1、 34 第二讲 导数及其应用 问题 2.1 导数、微分的概念 例题 1.选择 C，理由如下： 函数 ()y f x 在点 0x 处可导，即 000 0 ( ) ( )( ) l i mx f x x f xfx x 存在 0 0 0 0 0 000( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l i m l i mhhf x h f x h f x h f x f x f x hhh 0 0 0 0 000( ) ( ) ( ) ( )l i m l i m ( ) ( )hhf x h f x f x h f x fx ； 但是，极限 000 ( ) ( )limh f x h f x hh
2、 存在 函数 ()y f x 在点 0x 处可导， 例如 yx 在点 0x 处 ，00( ) ( )l i m l i m 0hhhhf h f hhh ，但是函数 yx 在点 0x 处不可导 . 2.选择 B，理由如下： xf 在 0x 可导0 ()limx fxx存在 2 2 20 0 0 01 1 c o s ( 1 c o s ) 1 c o s ( 1 c o s )l i m ( 1 c o s ) l i m l i m l i m1 c o s 1 c o sh h h hh f h h f hfhh h h h h 1 cos01 ( )lim2uhufuu，故 A 不对；
3、10 0 0 0 01 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( )l i m ( 1 ) l i m l i m l i m l i m11 hh h h h ueh hhh h h h ue f e e f e f ufeh h e h e u . 3.【用特例法】 选择 D，理由如下：设 1, 0,()1, 0.xxfx xx 1, 0,() 1, 0,xfx x 00lim ( ) lim ( ) 1xxf x f x， 但是0lim ( ) 1x fx ，0lim ( ) 1x fx ， )(xf 在 0x 处极限不存在， 故 排除 A， B， C. 4.【涉及不等式条件的极限问题，通常用
4、夹逼准则】选择 C，理由如下： 当 ),( x 时，恒有 2)( xxf ，故 (0) 0 (0) 0ff 又 20( ) 0 ( 0 ) l i m ( ) 0xf x x x f x ， 35 2 00( ) ( ) ( ) ( 0 )( ) 0 ( 0 ) l im l im 0xxf x f x f x ff x x x xx x x ，即 0)0( f ，故 0x 是 )(xf 的可导点，且 0)0( f . 5. 0,2x ， 2( ) ( 4)f x x x， 20( 4 )(0 ) lim 4xxxf x ， 2,0x ， 2 0,2x ， 2( ) ( 2 )( 4 )f x
5、 k x x x ， 20( 2 ) ( 4 )(0 ) l i m 8xk x x xfkx ， 当 12k 时， (0) (0)ff ， ()fx在 0x 处可导 . 习题 1.【利用导数定义求增量比的极限】 ()fx在点 x 可导，即 0 ( ) ( )( ) li mx f x x f xfx x 存在， 故00( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )l i m l i mxxf x x f x x f x x f x f x f x xxx 00( 2 ) ( ) ( ) ( )2 l i m l i m 3 ( )2xxf x x f x f x x f x fxxx
6、 . 2.【可导必连续】选择 B，理由如下： )(xf 在 0x 处存在左、右导数 ()fx在点 0x 左、右连续 )(xf 在点 0x 连续 . 3. ()( ) ( )l i m l i mx a x ax a xf x f ax a x a ， ( ) ( )f a a ， ( ) ( )f a a ， 当 ( ) 0a 时， ( ) ( )f a f a ， ()fx在 xa 处可导， 当 ( ) 0a 时， ( ) ( )f a f a ， ()fx在 xa 处不可导 . 4.选择 C，理由如下： )(x 在 ax 处连续但不可导 lim ( ) ( )xa xa ， ( ) ( )
7、limxa xaxa 不存在， )(ag 存在，即 ( ) ( )limxag x g axa 存在， 36 0)( ag ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) l i m l i mx a x ag x x g a a g x xFa x a x a ( ) ( ) ( )l i m ( ) ( )xa g x g a x g a axa ， 故 0)( ag 是 )(xF 在 ax 处可导的充分条件； )(xF 在 ax 处可导 ( ) ( ) ( ) ( )( ) l i mxa g x x g a aFa xa 存在， 即 ( ) ( ) ( ) ( )( ) l i
8、mxa g x x g a aFa xa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l i mxa g x x g a x g a x g a axa ( ) ( ) ( ) ( )l i m ( ) ( ) xa g x g a x ax g ax a x a 存在 0)( ag ， 故 0)( ag 是 )(xF 在 ax 处可导的必要条件 . 5.选择 B，理由如下： 0( ) 0fx 00000( ) ( ) ()l im l im 0x x x xf x f x fxx x x x ， ()fx 在 0x 可导00000( ) ( ) ( )l i m l i m
9、x x x xf x f x f xx x x x存在 0 0()limxxfxxx （ 0 ）和0 0()limxxfxxx （ 0 ）存在且相等0000( ) ( )l im l im 0x x x xf x f xx x x x 0 0 0 000 0 0 0 0() ( ) ( ) ( )l im l im 0 l im 0 l im 0x x x x x x x xf x x xf x f x f xx x x x x x x x x x . 6. 12110 , ( ) c o s s i nx f x x xxx 由题设知 10 0 01c os( ) ( 0) 1( 0) l
10、im l im l im c osx x xxf x f xfxx x x 存在 ，故 1 ，(0) 0f ，且 1 2 20 0 01 1 1l i m ( ) l i m ( c o s s i n ) l i m s i n 0x x xf x x x xx x x ，故 2 . 问题 2.2 如何求曲线的切线、法线方程？ 例题 1.【 求切线，关键是确定切点与斜率 】 00()l i m 1 l i m ( ) 0 ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1xxfx f x f fx ， 切点为 (0,0) ，斜率为 (0) 1f ， 故曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方
11、程为 yx . 37 2.曲线的参数方程为 2(1 c o s ) c o s c o s c o s ,1(1 c o s ) sin sin sin 2 ,2xy ， c o s c o s 2sin sin 2ttydydx x ， 将6代入，得切点 3 3 1 3( , )2 4 2 4，切线的斜率 1k ， 所求切线方程为 1 3 3 3( ) ( ) 2 4 2 4yx ，即 13 044xy . 习题 1. lnyx ， 1y x ，切点为 ( ,ln )aa，斜率 1 11kaa ，切点为 (1,0) ， 故切线方程为 1yx. 2. exy ， exy ，切点为 (,e)aa
12、 ，斜率 ee 1 eaak a ka ， 故切线方程为 eyx . 3.方程 42lnxy x y两边对求导， 32 4y xy y yx ，将 (1,1) 代入上式，得(1) 1y ，斜率 1k ， 故切线方程为 11yx ，即 yx . 4. y a x ，2ay x； lnyx ， 12y x . 由题设知， 00y a x ， 00lnyx ，00122 a xx ， 解得 1ea ，切点为 2(e,1) . 5. 00( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )l i m 1 l i m 22xxf f x f x fxx ，即 (1) 2f ， 所以曲线 ()y f x 在点
13、(5, (5)f 处切 线斜率为 2 . ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( )f x f x f x f x ，故 (5) (1) 2ff ， 所以曲线 ()y f x 在点 (5, (5)f 处切线斜率为 2 . 38 问题 2.3 求导公式与法则 问题 2.4 如何求函数的导数（或者微分）？ 例题 1.【 初等函数的导数， 熟练掌握 求导公式与 求导法则】 12 22 2 21 2 1( 1 ) ( 1 )1 2 1 1xyxx x x x ， 3322221 (1 ) 2 (1 )2y x x x x ， 3 5 3 52 2 2 2 22 2 2 23( 1 ) ( 1 ) 2 (
14、1 ) 3 ( 1 )2y x x x x x x x ， 故3 532xy . 2.【抽象函数的导数】 2223 2 3 ( 3 2 ) 3 ( 3 2 ) 3 2 1 2( ) a r c t a n ( )3 2 ( 3 2 ) 3 2 ( 3 2 )d y x x x xfd x x x x x ， 0 34xdydx . 3.【 隐函数的一、二阶导数， 用两边求导法，注意 ()y yx 是 x 的函数】 方程 1eyyx 两边对 x 求导，得 eeyyy x y 将 0, 1xy代入 ，得 0 exy ； 式 两边对 x 求导，得 2e e e ( ) ey y y yy y y x
15、 y x y ， 将 0, 1, ex y y 代入 ，得 . 20 2exy . 4.【 隐函数的一阶导数， 用隐函数求导公式 ： )(xyy 由方程 ( , ) 0F x y 确定，则xyFdydx F 】 )(xyy 由 2 2 ln( , ) 4 0yxF x y x y 确定， 2 2222 1 2 l n 2 2 l n2 l n 1 2 2 l n2ln ( 2 l n )l n 2 2 l n 2 l n ( )yx yxxy x y xyy x y yFd y y y x y yxd x F x x y x y x x y x y . 5.【 参数式的导数， 用参数式求导公式
16、】 39 ( ) ( ) ( )()dyd y f t tf t f tdt tdxd x f tdt ， 22() 1()d dydy dt dxdxdx f tdt . 6.【 反函数的导数， 利用反函数求导公式和复合函数求导法则】 1dxdy y ， 上式两边对 y 求导， 22 2 31 1 1( ) ( ) ( )d x d d x d d d x d x yyd y d y d y d y y d x y d y y d y y ； 上式两边再对 y 求导， 3 3 2 23 6 533d x y y y y y d x y y yd y y d y y . 7.【参数式、隐函数的
17、导数】 ttydydx x ， 211tx t ， 方程 22 e 5ty ty 两边对 t 求导，得 22 e2 2 e 02 (1 )ttt t t yy y ty y y ty ， 故 22( e )(1 )2 (1 )tdy y tdx ty . 8.【抽象函数、隐函数的导数】 ( l n s i n ) ( c o s )d z yf y x xd x y ， 22 2( l n s i n ) ( c o s ) ( l n s i n ) ( s i n )d z y y y yf y x x f y x xd x y y ， 方程 1e1yyx两边对 x 求导，得 11e e
18、0yyy x y ， 将 0, 1xy代入 式，得 (0) 1y ， 式 两边对 x 求导，得 1 1 1 2 1e e e e 0y y y yy y y x y x y ， 将 0, 1, 1x y y 代入 式，得 (0) 2y ， 故0 0xdzdx ， 22 0 1xdzdx . 9.【考查相 关变化率】设长方形的对角线为 s ，则 2 2 2s l w ， 40 上式两边对 t 求导，得 2 2 2ds dl dws l wdt dt dt，即 ds dl dws l wdt dt， 将 221 2 , 5 , 1 3 , 2 , 3d l d wl w s l w d t d t
19、 代入上式，得 3dsdt . 习题 1. 1 l n 33 l n 3 ( 1 )1 3 3 1xxxy ，故 ln 331xdy y dx dx . 2. 2 22e1a r c ta n e l n a r c ta n e 2 l n ( e 1 ) e 1 2xx x xxy y x ， 222e 1 2 e( 2 )1 e 2 1 exxy ， 故21 e11exdydx . 3. 2 2 221 1 1 1s i n 2 s i n c o s 2 s i n c o s ( )y x x xx x x x 2 2 221 1 22 s i n s i n c o s s i n
20、x x xx x x . 4. 2 2 2 2c o s ( ) ( ) 2 2 c o s ( ) ( )y f x f x x x f x f x ， 2 2 2 2 2 2 22 c o s ( ) ( ) 2 s i n ( ) ( ) 2 2 c o s ( ) ( ) 2y f x f x x f x f x x x f x f x x 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) c o s ( ) 4 ( ) c o s ( ) ( ) s i n ( ) f x f x x f x f x f x f x 5.【考查导数】等式 ()( ) efxfx 两边对 x 求导，得 ()(
21、 ) e ( )fxf x f x ， 再对 x 求导，得 ( ) 2 ( )( ) e ( ) e ( )f x f xf x f x f x ， 由 (2) 1f 得， (2)(2) e eff ， ( 2 ) 2( 2 ) e ( 2 ) efff ， 故 ( 2 ) 2 ( 2 ) 3( 2 ) e ( 2 ) e ( 2 ) 2 efff f f . 6.方程 1 ( )( ) e gxhx 两边对 x 求导，得 1 ( )( ) e ( )gxh x g x， 令 1x ，得 1 (1)(1) e (1)ghg，即 1 (1) 1e 2g ，解得 (1) 1 ln 2g . 7.【
22、考查隐函数的导数】 方程 1eyyx 两边对求导，得 eeyyy x y ， 当 0x 时， 1y ，代入上式，得 (0) ey . 41 8.【求隐函数一阶导数，用公式法或者两边求导法】 ( , ) e c o s ( ) 0xyF x y xy ， e s in s in ee s in e s inx y x yx x y x yyFd y y x y y x yd x F x x y x x y . 9.【求隐函数二阶导数，用两边求导法】取对数，得 221 ln ( ) a rc ta n2 yxy x， 式 两边对 x 求导，得22 2 221 1 1( 2 2 )2 1y x yx
23、 y yyx y xx ，整理得 x yy y x y ，解得 xyy xy ， 22( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 2( ) ( )y x y x y y x y yy x y x y ， 将 xyyxy 代入 ，得 2232( )()xyy xy . 10.【求参数式二阶导数，用公式法】 221112 21ttydy ttdx x tt ， 2222321()122 41ttdyd y td x ttd x x tt . 11. ln (1 s in )(1 s in ) ex x xyx ， l n ( 1 s i n ) c o se l n (1 s i n ) 1 s
24、i nxx xy x x x ， ()y ，故 .xdy dx 12. 1dxdy y ， 上式两边对 y 求导， 22 2 31d x dx yydy y dy y ，代入方程 0)(s in( 322 dydxxydy xd ，得 33 1( s in ) ( ) 0y yxyy ，即 siny y x 13.【考查参数式求导和微分方程】 ()22ttydy tdx x t ， 42 2 223( ) ( 2 2 ) ( ) 2()( ) ( 1 ) ( ) 3( 2 2 )2 2 4 ( 1 ) 4 ( 1 )ttt t tdyd y t t ttdxd x x t t t ， 2( )
25、 (1 ) ( ) 3 (1 )t t t t ， 令 ()tp ，则 () dpt dt ，代入上式，得 2(1 ) 3 (1 )dp t p tdt ， 3(1 )1dp p tdt t ， 11 l n ( 1 ) l n ( 1 )11e 3 ( 1 ) e e 3 ( 1 ) e d t d t ttttp t dt C t dt C 11(1 ) 3 (1 ) ( 3 )t dt C t t C ， 将 1, 6tp代入，得 1 0C ，故 3 (1 )p t t，即 ( ) 3 (1 )t t t ， 23 23( ) 3 (1 ) 2t t t d t t t C ， 将 5(
26、1) 2 代入，得 2 0C ，故 233() 2t t t . 14.（ 略） 问题 2.5 如何求分段函数的导数 例题 1. 0x 时， 22 3 2 441 1 2 1 2( ) a r c ta n a r c ta n111xf x xx x x xx ， 2001a r c t a n( ) ( 0)( 0) l i m l i m 2xx xf x f xf xx ， 22400 12l i m ( ) l i m ( a r c t a n ) (0 )12xx xf x fxx ， 故 )(xf 在 0x 连续 . 2. 0x 时，2( ) ( )() xf x f xFx
27、x ； 00() ( 0 )( ) ( 0 )( 0 ) l im l imxxfx fF x F xF xx 200( ) (0 ) ( ) (0 ) (0 )l i m l i m 22xxf x x f f x f fxx 43 2( ) ( ) , 0 ,() ( 0), 0.2x f x f x xxFxf x 20 0 0( ) ( ) ( ) (0 )l i m ( ) l i m l i m (0 )22x x xx f x f x x f x fF x Fxx ， 故 ()Fx 在 0x 连续， 又 ()Fx 在 0x 连续，所以 ()Fx 在 ( , ) 上连续 . 3.
28、0 , ( ) e , ( ) exxx f x f x ， 0 , ( ) , ( )x f x a x b f x a ， 要 使 ()fx在 ( , ) 上可导 ，只要 ()fx在 0x 可导 . ()fx在 0x 可导 ()fx在 0x 连续 (0 ) (0 ) (0 )f f f，即 1b ， ()fx在 0x 可导 (0) (0)ff ，即 1a ， 所以，当 1, 1ab时， ()fx在 ( , ) 上可导 . 习题 1. 0x 时，22 ( ) e ( ) e ( ) ( ) ( 1 ) e()x x xx g x g x x g x g x xfx xx ， 200( ) (0 ) ( ) e(0 ) l i m l i mxxxf x f g xf xx 00( ) e ( ) e (0 ) 1l i m l i m2 2 2xxxxg x g x gx ， 故 2( ) ( ) ( 1 ) e , 0 ,() ( 0 ) 1, 0 .2xx g x g x xxxfx gx 200 ( ) ( ) ( 1 ) el i m ( ) l i mxxxx g x g x xfx x 0( ) ( ) ( ) e ( 1 ) el i m 2 xxxg x x g x g x xx 0( ) e (0 ) 1l i m (0 )22xxg x g f ，
