1、6 2 多元函数的偏导数和全微分 6 2 1 偏导数的概念与计算 1偏导数定义 对于二元函数 ),( yxfz ，如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 ),( yxfz 对于 x 的偏导数。 定义 ：设函数 ),( yxfz 在点 (x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量 x 时 相应地函数有增量 ),(),( 0000 yxfyxxf 如果极限x yxfyxxfx ),(),(l i m 00000存在 则称此极限为函数 ),( yxfz 在点 (x0 y0)处对 x 的偏导数 记作
2、：00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yy xxxz ，或 ),( 00 yxfx 。 即： x yxfyxxfyxfxx ),(),(l i m),( 0000000 类似地，函数 ),( yxfz 在点 (x0 y0)处对 y 的偏导数定义为： y yxfyyxfy ),(),(l i m 00000 记作：00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yy xxyz ，或 ),( 00 yxfy 。 偏导函数：如果函数 ),( yxfz 在区域 D 内每一点 ),( yx 处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、 y 的函数 它就称为函数 ),( yxfz 对自变量 x
3、的偏导函数 记作 xz ， xf ， xz ， 或 ),( yxfx 。 偏导函数的定义式： x yxfyxxfyxfxx ),(),(l i m),( 0 类似地 可定义函数 ),( yxfz 对 y 的偏导函数 记为 yz yf yz ，或 ),( yxfy 。 偏导函数的定义式：y yxfyyxfyxf yy ),(),(l i m),( 0 2偏导数的计算 求 xf 时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数；求yf时 只要把 x 暂时看作常量而对y 求导数。 讨论：下列求偏导数的方法是否正确？ 00),(),( 00 yy xxxx yxfyxf ，00),(),( 00 yy x
4、xyy yxfyxf ， 0),(),( 000 xxx yxfdxdyxf ，0),(),( 000 yyy yxfdydyxf 。 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点 (x y z)处对 x的偏导数定义为 x zyxfzyxxfzyxfxx ),(),(l i m),( 0 其中 (x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问 题 例 1 求 zx23xyy2在点 (1 2)处的偏导数 解 yxxz 32 yxyz 23 8231221 yxxz 7221321 yxyz 例 2 求 zx2sin 2y
5、的偏导数 。 解 yxxz 2sin2 ； yxyz 2cos2 2。 例 3 设 )1,0( xxxz y 求证 zyzxxzyx 2ln1 证 1 yyxxz xxyz ylnzxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1 例 4 求 222 zyxr 的偏导数 。 解 rxzyx xxr 222；ryzyx yyr 222。 例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数 ) 求证 1 pTTVVp 证 因为 VRTp 2VRTVp pRTV pRTV RpVT RVpT 所以 12 pVRTRVpRVRTpTTVVp 例 5 说明的问题 偏导数的记号
6、是一个整体记号 不能看作分子分母之商。 3偏导数的几何意义 一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示 什么呢？我们知道，二元函数),( yxfz 在空间中表示一曲面，在 00( , )xy 处对 x 求偏导时把 y 看成常量，这时 z 是关于 x 的一元函数，所以00( , )xyzx 表示曲面 ),( yxfz 与平面 0yy 的交线在00( , )xy 处沿 x 轴正向的切线斜率 (如图 )同理， 00( , )xyzy 表示曲面在该点处沿 y 轴正向的切线斜率 4偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在
7、该点连续 例如 0 00 ),(222222yxyxyx xyyxf 在点 (0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点 (0 0)并不连续 提示： 0)0 ,( xf 0) ,0( yf 0)0 ,()0 ,0( xfdxdfx 0) ,0()0 ,0( yfdydf y 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点 (0 0)时 有 00l i m)0 ,(l i m),(l i m00)0,0(),( xxyx xfyxf 当点 P(x y)沿直线 ykx 趋于点 (0 0)时 有 22222022 )0,0(),( 1l i ml i m kkxkx kxyx xyxkxyyx
8、因此 ),(lim)0,0(),( yxfyx 不存在 故 函数 f(x y)在 (0 0)处不连续 6 2 2 全微分 1全微分的定义 根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有 偏增量与偏微分： xyxfyxfyxxf x ),(),(),( ， ),(),( yxfyxxf 为函数对 x 的偏增量 xyxfx ),( f x(x y)x 为函数对 x 的偏微分 yyxfyxfyyxf y ),(),(),( ， ),(),( yxfyyxf 为函数 )对 y 的偏增量， yyxfy ),( 为函数对 y 的偏微分。 全增量： ),(),( yxfyyxxfz 计算全增量比较复杂 我们希望用
9、 x、 y 的线性函数来近似代替之 定义 如果函数 zf(x y)在点 (x y)的全增量 ),(),( yxfyyxxfz 可表示为 ) )()( )( 22 yxoyBxAz 其中 A、 B 不依赖于 x、 y 而仅与 x、 y 有关 则称函数 zf(x y)在点 (x y)可微分 而称AxBy 为函数 zf(x y)在点 (x y)的全微分 记作 dz 即 yBxAdz 如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分 2 可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果 zf(x y)在点 (x y)可微 则 z f(xx yy)f(x y)AxByo(
10、)于是 0lim0 z 从而 ),(),(l i m),(l i m0)0,0(),( yxfzyxfyyxxfyx 因此函数 zf(x y)在点 (x y)处连续 3 可微条件 定理 1(必要条件 ) 如果函数 zf(x y)在点 (x y)可微分 则函数在该点的偏导数 xz 、yz必定存在 且函数zf(x y)在点 (x y)的全微分为 ： yyzxxzdz 。 证 设函数 zf(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点P (xx yy) 有 zAxByo() 特别当 y0 时有 f (xx y)f(x y)Axo(|x|) 上式两边各除以 x， 再令 x
11、0 而取极限 ， 就得 Ax yxfyxxfx ),(),(l i m0 从而偏 导数 xz 存在 且 Axz 同理可证偏导数yz存在 且 Byz 所以 ： yyzxxzdz 偏导数 xz 、yz存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 例如 ， 函数0 00 ),(222222yxyxyx xyyxf 在点 (00)处 虽然有 f x(0 0)0及 f y(0 0)0但函数在 (00)不可微分 即 zfx(0 0)xfy(0 0)y不是较 高阶的无穷小 这是因为当 (x y)沿直线 yx 趋于 (0 0)时 )0 ,0()0 ,0( yfxfz yx 021)()()()( 2222 xx x
12、xyx yx 定理 2(充分条件 ) 如果函数 zf(x y)的偏导数 xz 、yz在点 (x y)连续 则函数在该点可微分 定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯 x、 y 分别记作 dx、 dy 并分别称为自变量的微分 则函数 zf(x y)的全微分可写作 dyyzdxxzdz 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 uf (x y z) 的全微分为 dzzudyyudxxudu 例 1 计算函数 zx2y y2的全微分 解 因为 xyxz 2 yxyz 22 所以 dz2xydx(x2
13、2y)dy 例 2 计算函数 zexy 在点 (2 1)处的全微分 解 因为 xyyexz xyxeyz 212 exzyx 212 2eyzyx 所以 dze2dx2e2dy 例 3 计算函数 yzeyxu 2sin 的全微分 解 因为 1xu yzzeyyu 2cos21 yzyezu 所以 dzyedyzeydxdu yzyz )2c o s21( *二、全微分在近似计算中的应用 当二元函数 zf (x y)在点 P (x y)的两个偏导数 f x (x y) f y (x y)连续 并且 |x| |y|都较小时 有近似等式 z dz f x (x y)xf y (x y)y 即 f (
14、xx yy) f(x y)f x (x y)xf y (x y)y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由 100cu减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、 h 和 V 则有 V r 2h 已知 r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有 VdVVrrVhh2rhrr2h 2201000 05202(1)200 (cm3) 即此圆柱体在受压后体积约减少了 200 cm3 例 5 计算 (1 04)202 的近似值 解 设函数 f (x y)x
15、 y 显然 要计算的值就是函数在 x104 y202 时的函数值 f(104 202) 取 x1 y2 x004 y002 由于 f (xx yy) f(x y)f x(x y)xf y(x y)y x yyxy1xx yln x y 所以 (104)20212212100412ln1002108 例 6 利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是 224Tlg 现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=1000.1cm、 T=20.004s.问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少？ 解 如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作 |l|与 |T|, 则利用上
16、述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg 的全增量的绝对值 |g|.由于 |l|T|都很小 因此我们可以用 dg 来近似地代替 g这样就得到 g 的误差为 | TTgllgdgg Tl Tglg |)21(4322 Tl TlT 其中 l 与 T 为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2, l=0.1, T=0.004 代入上式 得 g 的绝对误差约为 )0 0 4.021 0 022 1.0(4322 g)/(93.45.0 22 scm . 00222 5.02 10045.0 gg 从上面的例子可以看到 对于一般的二元函数 z=f(x, y), 如果自变量 x 、 y
17、的绝对误差分别为 x、 y, 即 |x |x, |y |y, 则 z 的误差 | yyzxxzdzz | yyzxxz yx yzxz | 从而得到 z 的绝对误差约为 yxz yzxz | z 的相对误差约为 yxzzyzzxzz | 6 2 3 方向导数 1方向导数的定义 现在我们来讨论函数 zf(x y)在一点 P 沿某一方向的变化率问题 设 l 是 xOy 平面上以 P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos cos )是与 l 同方向的单位向量 射线 l 的参数方程为 xx0t cos yy0t cos (t0) 设函数 zf(x y)在点 P0(x0 y0)的某一邻域 U(P
18、0)内有定义 P(x0t cos y0t cos )为 l 上另一点 且 PU(P0) 如果函数增量 f(x0t cos y0t cos )f(x0 y0)与 P 到 P0的距离 |PP0|t的比值 t yxftytxf ),()c o s ,c o s( 0000 当 P 沿着 l 趋 于 P0(即 tt0)时的极限存在 则称此极限为函数 f(x y)在点 P0沿方向 l 的方向导数 记作),( 00 yxlf 即 ),( 00 yxlf t yxftytxft ),()c o s ,c o s(l i m 00000 从方向导数的定义可知 方向导数),( 00 yxlf 就是函数 f(x
19、y)在点 P0(x0 y0)处沿方向 l 的变化率 2 方向导数的计算 定理 如果函数 zf(x y)在点 P0(x0 y0)可微分 那 么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在 且有 ),( 00yxlf c o s),(c o s),( 0000 yxfyxf yx 其中 cos cos 是方向 l 的方向余弦 简要证明 设 xt cos yt cos 则 f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t) 所以 t yxftytxft ),()c o s ,c o s(l i m 00000 s i n),(c o),(
20、0000 yxfyxf yx 这就证明了方向导数的存在 且其值为 ),( 00yxlf c o s),(c o s),( 0000 yxfyxf yx 提示 ),(),( 0000 yxfyyxxf )()(),(),( 220000 yxoyyxfxyxf yx xt cos yt cos tyx 22 )()( 讨论 函数 zf (x y)在点 P 沿 x 轴正向和负向 沿 y 轴正向和负向的方向导数如何 ? 提示 ： 沿 x 轴正向时 cos cos0 xflf 沿 x 轴负向时 cos1 cos0 xflf 例 1 求函数 zxe2y在点 P(1 0)沿从点 P(1 0)到点 Q(2
21、1)的方向的方向导数 解 这里方向 l 即向量 )1 ,1( PQ 的方向 与 l 同向的单位向量为 )21 ,21( le 因为函数可微分 且 1)0,1(2)0,1( yexz 22)0,1(2)0,1( yxeyz所以所求方向导数为 22)21(2211)0,1( lz 对于三元函数 f(x y z)来说 它在空间一点 P0(x0 y0 z0)沿 el(cos cos cos )的方向导数为 ),( 000 zyxlf t zyxftztytxft ),()c o s,c o s ,c o s(l i m 0000000 如果函数 f(x y z)在点 (x0 y0 z0)可微分 则函数
22、在该点沿着方向 el(cos cos cos 的方向导数为 ),( 000 zyxlf c o s),(c o s),(c o s),( 000000000 zyxfzyxfzyxf zyx 例 2 求 f(x y z)xyyzzx 在点 (1 1 2)沿方向 l 的方向导数 其中 l 的方向角分别为 60 45 60 解 与 l 同向的单位向量为 el(cos60 cos 45 cos60 )21 ,22 ,21( 因为函数可微分 且 fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3 fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3 fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以 )235(21
23、212223213)2,1,1( lf 3 梯度 设函数 zf(x y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数 则对于每一点 P0(x0 y0)D 都可确定一个向量 fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数 f(x y)在点 P0(x0 y0)的梯度 记作 grad f(x0 y0) 即 grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 梯度与方向导数 如果函数 f(x y)在点 P0(x0 y0)可微分 el(cos cos )是与方向 l 同方向的单位向量 则 ),( 00yxlf c o s),(c o s),( 0000 yxfyxf yx grad
24、f(x0 y0)el | grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0) el) 这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el 与 grad f(x0 y0)的夹角 0 即沿梯度方向时 方向导数),( 00 yxlf 取得最大值 这个最大值就是梯度的模 |grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向 量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值 讨论 lf 的最大值 结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 4等值线 我们知道
25、一般说来二元函数 zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面 zc(c 是常数 )所截得的曲线 L 的方程为 cz yxfz ),( 这条曲线 L 在 xOy 面 上的投影是一条平面曲线 L* 它在 xOy 平面上的方程为 f(x y)c 对于曲线 L*上的一切点 已给函数的函数值都是 c 所以我们称平面曲线 L*为函数 zf (x y)的等值线 若 f x f y不同时为零 则等值线 f(x y)c 上任一点 P0(x0 y0)处的一个单位法向量为 ),(),(),(),( 1 0000002002 yxfyxfyxfyxf yxyx n 这表明梯度 grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数 nf 就等于 |grad f(x0 y0)| 于是 nnfyxf ),( 00g ra d
