1、 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 1 页 共 8 页 普宁二中 2005-2006学年度 月考 测试题 高 二 数 学 说明：本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题 (本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请 将所选答案写在 答题卡上 ) 1 曲线 3xy 在点 )8,2( 处的切线方程为 （ ） A 126 xy B 1612 xy C 108 xy D 322 xy 2 已知函数 dcxbxaxxf 23)( 的图象与
2、x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0( 1x ， )0,( 2x ，且 )(xf 在 1x ， 2x 时取得极值，则 21 xx 的值为 （ ） A 4 B 5 C 6 D 不确定 3 在 R 上的可导函数 cbxaxxxf 22131)( 23， 当 )1,0(x 取得极大值， 当 )2,1(x取得极小值， 则 12ab 的 取值范围是 （ ） A )1,41(B )1,21(C )41,21(D )21,21(4 设 xxy sin1 2 ， 则 y （ ） A x xxxx22s in c o s)1(s in2 B x xxxx22s in c o s)1(s in2 C x xx
3、x sin )1(sin2 2 D x xxx sin )1(sin2 2 5 设 1ln)( 2 xxf ， 则 )2(f （ ） A 54 B 52 C 51 D 53 6 已知 2)3(,2)3( ff ， 则 3 )(32lim3 x xfxx的值为 （ ） A 4 B 0 C 8 D 不存在 7 函数 )c o s(s in21)( xxexf x 在区间 2,0 的 值域为 （ ） A 21,21 2e B )21,21( 2e C ,1 2e D ),1( 2e 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 2 页 共 8 页 8 积分 aa dxxa 22（ ） A 241aB 221
4、 aC 2a D 22a 9 由双曲线 12222 byax ，直线 byby , 围成的图形绕 y 轴 旋转一周所得旋转体的体积 为 （ ） A 238 abB ba238C ba234D 234 ab10 由抛物线 xy 22 与 直线 4xy 所围成的 图形的 面积 是 （ ） A 18 B338C316D 16 11 设 底面为等边三角形 的 直棱柱 的 体积为 V ，则 其表面积最小时，底面边长为 （ ） 3V 32V 34V D 32V 12 某人要剪一个 如 图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧 )0(sin xxy 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边
5、形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为 （ ） A 2336 B 223312 C 26 D 22336 第 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分。请将答案填在答题卷相应空格上。） 13 曲线 3xy 在点 )0)(,( 3 aaa 处的切线与 x 轴、直线 ax 所围成的三角形的面积为61 ，则 a _ 。 14 一点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移 是 234 25341 tttS ， 那么 速度为零的时刻是 _。 15 )2211(l i m 22222 nn nnnn _. 16 dxxx40 |)3|1(|_。 普宁二中高二级数学科单元测试
6、试卷 第 3 页 共 8 页 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17）（本小题满分 10 分） 已知向 量 ),1(),1,( 2 txbxxa ，若函数 baxf )( 在区间 )1,1( 上是增函数，求 t 的取值范围。 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知函数 xbxaxxf 3)( 23 在 1x 处取得极值 . (1)讨论 )1(f 和 )1(f 是函数 )(xf 的极大值还是极小值 ; (2)过点 )16,0(A 作曲线 )(xfy 的切线 ,求此切线方程 . （ 19） （本小题满分 14 分） 设 ax0 ，求函
7、数 xxxxxf 24683)( 234 的最大值和最小值。 （ 20） （本小题满分 12 分） 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 多大时，容器的容积最大？ (21) （本小题满分 12 分） 直线 kxy 分抛物线 2xxy 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分 ,求 k 的值 . (22) （本小题满分 14 分） 已知函数 0,21)(,ln)( 2 abxaxxgxxf 。 （ 1）若 2b ，且函数 )()()( xgxfxh 存在单调递减区间 ，求 a 的取值范围。 （ 2）设函数 )(xf 的图象 1C 与函数 )(xg 的
8、图象 2C 交于点 QP, ，过线段 PQ 的中点作x 轴的垂线 分别交 1C 、 2C 于点 NM, 。证明： 1C 在点 M 处的切线与 2C 在点 N 处的切线 不平行 。 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 4 页 共 8 页 普宁二中 2005-2006学年度 第二学期月考 试 题 高 二 数 学 （ 参考 答 案） 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） （ 13）、 1 （ 14）、 0t （ 15）、 2ln21（
9、16） 、 10 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17）（本小题满分 10 分） 解：由题意知： ttxxxxtxxxf 232 )1()1()( ，则 txxxf 23)( 2 （ 3 分） )(xf 在区间 )1,1( 上是增函数， 0)( xf 即 xxt 23 2 在区间 )1,1( 上是恒成立， （ 5 分） 设 xxxg 23)( 2 ，则 31)31(3)( 2 xxg ，于是有 5)1()( m a x gxgt 当 5t 时， )(xf 在区间 )1,1( 上是增函数 （ 8 分） 又当 5t 时， 314)31(
10、3523)( 22 xxxxf ， 在 )1,1( 上，有 0)( xf ， 即 5t 时， )(xf 在区间 )1,1( 上是增函数 当 5t 时，显然 )(xf 在区间 )1,1( 上不是增函数 5t （ 10 分） （ 18）（本小题满分 12 分） 解：（ 1） 323)( 2 bxaxxf ，依题意， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A B B C A B B A C B 县（市、区）学校班级姓名学号密封线密 封线内 不 要答题 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 5 页 共 8 页 0)1()1( ff ，即 .0323 ,0323 ba ba解得
11、0,1 ba （ 3 分） xxxf 3)( 3 ， )1)(1(333)( 2 xxxxf 令 0)( xf ，得 1,1 xx 若 ),1()1,( x ，则 0( xf 故 )(xf 在 ),1()1,( 和 上是增函数； 若 )11( ，x ，则 0)( xf 故 )(xf 在 )1,1( 上是减函数； 所以 2)1( f 是极大值， 2)1( f 是极小值。 （ 6 分） （ 2）曲线方程为 xxy 33 ，点 )16,0(A 不在曲线上。 设切点为 ),( 00 yxM ，则 0300 3xxy 由 )1(3)( 200 xxf 知，切线方程为 )(1(3 0200 xxxyy （
12、 9 分） 又点 )16,0(A 在切线上，有 )0)(1(3)3(16 020030 xxxx 化简得 830 x ，解得 20 x 所以 切点为 )2,2( M ，切线方程为 0169 yx （ 12 分） （ 19）（本小题满分 14 分） 解： )2)(1)(1(1224122412)( 23 xxxxxxxf 令 0)( xf ，得： 2,1,1 321 xxx （ 2 分） 当 x 变化时， )(),( xfxf 的变化情况如下表： x )1,0( 1 )2,1( 2 ),2( )( xf 0 0 )(xf 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 极大值为 13)1( f ，
13、 极小值为 8)2( f 又 0)0( f ，故最小值为 0。 （ 6 分） 最大值与 a 有关： （ 1）当 )1,0(a 时， )(xf 在 ),0( a 上单调递增 ，故最大值为： aaaaaf 24683)( 234 （ 8 分） （ 2）由 13)( xf ，即： 01324683 234 xxxx ，得： 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 6 页 共 8 页 0)1323()1( 22 xxx ， 1x 或3 1021x又 0x ， 1x 或3 1021x （ 10 分） 当 1a 3 1021, 时，函数 )(xf 的最大值为： 13)1( f （ 12 分） （ 3）当 (
14、a ),3 1021 时，函数 )(xf 的最大值为： aaaaaf 24683)( 234 （ 14 分） （ 20） （本小题满分 12 分） 解：设 圆锥 的 底面 半径为 r ， 高为 h ， 体 积为 V ，则 由 222 Rrh ，所以 )0(,3131)(3131 32222 RhhhRhhRhrV 2231 hRV ， 令 0V 得 Rh 33 （ 6 分） 易 知 ： Rh 33 是函数 V 的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 当 Rh 33 时，容积最大。 （ 8 分） 把 Rh 33 代入 222 Rrh ，得 Rr 36 由 rR 2 得 362 即 圆心角
15、362 时，容器的容积最大。 （ 11 分） 答： 扇形 圆心角 362 时，容器的容积最大。 （ 12 分） (21) （本小题满分 12 分） 解：解方程组 2xxykxy 得：直线 kxy 分抛物线 2xxy 的交点的横坐标为 0x 和 kx 1 （ 4 分） 抛物线 2xxy 与 x 轴所围成图形为面积为 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 7 页 共 8 页 61|)3121()( 103210 2 xxdxxxS （ 6 分） 由题设得 dxkxdxxxS kk 1010 2 )(26 )1()( 310 2kdxkxxxk （ 10 分） 又61S，所以21)1( 3 k，从而
16、得： 241 3k （ 12 分） (22) （本小题满分 14 分） 解： （ 1） 2b 时，函数 xaxxxh 221ln)( 2 ，且 x xaxaxxxh 1221)( 2 函数 )(xh 存在单调递减区间， 0)( xh 有解。 （ 2 分） 又 0x ， 0122 xax 有 0x 的解。 当 0a 时， 122 xaxy 为开口向上的抛物线， 0122 xax 总有 0x 的解 ; （ 4 分） 当 0a 时， 122 xaxy 为开口向下的抛物线，而 0122 xax 有 0x 的解， 则 044 a ，且方程 0122 xax 至少有一正根，此时， 01 a 综上所述， a
17、 的取值范围为 ),0()0,1( 。 （ 7 分） （ 2） 设点 ),(),( 2211 yxQyxP ，且 210 xx ，则 点 NM, 的横坐标为 2 21 xxx ， 1C 在点 M 处的切线斜率为21212|121 xxxk xxx ； 2C 在点 N 处的切线 斜率为 bxxabaxk xxx 2)(|)( 2122 21。 （ 9 分） 假设 1C 在点 M 处的切线与 2C 在点 N 处的切线 平行 ，则 21 kk ，即 212xx bxxa 2 )( 21 普宁二中高二级数学科单元测试试卷 第 8 页 共 8 页 则 )()(2)(2 12212221 12 xxbxxaxx xx 1212121222 lnln)2()2( xxyybxxabxxa 所以 12lnxx12121)1(2xxxx （ 11 分） 设12xxt ，则 tln 1,1 )1(2 ttt ， 令 1,1 )1(2ln)( ttttth，则 222 )1( )1()1( 41)( tt tttth当 1t 时， 0)( th ，所以 )(th 在 ),1 上单调递增。 故 0)1()( hth ，从而ttt 1 )1(2ln这与 矛盾，假设不成立， 1C 在点 M 处的切线与 2C 在点 N 处的切线 不平行 。 （ 14 分）
