1、 1 2 导数与微分 2.1 导数的概念与导数的四则运算 一、 导入新课： 导数与微分是微分学的两个最基本、最重要的概念。导数刻画的是函数相对于自变量的变化快慢程度，即变化率。本节主要研究导数的概念、性质和基本求导公式。下面，我们先通过两个经典实例引出导数的概念，进而研究导数的计算方法。 二、 讲授新课： 2.1.1 两个引例 引例 2.1.1（变速直线运动的瞬时速度） 设物体作变速直线运动，路程 s 关于时间 t 的运动方程为 ()s st ，试求物体在 0t 时刻的瞬时速度 0()vt 。 解： 对于匀速运动来说，我们有速度公式： =st速 度 （ s 表示经过的路程， t 表示所用的时间
2、）。 当时间 t 由 0t 获得增量 t 时，路程 s 有相应的增量 00( ) ( )s s t t s t 比值 00( ) ( )s t t s tstt 就是物体在 0t 到 0tt 这段时间内的平均速度，记作 v ，即 00( ) ( )s t t s tsv tt 显然， t 越小，平均速度 v 就越接近于物体在 0t 时刻的瞬时速度。当 t无限小时，平均速度 v 就无限接近于物体在 0t 时刻 的瞬时速度，即 2 000 0 0 0 ( ) ( )( ) l im l im l imt t t s t t s tsv t v tt 引例 2.1.2（ 平面曲线的切线斜率 ） 设函
3、数 ()y f x 的图像为曲线 L，考察曲线 L 上某点的切线的斜率。 解： 记点 M 坐标为 00( , ( )x f x ，设 1( , ( )M x f x 为曲线 L 上另一点， M 与 1M 到 x 轴的垂足分别为 A 和 B ，作 MN 垂直 1BM 并交 1BM 于 N ，则 0MN x x x 10( ) ( )N M y f x f x 而比值 0 0 00( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x f xyx x x x 便是割线 1MM 的斜率 tan ，当 0x时， 1M 沿曲线 L 无限接近于 M ，割线1MM 无限接 近于切线 MT ，从而得到切线的
4、斜率 10000 ( ) ( )ta n l im ta n l im l imM M x x f x x f xyxx 2.1.2 导数的定义 1） 导数的定义 定义 2.1.1 设函数 ()y f x 在点 0x 的某一领域内有定义，当自变量 x 在 0x 处有增量 x （ 0x ， 0xx 仍在该领域内）时，相应地，函数有增量00( ) ( )y f x x f x ，如果当 0x时，极限 0000 ( ) ( )l im l imxx f x x f xyxx 存在，则称函数 ()y f x 在点 0x 处可导，并称该极限值为函数 ()y f x 在点 0x 处的导数，记作 0()fx
5、 ，也记为 3 0 0(),xx xxdf xy dx 或0xxdydx即 000 00 ( ) ( )( ) l im l imxx f x x f xyfx xx 若极限不存在，则称函数 ()y f x 在点 0x 处不可导 。 若令 0x x x ，则当 0x时，有 0xx ，故函数在 0x 处的导数 0()fx 也可表示为 0000( ) ( )( ) limxxf x f xfx xx 有了导数的概念，前面两个引例中的所求量可以表述为： （ 1）作变速直线运动的物体在时刻 0t 的瞬时速度，是距离函数 s 在 0t 处对时间 t 的导数，即00() ttdsvt dt （ 2）平面曲
6、线 ()y f x 在点 00( , ( )M x f x 的切线斜率是函数 y 在该点对自变量x 的导数，即0ta nxxdyk dx 2）左、右导数 类比于左、右极限的概念，若0limxyx 存在，则称之为 ()fx在点 0x 处的左导数，记为 0()fx ，即 000 00 ( ) ( )( ) l im l imxx f x x f xyfx xx 若0limxyx 存在，则称之为 ()fx在点 0x 处的右导数，记为 0()fx ，即 000 00 ( ) ( )( ) l im l imxx f x x f xyfx xx 定理 2.1.1 函数 ()y f x 在点 0x 的左、
7、右导数存在且相等是 ()fx在点 0x 处可4 导的充分必要条件。 若函数 ()y f x 在区间 (, )ab 内每一点都可导，则称 ()y f x 在区间 (, )ab 内可导，相应地，称 ()y f x 是区间 (, )ab 上的可导函数。 若 ()fx在 (, )ab 内可导，则对任意 ( , )x ab ，都有一个确定的导数值 ()fx 与之对应，这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数 ()y f x 的导函数，记作 ()( ), , ,dy df xf x ydx dx由导数与导函数定义可知，函数 ()y f x 在点 0x 处的导 数 0()fx ，就是导函数 ()fx 在点
8、0xx 处的函数值，即 00( ) ( ) xxf x f x 3） 导数的几何意义 由 引例 2.1.2 和定义 2.1.1 可知，函数 ()y f x 在点 0x 处的导数等于函数所表示的曲线在相应点 00( , )xy 处的切线斜率，这就是导数的几何意义。 根据导数的几何意义，可得曲线 ()y f x 在 00( , ( )x f x 处的切线方程和法线方程。若 0()fx 存在，则曲线 L 上点 00( , )Mx y 的切线方程为 0 0 0( )( )y y f x x x 若0000( ) ( )( ) l i mxxf x f xfx xx ，则切线垂直于 x 轴，切线方程为
9、x 轴的垂线 0xx 。 若 0( ) 0fx ，则过点 00( , )Mx y 的法线方程是0001 ()()y y x xfx 而当 0( ) 0fx 时，法线为 x 轴的垂线 0xx ；切线为平行于 x 轴的直线 0yy 。 5 4）可导与连续 如果函数 ()y f x 在某点导数存在，那么它一定在该点连续。反之，不成立。 事实上，若函数 ()y f x 在点 x 处可导，则有 0lim ( )xy fxx 由函数的极限与无穷小的关 系，有 ( ) ( )y f x xx 其中 ()x 为当 0x 时的无穷小。两端同时乘以 x ，得 ( ) ( )y f x x x x 令 0x 对上式
10、取极限，得 0lim 0x y这就是说函数 ()y f x 在点 x 处连续。但是，若函数 ()y f x 在 x 处连续，则在该点函数不一定可导。 例如，函数 , 0,0xxyx xx在 0x 处连续，但是在该点不可导。 一方面，因为 ( 0 ) ( 0)y f x f x 所以 00lim lim 0xxyx 即该函数在 0x 处连续。 另一方面，在点 0x 处的右导数为 0 0 0( 0 ) l im l im l im 1x x xxyxf x x x 6 在点 0x 处的左导数为 0 0 0( 0 ) l im l im l im 1x x xxyxf x x x 左右导数不相等，故
11、函数在 0x 处不可导。 因此，函数连续是可导 的必要条件而非充分条件。 5）变化率模型 例 2.1.2（细杆的线密度模型） 以一根质量非均匀分布的直细杆的一端为坐标原点，从该端指向直杆另一端的方向为坐标轴正方向，建立数轴。已知直杆 0, x 段的质量 m 是 x 的函数 ()m mx ，求杆上 0x 处的线密度。 解： 若细杆质量分布是均匀 的，长度为 x 的一段的质量为 m ，则它的线密度为 = mx 质 量长 度由于细杆在 00, x 段的质量 0()m mx ，在 00, + xx 段的质量 0( + )m m x x，于是在 x 这段细杆的质量为 00= ( + )- ( )m m
12、x x m x x 这段细杆的平均线密度为 00( + ) - ( )= m x x m xmxx 0000 ( + ) - ( )= l im = ( )xxxm x x m x dmx m xx d x （ ） 7 2.1.3 求导举例 利用导数 定义求函数 ()y f x 的导数 y ，可以分为以下三个步骤： （ 1）求增量： ( ) ( )y f x x f x （ 2）算比值： ( ) ( )y f x x f xxx （ 3）取极限：0limxyy x 例 2.1.5 求常函数 yC （ C 为常数）的导数。 解： 因为 yC ，即不论 x 取什么值， y 的值总等于 C ，所以
13、0y ； 0yx； 00lim lim 0 0xxyy x 这就是说，常函数的导数等于零。 例 2.1.6 求函数 2yx 的导数。 解： 2 2 2( ) 2 ( )y x x x x x x ； 22 ( ) 2y x x x xxxx ； 00l im l im ( 2 ) 2xxyy x x xx ， 即 2( ) 2xx 更一般地有 1()nnx nx 例 2.1.7 求函数 sinyx 的导数。 解： ( ) ( ) si n( ) si ny f x x f x x x x ( ) ( )2 c o s sin22x x x x x x 8 2 c os( ) sin22xxx
14、2 c o s( ) sin sin2 2 2c o s( )22x x xxyx xxxx 00sin 2l im l im c o s( )22xxxd y y xxxd x x 00sin 2lim c os( ) lim22xxxxxx 由 cosx 的连续性及重要极限0sinlim 1xxx ，上式得 cosdy xdx即 (sin ) cosxx 用类似的方法，可求得余弦函数 cosyx 的导数为 (cos ) sinxx 2.1.4 函数的和、差、积、商的求导法则 定理 2.1.2 设函数 ()u ux 与 ()v vx 在点 x 处可导，则函数 ( ) ( ), ( ) ( )
15、,u x v x u x v x ()( ( ) 0)()ux vxvx 也在点 x 处可导，且有以下法则： （ 1） ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x （ 2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x ， 特别地， ( ) ( )Cu x Cu x （ C 为常数）； （ 3）2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0 )( ) ( )u x u x v x u x v x vxv x v x ， 特别地，当 ()x C （ C 为常数）时，有2 ()( ) ( )C Cv xv x v x9 例
16、 2.1.9 求 3sin 5y x x 的导数。 解： 3 2 2( s in ) ( ) ( 5 ) c o s 3 0 c o s 3y x x x x x x 例 2.1.12 验证导数公式 (se c ) se c tanx x x 成立。 证：221 ( c o s ) sin( se c ) ( ) se c ta nc o s c o s c o sxxx x xx x x 用 类似的方法可验证导数公式 (c sc ) c sc c otx x x 2.1.5 基本初等函数的求导公式 10 2.1.6 高阶导数（二阶） 定义 2.1.2 如果函数 ()y f x 的导数 ()y f x 仍是 x 的可导函数，就称()y f x 的导数为函数 ()y f x 的二阶导数，记作 , ( )y f x 或 22dydx ，即 ( ) ( )y y f x 或 22 ()d y d dydx dx dx三、 小结： 本节从两个引例引出导数的概念、接着对导数的性质、几何意义和基本求导公式 进行了学习，对于高阶导数只需研究到二阶，即便于应用于之后的学习中。
