1、第 1 页 共 5 页 上海应用技术学院 2014 2015 学年第一 学期 高等数学（工） 1测试卷（连续、导数、微分） 一单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1.设2110021)(2xxxxxxxf 则 )(xf 在 （ C ） A 1,0 xx 处都连续 B 1,0 xx 处都间断 C 0x 处间断， 1x 处连续 D 0x 处连续， 1x 处间断 2 ,11)(11xxeexf 点 0x 是 )(xf 的 （ B ） A可去间断点 B跳跃间断点 C无穷间断点 D连续点 3如果 )(xf 是 ll, 上的 可导奇函数，则 )(xf 是 ll, 上的 （ B ） A奇函数 B偶函
2、数 C非奇非偶函数 D可能是奇函数也可能是偶函数 4设 2 1si n 0()0 , 0xxfx xx ，则 ()fx在 0x 处 （ A ） A连 续、可导 B连续、不可导 C既不连续也不可导 D无法判断 5函数 ()y f x 在点 0x 处有增量 0.2x ，对应函数增量的线性主部等于 0.8 ，则 0fx （ C ） A 4 B 0.16 C 4 D 1.6 第 2 页 共 5 页 二 .填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6设 1 02 cos()2 c os sin 0xxfx xk x x x 在点 0x 处连续，则 k 2 7在区间 3(0, )2内，函数 2c o s()
3、 6 5 si nxfx x x x 的间断点个数为 4 8设 )(xf 在 0x 处可导，则 hxfhxfh)()2(lim 000 02 ( )fx 9设 )(xfy 具有连续的一阶导数，若 1)2( f ， ef )2( , 则 11 )( xxf 1e 10设3 32 )21( )(1( x exxy x ，则 y 2232 1 63 1 1 2xxy x e xx x e x 三计算题（每小题 7 分，共 56 分） 11已知 11() xxfx x ，试补充定义 )0(f ，使得 )(xf 在 0x 处连续 解： 为了使 )(xf 在 0x 处连续，必须满足0lim ( ) (0)
4、x f x f （ 1 分） 0011l i m ( ) l i mxxxxfx x 01 1 1 1l i m11xx x x xx x x (3分 ) 02lim 111x xx （ 5 分） 所以应补充定义 (0) 1f ，就能使得 )(xf 在 0x 处连续（ 7 分） 第 3 页 共 5 页 12讨论函数 22 1() 32xfx xx 间断点的类型 解： 函数 )(xf 的间断点为 1x ， 2x （ 2 分） 221 1 111l im ( ) l im l im 23 2 2x x xxxfx x x x （ 4 分） 222 2 211l im ( ) l im l im3
5、2 2x x xxxfx x x x （ 6 分） 所以， 1x 是函数 )(xf 的可去间断点， 2x 是函数 )(xf 的无穷间断点（ 7 分） 13设 2c o s ln sin se c2xy x x ，求 dydx 解： 21 c o s l n ( sin ) se c22 xy x x （ 2 分） 11si n l n( si n ) c os c ot 2 se c se c t a n2 2 2 2 2x x xx x x x （ 6 分） 21 sin l n ( sin ) c o s c o t se c ta n2 2 2xxx x x x （ 7 分） 14设 2
6、2 ( ) ( )y f x g x ，其中 f ， ， g 可微，求 dy 解： 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )d y f x g x x g x d x （ 3 分） 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( )f x g x x x g x g x d x （ 7 分） 15设 )(xyy 是由方程 01ln x ye xy 所确定的隐函数，求0xdxdy 解： 0x 时 1ey （ 1 分） 0111)( xyyyxye xy （ 5 分） 将 0x 时 1ey 代入 21 eey （ 7分） 第 4 页 共 5 页 16设方程 3222txtye 确定了函数
7、 )(xyy ，求dxdy，22dxyd 解：2222 362 tetedxdy tt （ 3 分） 5224222229)1(6966ttettteetdxyd ttt （ 7 分） 17设 xxy sin21 ，求 y 解： )1ln (sinln 2xxy ，（ 1 分） 22 1 2s i n)1l n (c o s1 xxxxxyy （ 5 分） 22s i n2 1 s i n2)1l n (c o s)1( x xxxxxy x （ 7 分） 18设 2 0()sin 0xe b xfxa x x ， 问 ba, 为何值时， )(xf 在 0x 处可导 解： 因为 )0(f 存在
8、，所以函数 )(xf 在 0x 处必连续， bf 1)0( （ 1 分） )0(f bbexf xxx 1)(l i m)(l i m 200 （ 2 分） )0(f 0s inlim)(lim 00 axxf xx（ 3 分） 由 )0()0()0( fff 得 1b （ 4 分） h fhff h )0()0(l im)0( 0 21lim 20 he hh （ 5 分） ahahh fhffhh 0s i nl i m)0()0(l i m)0(00（ 6 分） 由 )0()0( ff ，得到 2a .（ 7 分） 第 5 页 共 5 页 四综合题（第 19 题 9 分，第 20 题 1
9、0 分） 19证明：双曲线 2xy a 上任一点处的 切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 22a 解： 由 2xy a 得 2ay x ， 22aky x （ 2 分） 设 00( , )xy 为曲线上任一点，则过该点的切线方程为 20020ay y x xx （ 5 分） 又 200xy a ，令 0y ，得 200002 2yxx x xa （ 6 分） 令 0x ，得 2000 2ay y yx （ 7 分） 所以此切线与二坐标轴构成的三角形面积为 20 0 0 01 2 2 2 22S x y x y a （ 9 分） 20设函数 )(xf 在 ),( 上有定义，在区间 2,0 上
10、 )4()( 2 xxxf ，若对任意的 x 都满足 )2()( xkfxf ，其中 k 是常数 （ 1） 写出 )(xf 在 0,2 上的表达式；（ 2） 问 k 为何值时， )(xf 在 0x 处可导 解： （ 1）当 02 x 时， 220 x （ 1 分） )4)(2(4)2()2()2()( 2 xxkxxxkxkfxf (4 分 )（ 2）显然 0)0( f ， （ 5 分） 4)4(l i m0 )0()(l i m)0( 200 xxxx fxff xx (7 分 ) kx xxkxx fxff xx 8)4)(2(l i m0 )0()(l i m)0( 00 （ 9 分） 故 48 k 21k )(xf 在 0x 处可导 （ 10 分）
