1、1 怎样解排列组合问题 在这几次模考中，发现同学们在学习排列组合中有许多问题。现就排列组合给同学们讲讲几种方法。 首先，怎样分析排列组合综合题？ 1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为 全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步
2、骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 2）排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。 3）复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。 4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 5）处理排 列、组合综合性问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通过解题训要注意积累分类和分步
3、的基本技能。 6）在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 “ 16 字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即 ： 分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 。 “ 12 个技巧”是迅速解决排列组合的捷径，具体方法与运用如下： 一 特殊元素的“优先排列法”：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考其他的元素。 二总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。 三合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续
4、过程分步，做到分类标准明确， 分步层次清楚，不重不漏 。 四相邻问题用捆绑法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 五不相邻问题用“插空法”： 对某几个元素不相邻的排列问 题，可将其他元素排列好，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 六顺序固定用“除法”： 对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 七分排问题用直接法： 把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方2 法来处理。 八试验：题中附加
5、条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。 例 .将数字 1， 2， 3， 4 填入标号为 1， 2， 3， 4，的方格中，每方格填 1 个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（ ） A,6 B.9 C.11 D.23 解：第一方格内可填 2 或 3 或 4，如第一填 2，则第二方格可填 1 或 3 或 4，若第二方格内填 1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填 3 或 4，后两方格也只有一种填法。一共有 9 种填法，故选 B 九探索：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律 ; 例 .从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于 100，
6、则不同的取法种数有多少种。 解：两个数相加中 以较小的数为被加数， 1+100100， 1 为被加数时有 1 种， 2 为被加数有 2 种， 49 为被加数的有 49 种， 50 为被加数的有 50 种，但 51 为被加数有 49 种， 52为被加数有 48种， 99为被捕加数的只有 1种，故不同的取法有（ 1+2+3+ +50） +（ 49+48+1） =2500 种 十消序 例。 4 个男生和 3 个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。 解：先在 7 个位置中任取 4 个给男生，有 47A 种排法，余下的 3 个位置给 女生，只有一种排法，故有
7、 47A 种排法。 十一 .住店法：解决“允许重复排列问题”要区分两类元素，一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作店，再利用分步计数原理直接求解称“住店法” ; 例 .7 名学生争五项冠军，获得冠军的可能种数有（ ） A. 57 种 B. 75 种 C. 57A 种 D. 57C 种 解 .七名学生看作七家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个客有 7 种住法，由分步计数原理可得 57 种，故选 A 十二 .对应 例 .在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比几场？ 解 .要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰 99 名
8、选手，要淘汰一名就要进行一场，故赛 99 场。 以上十二种方法是解决一般排列组合问题常用方法，数学 是一门非常灵活的课程，解题3 法仅仅限于这“ 12 个技巧”，此外，常用的还有“隔板法”，“倍缩法”。 排列组合问题中的数学思想方法也是用得多的（教师点评：这句可改为“排列组合问题中蕴藏着数学思想方法”） 一分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。 例 .已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素， AB含有 4 个元素，求同时满足下列条件的集合 C 的个数： 1） C
9、 A B且 C 中含有 3 个元素， 2） CA 解：如图，因为 A， B 各含有 12 个元素， AB含有 4 个元素，所以AB中的元素有 12+12-4=20 个，其中属于 A 的有 12 个，属于 A 而不属于 B 的有 8 个，要使 CA ，则 C 中的元素至少含在 A 中，集合 C 的个数是： 1）只含 A 中 1 个元素的有 1212 8CC； 2）含 A 中 2 个元素的有 2112 8CC；3）含 A 中 3 个元素的有 3012 8CC，故不求的集合 C 的个数共有 1212 8CC+ 2112 8CC+ 3012 8CC=1084个 二等价转化的思想：很多“数数”问题的解决
10、，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设 计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。 1.具体与抽象的转化 例 .某人射击 7 枪，击中 5 枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？ 分析：没击中用“ 1”表示，击中的用“ 0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,a a a a a a a有两项为 0， 5 项是 1，不同的数列个数有多少个？ 解： 1）两个 0 不相邻的情况有 26C 种， 2）两个 0 相邻的情况有 16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有 26C + 16C =21 种。 2）不同的
11、数学概念之间的转化 例 .连结正方体 8 个顶点的直线中，为异面直线有多少对？ 分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥） 解：从正文体珠 8 个顶点中任取 4 个，有 48C 种，其中 4 点共面的有 12 种，（ 6 个表面和 6个对角面）将不共面的 4点可构一个三棱锥，共有 48C -12个三棱锥，因而共有 3（ 48C -12）=174 对异面直线。 综上所述，有以上几种解排列组合的方法，此外，当然也还有其他的方法要靠我们去发现和积累，我们要掌握好这些方法，并且能够灵
12、活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻8 4 8 4 易解决很多问题。 教师点评：对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面，而且挖掘出其中所蕴藏的数学思想方法，对学习排列组合有一定的指 导性。 1、文氏图： 在文氏图中 ,以下图形的含义如下： 矩形：其内部的点表示全集的所有元素； 矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合； 圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。 2、三交集公式： A+B+C=A B C+AB+BC+AC-ABC （ A B C 指的是 E， ABC 指的是 D） 二、应用举例 例： 2005 年真题 对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、
13、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢所戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有： 2 人 人 人 人 【解析】首先，根据题意画出文氏图如下： 5 A（球迷） 58 B（戏迷） 38 C（影迷） 52 E（员工总数） 100。 A+B+C=58+38+52 148 A B C 100 AB 18 BC 16 ABC 12 然后，根据三交集公式 A+B+C=A B C+AB+BC+AC-ABC 推出： AC A+B+C A B C AB BC+ ABC 148-100-18-
14、16+12 26 最后得出： 只喜欢看电影的人 C- AC-（ BC- ABC） 52-26-（ 16-12） 52-26-422 选择 A 正确。 例 1书架上放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同的英语书。 （ 1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （ 2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （ 3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（ 1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有 3 种书，则分为 3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是： 3+5+6=14 种。 （ 2）由于从书架
15、上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成 3 个步骤完成，据乘法原理，得到不同的 取法种数是： 3 5 6=90（种）。 （ 3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有 3 类情况（数语各 1 本，数英各 1 本，语英各 1 本）而在每一类情况中又需分 2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种6 数是： 3 5+3 6+5 6=63（种）。 例 2已知两个集合 A=1， 2， 3， B=a,b,c,d， e，从 A到 B 建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对 A中的每一个元素，在 B 中都有唯一
16、的元素与之对应。” 因 A中有 3 个元素，则必须将这 3 个元素都在 B 中找到家，这件事才完成。因此，应分 3 个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为： 5 5 5=125（种）。 2排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式 阶乘形式 等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质： n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化 。 例 4解方程 解：原方程可化为： 解得 x=3。 评述
17、：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。 3排列与组合的应用题 历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。 一 般方法有： 直接法和间接法。 （ 1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。 （ 2）间接法
18、一般用于当问题的反面简单明了，据的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。 特殊方法： （ 1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （ 2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。 （ 3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进 行排列。 （ 4）其它方法。 例 5 7 人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 7 （ 1）甲排中间； （ 2）甲不排两端；（ 3）甲，乙相邻； （ 4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （ 5）甲，乙，丙连排； （ 6）甲，乙，丙两两不相邻
19、。 解：（ 1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余 6 人任意排列，故共有： 1 =720 种不同排法。 （ 2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余 6人可任意排列有种，故共有 =3600 种不同排法。 （ 3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余 5 人共 6 个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有 =1400 种不同的排法。 （ 4）甲在乙的左边。考虑在 7 人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同
20、排法共有 =2520 种。 （ 5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余 4 人共 5 个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有 =720 种不 同排法。 （ 6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的 4 人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有 =1440 种不同的排法。 例 6用 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数： （ 1）奇数；（ 2） 5 的倍数；
21、（ 3）比 20300 大的数；（ 4）不含数字 0，且 1， 2 不相邻的数。 解：（ 1）奇数：要得到一个 5 位数的奇数，分成 3 步，第一步考虑个位必须是奇数，从 1， 3， 5 中选出一个数排列个位的位置上有种；第二步考虑首位不能是 0，从余下的不是 0 的 4 个数字中任选一个排在首位上有种； 第三步：从余下的 4 个数字中任选 3 个排在中间的 3 个数的位置上，由乘法原理共有 =388（个）。 （ 2） 5 的倍数：按 0 作不作个位来分类 第一类： 0 作个位，则有 =120。 第二类： 0 不作个位即 5 作个位，则 =96。 则共有这样的数为： =216（个）。 （ 3）
22、比 20300 大的数的五位数可分为三类： 第一类： 3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有 3 个； 第二类： 21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的个； 第三类： 203xx, 204xx, 205xx, 有个， 因此，比 20300 大的五位数共有： =474（个）。 （ 4）不含数字 0 且 1， 2 不相邻的数：分两步完成，第一步将 3， 4， 5 三个数字排成一行；第二步将 1 和2 插入四个“空”中的两个位置，故共有 =72 个不含数字 0，且 1 和 2 不相邻的五位数。 例 7直线与圆相离，直线上六点 A1， A2， A3， A4， A5， A6，圆上四点 B1， B2， B3， B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？ 解：所得直线最多时，即为任 意三点都不共线可分为三类： 8 第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为 =24； 第二类为圆上任取两点所得的直线条数为 =6； 第三类为已知直线为 1 条，则直线最多的条数为 N1=24+6+1=31（条）。 所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数： N2=N1-2=31-12=19（条） 。 29 条
