1、排列（三） 一、 复习： 1、排列的概念： 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m（ mn ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列 2、排列数： （ 1）定义：从 n 个不同的元素中取出 m（ mn ）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 mnA 表示。 （ 2）公式： ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )mnA n n n n m （理解此公式的得来，体现两个原理的使用） 特点：从自然数 n 开始，后一个因数比前一个因数少 1，最后一个因数是 1nm，共 m 个因数相乘。 （ 3） n 个元素的全排列数： !
2、nnAn ， （ 4） !( )!nn nA nm 0!1 二、新课 （一） 无限制条件的排列问题： 问题一：某年全国足球甲 A联赛共有 14个队参加，每队都要与其余各队在主客场分 别比赛一次，共进行多少场比赛？ 归纳：认真审题，用选出来的元素位置、顺序的改变对所得结果是否有影响，来判断是“有序”问题，还是无序问题。 如果是有序，即可归结为排列问题，再考虑： （ 1） n 个不同元素是指什么？ （ 2）要取出的 m个元素指什么？ （ 3）从 n 个不同的元素中取出 m个元素的每一种排列，在题中到底对应着什么事情？ 练习 、判断下列问题中哪些是排列问题？是排列问题的，用排列数写出结果。 （ 1）
3、 20 位同学互通一封信，问共通信多少次？ （ 2） 20 位同学互通一次电话，问共通话多少次？ （ 3） 20 位同学互相 握一次手，问共握手多少次？ （ 4）从 e， ， 5， 7， 10 五个数中任意取出 2 个数作为对数的底与真数，问共有几种不同的对数值？ （ 5）以圆上的 10 个点为端点，共可作多少条弦？ （ 6）以圆上的 10 个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条。 问题二：（ 1）有 5 本不同的书，从中选出 3 本送给3 名同学，每人 1 本，共有多少种不同的送法？ （ 2）有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人 1 本，共有多少种不同的送法？ 注意
4、：在实际问题过程中， （ 1）能“重复”还 是不能“重复”，有重复时不能用 mnA 计算，如 问题二中的 （ 2）利用乘法原理解决； （ 2）“有序”还是“无序”，“无序”时，不是排列问题。只能归结为排列问题时才能用公式 mnA 求解。 例 1、 （ 1）由 1， 2， 3， 4， 5 可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （ 2） 6 个人站成一排照相， 多少种不同的站法？ （ 3） 6 个人站成前后两排照相，要求前排 2 人，后排 4 人，那么不同的排法共有多少种 （ 4）某信号共用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂 1 面、 2 面和 3面，并且不同的顺序表示
5、不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 练习： 1、 5 个班，有 5 名语文老师、 5 名数学老师、 5 名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师、一名英语老师。问有多少种不同的搭配方法？ 2、由 1、 2、 3、 4、 5、 6 可以组成没有重复数字的正整数？ 3、把 15 个人分成前中后三排，每排 5 人，不同的排法有 _种。 4、由 1、 2、 3、 4、 5 这 5 个数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数 有 _个 （二）有限制条件的排列问题： 一个问题是否是排列问题，关键是看取元素否“重复”，被取元素间是“有序”还是无序。排列问题具有“无重复”性和“有序”性。 除了运
6、用排列公式外，还要结合两个原理，对题目进行分类和细化。在实际问题中， 情况往往比较复杂，给出了一些限制的条件。 问题 1： 5 名学生和 1 名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？ 归纳：一般地，对于有限制条件的问题，有以下两种方法： （ 1）直接计算法（特殊元素优先考虑，特殊位置优先考虑） (2)间接计算法 练习： 1、由 1、 2、 3、 4、 5 可组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 2、由 0、 1、 2、 3、 4、可组成多少个没有重复数字的五位数？五位偶数呢？ 3、由 0、 1、 2、 3、 4、 5 可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 4、 由 0、
7、1、 2、 3、 4、 5 可以组成多少个无重复数字的不大于 4310 的四位偶数？ 例 1、 5 个人站成一排 （ 1）共有多少种不同的排法？ （ 2）其中甲必须站中间，有多少种不同的排法？ （ 3） 其中甲、乙两人必须相邻，有多少种排法？ （ 4）其中甲乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ （ 5）其中甲、乙两人不站排头和排 尾，有多少种不同的排法？ （ 6）其中甲不站排头，乙不站排尾 ，有多少种不同的排法？ （ 7）其中甲必须站在乙的左边 ，有多少种不同的排法？ 归纳： 1、元素相邻问题：一般用捆挷法，即将必须相邻元素“捆”在一起，当作一个元素排列。 2、元素不相邻问题：一般和插空法。 3、元素定 序问题：一般用除法。 练习： 1、在直线 0ax by中， a 、 b 可以从 0， 1， 2，3， 4 五个数字中任取不同的值，则方程表示的直线共有 _条。 2、 4 个学生和 3 个老师排成一排照相，老师不能排两端，且都是必须排在一起，共有 _种不同的排法。 3、停车场上有一排七个停车位，现在四辆 不同的汽车要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有 _种 。 4、某一天的课程表有七节课，要排入政治、语文、数学、物理、体育、历史、地理共七门课，如果第一节课不排体育，最后两节不排数学，那么共有_种不同的排法。
