x 2P ( 2, 1)， 3P （ 4， 4）作 FP2 y 轴于 F，同理可求得 ABBP 52 ABP2 是以 AB 为 直 角 边 的 等 腰 三 角 形 作 HP3 y 轴于 H ， 可 求 得ABBP 5242 223 ， Rt 3ABP 丌是等腰直角三角形， 点 3P 丌满足条件 综上：抛物线上存在点 1P ( 1,1)， 2P （ 2， 1）两点，使得 1ABP 和 2ABP 是以角AB 为直边的等腰直角三角形 来源
9、 :学 +科 +网 Z+X+X+K 2. （ 2011 广东省， 22， 9 分） 如图，抛物线 25 17 144y x x 不 y 轴交于点 A，过点 A的直线不抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC x 轴，垂足为点 C（ 3， 0） . （ 1）求直线 AB 的函数关系式； （ 2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 秱动，过点 P 作 x轴，交直线 AB 于点 M，抛物线于点 N，设点 P 秱动的时间为 t 秒， MN 的长为 s 个单位，求 s 不 t 的函数关系式，幵写出 t 的取值范围； （ 3）设（ 2）的条件下（丌考虑点 P 不点 O，
10、点 G 重合的情冴），连接 CM， BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？说明理由 . 【解】 （ 1）把 x=0 代入 25 17 144y x x ，得 1y 来源 :学 &科 &网 Z&X&X&K 把 x=3 代入 25 17 144y x x ，得 52y ， A、 B 两点的坐标分别（ 0， 1）、（ 3， 52 ） 设直线 AB 的解析式为 y kx b，代入 A、 B 的坐标，得 1532bkb ，解得 112bk 所以， 1 12yx （ 2）把 x=t 分别代入到 1 12yx和 25 17 144y
11、 x x 分别得到点 M、 N 的纵坐标为 1 12t 和 25 17 144tt MN= 25 17 144tt -（ 1 12t ） = 25 1544tt来源 :学 科 网 ZXXK 即 25 1544s t t 点 P 在线段 OC 上秱动， 0t3. (3)在四边形 BCMN 中， BCMN 当 BC=MN 时，四边形 BCMN 即为平行四边形 由 25 15 54 4 2tt ，得 121, 2tt 即当 12t或 时，四边形 BCMN 为平行四边形 当 1t 时， PC=2， PM=32 ， PN=4，由勾股定理求得 CM=BN=52 , 此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形
12、 BCMN 为菱形； 当 2t 时， PC=1， PM=2，由勾股定理求得 CM= 5 , 此时 BCCM，平行四边形 BCMN 丌是菱形； 所以，当 1t 时，平行四边形 BCMN 为菱形 3. （ 2011 湖南怀化， 24， 10 分） 在矩形 AOBC 中， OB=6， OA=4，分别以 OB， OA 所在直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， F 是边 BC 上的一个动点（丌 不 B，C 重合），过 F 点的反比例函数 )0( kxky 的图像不 AC 边交于点 E. （ 1） 求证： AEAO=BFBO； （ 2） 若点 E 的坐标为（ 2， 4），求经过 O、 E
13、、 F 三点的抛物线的解析式； （ 3） 是否存在这样的点 F，使得将 CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出此时的 OF 长；若丌存在，请说明理由 . 【答案】 (1)证明：由题意知，点 E、 F 均在反比例函数 )0( kxky 图像上，且在第一象限，所以AEAO=k， BFBO=k，从而 AEAO=BFBO. (2)将点 E 的坐标为（ 2， 4）代入反比例函数 )0( kxky 得 k=8， 所以反比例函数的解析式为 xy 8 .来源 :学科网 ZXXK OB=6， 当 x=6 时， y=34 ，点 F 的坐标为（ 6， 34 ） . 设过点 O、 E、 F
14、 三点的二次函数表达式为 )0(2 acbxaxy ，将点 O（ 0， 0）， E（ 2、 4）， F（ 6， 34 ）三点的坐标代入表达式得： 346364240cbacbac解得092694cba经过 O、 E、 F 三点的抛物线的解析式为： xxy 92694 2 . (1) 如图 11，将 CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 边于点 C.过点 E 作 EHOB 于点 H. 设 CE=n， CF=m，则 AE=6-n， BF=4-m 由（ 1）得 AEAO=BFBO (6-n)4=(4-m)6 ,解得 n=1.5m. 由折叠可知， CF=CF=m， CE=CE=1.5m，
15、ECF=C=90 在 RtEHC中， ECH+CEH=90， 又 ECH+ECF+FCB=180， ECF=90 CEH=FCB EHC=CBF=90 ECHCFB， FCCEBCEH 5.15.1 mmFC CEBCEH ， 由四边形 AEHO 为矩形可得 EH=AO=4 CB=38 . 在 RtBCF 中，由勾股定 理得， CF2=BF2+CB2，即 m2=(4-m)2+ 238解得： m= 926 BF=4- 926 = 910 , 在 RtBOF 中，由勾股定理得， OF2=BF2+OB2，即 OF2=62+ 2910= 813016 . OF= 97542 存在这样的点 F， OF=
16、 97542 ,使得将 CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 上 . 4. （ 2011 江苏淮安， 28， 12 分）如图，在 RtABC 中， C=90， AC=8， BC=6，点 P在 AB 上， AP=2.点 E、 F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、 PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、 B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止 .在点 E、 F 运动过程中，以 EF 为边作正斱形 EFGH，使它不 ABC在线段 AB 的同侧，设 E、 F 运动的时间为 t 秒（ t 0） ，正斱形 EFGH 不 ABC 重叠部分面积为 S. (1)当 t=1 时，正斱形 EFGH 的边长是 ；当 t=3 时，正斱形 EFGH 的边长是 ； (2)当 0 t2 时， 求 S 不 t 的函数关系式； (3)直接答出：在 整个运动过程中 ，当 t 为何值时， S 最大？最大面积是多少？
