1、 3.4 定积分 一、知识点梳理 1 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 分割 、 近似代替 、 求和 、 取极限 2 定积分的定义 如果函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点将区间 a， b等分成 n个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i 1,2， ， n)，作和式 ni 1f(i)x.当 n 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间 a， b上的定积分，记作 baf(x)dx. 3 定积分的运算性质 (1)bakf(x)dx kbaf(x)dx (k为常数 ) (2)baf1(x)f2(x)dx baf1(x)dxbaf2(
2、x)dx. (3)baf(x)dx caf(x)dx bcf(x)dx (acb) 4 微积分基本定理 一般地，如 果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F (x) f(x)，那么 baf(x)dx F(b)F(a) 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼茨公式可以把 F(b) F(a)记为 F(x)|ba，即 baf(x)dx F(x)|ba F(b) F(a) 5.定积分的几何意义 二、题型分析 题型一 定积分的计算 例 1 （ 1） dxx11（ 2） 20 cosxdx（ 3） 11 dxx（ 4） 12 223 2 dxxdxx（ 5） 2110 )1()1( dx
3、xdxx2.设 f(x) x2， x 0， 1，2 x， x 1， 2， 则 20 )( dxxf 等于 ( ) A.34 B.45 C.56 D不存在 (2)若定积分 m2 x2 2xdx 4，则 m等于 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 22sin xdx _. 题型二 利用定积分求曲边梯形的面积 例 2 （ 1） 22 24 dxx（ 2） 10 21 dxx（ 3） y=0,y= x ,x=2 (4)y=x-2,x= 2y 2.如图所示，求由抛物线 y x2 4x 3 及其在点 A(0， 3)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积 已知函数 y f(x)的图象是折线段 AB
4、C，其中 A(0,0)、 B(12， 5)、 C(1,0)函数 y xf(x)(0 x 1)的图象与 x轴围成的图形的面积为 _ 题型三 定积分在物理中的应用 例 3 一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体 在 12 s 6 s 间的运动路程为 _ 思维升华 定积分在物理方面的应用主要包括： 求变速直线运动的路程； 求变力所做的功 设变力 F(x)作用在质点 M上，使 M沿 x轴正向从 x 1 运动到 x 10，已知F(x) x2 1 且和 x轴正向相同，求变力 F(x)对质点 M所做的功 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用 典例： (12 分 )在区间 0,1上给定曲线
5、 y x2.试在此区间内确定点 t 的 值，使图中的阴影部分的面积 S1与 S2之和最小，并求最小值 方法与技巧 1 求定积分的方法 (1)利用定义求定积分 (定义法 )，可操作性不强 (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： 求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)； 计算 F(b) F(a) (3)利用定积分的几何意义求定积分 2 求曲边多边形面积的步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形 (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限 (3)将 曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和 (4)计算定积分 失误与防范 1 被积函数若含有绝对值号，应先去
6、绝对值号，再分段积分 2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量 3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限 4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负 5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷 . 三作业巩固 A组 专项基础训练 (时间： 35分钟，满分： 57分 ) 一、选择题 1 20 (sin x acos x)dx 2，则实数 a等于 ( ) A 1 B 1 C 3 D. 3 2 由直线 x 3， x 3， y 0 与曲线 y cos x所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.12 B 1 C. 32 D. 3
7、 3 (2013江西 )若 S1 21x2dx， S2 211xdx， S3 21exdx，则 S1， S2， S3的大小关系为 ( ) A S1S2S3 B S2S1S3 C S2S3S1 D S3S2S1 4 图中阴影部分的面积是 ( ) A 16 B 18 C 20 D 22 5 一物体在变力 F(x) 5 x2(力单位： N，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30方向作直线运动，则由 x 1 运动到 x 2 时 F(x)做的功为 ( ) A. 3 J B.2 33 J C.4 33 J D 2 3 J 二、填空题 6 30(x2 1)dx _. 7 如图所示，函数 y x2 2
8、x 1 与 y 1 相交形成一个闭合图形 (图中的阴影部分 )，则该闭合图形的面积是 _ 8 汽车以 v 3t 2 (单位： m/s)作变速直线运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是 _ m. 三、解答题 9 求曲线 y x， y 2 x， y 13x所围成图形的面积 10 汽车以 54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度 3 m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？ B 组 专项能力提升 (时间： 25分钟，满分： 43分 ) 1 设 f(x) x2， x 0， 1，1x， x 1， e(其中 e 为自然对数的底数 )，则 e0f(x)dx的值为 ( ) A.43 B.54 C.65 D.76 2 曲线 y 1x与直线 y x， x 2 所围成的图形的面积为 _ 3 作变速直线运动的质点的速度是 v(t) t0 t 20，2020t 80，100 t80t 100.(单位 m/s) (1)该质点从 t 10 到 t 30 时所经过的路程是 _ m； (2)该质点从开始运动到结束运动共经过 _ m. 4 曲线 C： y 2x3 3x2 2x 1，点 P(12， 0)，求过 P的切线 l 与 C 围成的图形的面积 5 如图所示，直线 y kx分抛物线 y x x2与 x轴所围图形为面积相等的两部分，求 k的值
