DVD在线租赁.doc

1、题 目 DVD 在线租赁问题 摘要 本文以 DVD 在线租赁 为研究对象，研究了 DVD 需求的预测、购买和分配问题， 并对会员的满意度进行分析。 对于问题一，首先分析一个月的情况，分别对需求量、供应量、二次租赁人数占租赁人数比例 m 值计算，构建目标函数和约束条件： 5111min iMx.st 51 0 5 0 %i i ix m x p ( 1,2,3,4,5)i 解得结果为 DVD 1， 2， 3， 4， 5各自的准备量为 6250， 3125， 1563， 782， 313。 然后分析三个月的情况，方法同上，解得结果为 DVD 1， 2， 3， 4， 5 各自的准备量为3959， 1

2、980， 990， 495， 198。 对于问 题二， 解决 DVD 分配方案的问题，首先 用 0-1规划构造分配矩阵、订单矩阵，用分配元素与订单元素的比值得到满意度矩阵： 1 ,1 1 , 2 1 ,1002 ,1 2 , 2 2 ,100,1000 ,1 1000 , 2 1000 ,100()ijb b bb b bBbb b b在此基础上构造满意度函数： 10 00 10 0,11m ax ijijMb 求得 1000 位会员租赁到的 DVD 方案 ，并给出前 30 位方案（见表 4） 对于问题三， 同时满足满意度的最大和准备张数的最少，构造 目标函数 ： 10 00 10 0 10

3、0,1 1 1m a x i j ji j jbs 在约束条件下，求得 DVD 购买量 和分配结果 。 对于问题四， 考虑公司利润、 DVD 类型对 DVD 需求的预测、购买和分配的影响 情况。 考虑利润时考虑 租赁一次的损耗率 、 不同的 DVD 单价，不同地区邮费，每个会员每月需支付的会员费， 会员总人数， 不同地区的分配张数 因素，建立函数方程： ,( 1 ) j i j n nW H h f e a g G 当考虑 DVD 类型问题时，在每种类型下进行满意度的分析研究。 关键词 DVD 在线租赁 目标函数 0-1规划 满意度矩阵 1 一、问题重述 1.1 背景分析 随着信息时代的到来，

4、网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。 DVD 音像制品的在线租赁 就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。 DVD 公司进行在线 DVD 租赁，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会 员提交的订单包括多张 DVD ，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的

5、订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不 得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD 。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD放进网站提供的信 封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。 对于 DVD 租赁公司，需要 根据 会员对不同碟片的需求 对 DVD 碟片 预测、购买和分配 才能实现利润的最大化。 1.2 学要解决的问题 某 DVD 进行在线租赁， 由此解决以下问题： 问题一： 网站准备购买一些新的 DVD ，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显示， 60%的会员每月租赁 DVD 两

6、次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD ？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该DVD 呢？ 问题二： 表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单（表 2 的数据格式示例如下表 2，具体数据请从http:/ 下载），如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些DVD 。 问题三： 继续考虑表 2，并

7、假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD ，并且满意度最大？ 问题四： 如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。 二、 模型假设 1、假设每种 DVD 租赁人中仍然一次租赁比例占了 40%，二次租赁比例占了 60%。 2、 假设每次租借都是在月初和月中，归还都是在月中和月末。 3、 假设在每月末会员必须归还所租 DVD 。 4、假设 DVD 在租借过

8、程中没有 意外破损或丢失导致无法继续使用。 2 三、符号说明 为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明） 1M 保证一月内有 50%能看到该 DVD 所需张数 2M 保证三月内 有 95%能看到该 DVD 所需张数 m 在一月内保 证 50%能看到时二次租赁人比例 1 2 3,n n n 在三月内保证 95%能看到时二次租赁人比例 jz 第 j 种 DVD 数量 ,ijb 第 i 个会员对 j 种 DVD 的满意程度 ,ijc 第 i 个会员对 j 种 DVD 的订单 1f 租赁一次的损耗率 js 100 种 DVD 的购买量 iq 0-1

9、变量，判断第 i 个会员是否租赁到 DVD 四、问题分析 4.1 重要性分析 DVD 的在线租赁问题随着信息时代的到来，成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一，然而如何进行 DVD 数量的预测、购买和分配却一直是一个难题。进行 DVD 租赁的研 究，需要考虑多方面的问题，需要知道消费者对 DVD 类型的喜爱情况，不同租赁方式下会员所占的比重，还有利润的计算等等。合理的分析这些情况，可以避免 DVD在线租赁公司资金的浪费，降低营业成本，实现利润的最大化，实现 DVD 在线租赁事业的良性发展。 4.2 问题的思路分析 4.2.1 问题一的分析 对问题一中 需要考虑应该至少准备多少张，才能保证希望看

10、到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD 的问题，只要 保证提供的 DVD 大于等于需求人数的一半，在此情况下求得 DVD 碟数量的最小值， 首先按一个月的情况求解。分别计算供应量、需求量、 m 值。然后 以 5 种 DVD 碟数量最小值的累加和 构建目标函数 ， 以 5 种情况下需求量大于供应量构建 约束条件 ，得出方程求出结果。再按三个月的情况，方法同问题一，一样求出结果。 4.2.2 问题二的分析 问题二需要求出如何分配才能获得最大满意度 问题，首先进行满意度的计算。用 0-1规划构造分配矩阵、订单矩阵。考虑如果一个会员实际租赁到的 DVD 碟占他想要订的比例越大，

11、满意度越大，建立满意度矩阵，并对满意度求解， 综合各种约束条件，得到前 30 位会员租赁到的 DVD 方案 。 4.2.3 问题三 的分析 问题三是基于问题二进行考虑的，将问题二进行了更深层次的分析，计算最大满意度，同时结合问题一考虑满足部分会员时的最小购买量。由于需要满足两个目标函数，3 故将两者结合起来计算 10 00 10 0 10 0,1 1 1m a x i j ji j jbs 。 问题二中所需要的 DVD 库存均为零，因此需要全部重修购买，在计算时，又需要考虑可以只满足部分会员，因此在计算时在问题一的基础上又增加了一个 0-1变量 q ，允许部分会员，没有收到 DVD 。其他对于

12、人均分配和总分配的约束则与问题一，二相同。 4.2.4 问题四的分析 对于其它问题的研究，本文考虑利润和分配两个问题 ，当考虑利润时考虑 租赁一次的损耗率 、 不同的 DVD 单价，不同地区邮费，每个会员每月需支付的会员费， 会员总人数， 不同地区的分配张数 因素，建立函数方程；当考虑 DVD 类型问题时，在每种类型下进行满意度的分析研究。 五、模型的建立与求解 经过以上的分析和 准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。 5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 一个月的情况 对于应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该

13、 DVD 的问题，只要保证 该月 提供的 DVD 大于等于需求人数的一半，在此情况下求得 DVD 碟数量的最小值， 由此建立以 下模型。 5.1.1.1 供应量的计算 假设第 i 种 DVD 月初或月中借出的数量为 ix ，其中租赁两次的比例为 m ，则本月一共可提供的 DVD 数量由两部分组成，第一部分由本月第一次租赁的 ix 组成，第二部分由 ix 中二次租赁返还的 DVD 组成。故总供应量为 iix mx 。 5.1.1.2 需求量的计算 每种 DVD 需求数量应由该种 DVD 需求概率乘以总人数的 50%得到，查得 会员租赁5 种 DVD 的概率 如下表： 表 1 会员租赁 5 种 D

14、VD 的概率 DVD 名称 DVD 1 DVD 2 DVD 3 DVD 4 DVD 5 租赁的概率 0.2 0.1 0.05 0.025 0.01 5.1.1.3 m 值计算 当恰好租赁人数中只租赁一次的人占了极大比重时，此时 m 取得最小值 1/9 ，当恰好租赁人数中租赁二次的人占了极大比重时，此时 m 取得最大值 100%，但如果按最小值计算，则会造成资源的浪费；如果按最大值计算，则会造成出现满意度达不到 50%的情况。由此我们取 m 等于 60%，因为在此情况下满意度达到 50%的概率很大，可以近似看做 100%达到目标。 5.1.1.4 方程构建 根据 目标函数为 5 种 DVD 碟数

15、量最小值的累加和，约束条件为 5 种情况下需求量大于供应量， 建立下面的方程： 4 目标函数： 51 1min iiMx约束条件： 51 1 152 2 253 3 354 4 455 5 510 0.510 0.510 0.510 0.510 0.560%x m x px m x px m x px m x px m x pm 解得结果如下： 表 2 一个月准备 5 种 DVD 最小张数 DVD 名称 DVD 1 DVD 2 DVD 3 DVD 4 DVD 5 购买量（张） 6250 3125 1563 782 313 5.1.2 三 个月的情况 对于应该至少准备多少张 ，才能满足 在三个月

16、内至少 95%的会员能够看到该 DVD的问题 ， 解决思路同上，最终构建方程如下： 目标函数： 52 1min iiMx约束条件： 51 1 1 1 2 1 1 1 1 152 1 2 2 2 2 2 1 2 253 1 3 3 2 3 3 1 3 354 1 1 1 2 1 1 1 1 15 1 5 5 2 5( ) ( ) ( ) 10 0.9 5( ) ( ) ( ) 10 0.9 5( ) ( ) ( ) 10 0.9 5( ) ( ) ( ) 10 0.9 5( ) ( ) (y n y y n y y n y py n y y n y y n y py n y y n y y n

17、y py n y y n y y n y py n y y n y y 55 1 5 51 2 3) 10 0.9 50.1 0.6 , 0.1 0.6 , 0.1 0.6n y pn n n 计算结果如下： 表 3 三个月 准备 5 种 DVD 最小张数 DVD 名称 DVD 1 DVD 2 DVD 3 DVD 4 DVD 5 购买量（张） 3959 1980 990 495 198 5.2 问题二 DVD 分配方案的求解 根据网站手上 100 种 DVD 的现有张数和需要处理的 1000 位会员的在线订单，求解DVD 分配，使会员获得最大的满意度的问题，本文以最大满意度为目标函数，在相应约

18、束下，利用 0-11整数规划求出最大的满意度，同时得到相应的分配方案。 5.2.1 最大满意度 2的计算 5.2.1.1 分配矩阵 由于借到和借不到恰好是两种对立的情况，满足 0-1分布，因此本文 建立 0-1规划，所得结果如下 ： , 1,0ij i j D V Da i j D V D 表 示 第 位 会 员 租 赁 到 第 种， 表 示 第 位 会 员 没 有 租 赁 到 第 种则对会员的分配矩阵为 ： 5 1 ,1 1 , 2 1 ,1002 ,1 2 , 2 2 ,100,1000 ,1 1000 , 2 1000 ,100()ija a aa a aAaa a a5.2.1.2 D

19、VD 偏爱 矩阵 根据我们的理解， 会员的在线订单用数字 1,2, 表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高， 说明该会员对这种 DVD 的偏爱程度越大。设 ,ijc 为会员 i 对 DVDj 的订单数量，根据附表本文得出 DVD 订单矩阵如下 ： 1 ,1 1 , 2 1 ,1002 ,1 2 , 2 2 ,100,1000 ,1 1000 , 2 1000 ,100()ijc c cc c cCcc c c5.2.1.3 满意度矩阵 同上分析，如果一个会员对某种 DVD 的偏爱程度数字越小 ，说明该会员对这种DVD 的偏爱 程度越大， 定义 , , ,/i j i j i jb a c ， 则

20、第 i 位会员租赁到第 j 种 DVD 占该会员对 j种 DVD 订单的比重越大，相应的满意度越大 ，所以定义满意度 如下 ： ,00 , 0ijijijijija ccbc 则会员的满意度矩阵如下 ： 1 ,1 1 , 2 1 ,1002 ,1 2 , 2 2 ,100,1000 ,1 1000 , 2 1000 ,100()ijb b bb b bBbb b b5.2.1.4 满意度 求解 根据上述分析构造目标函数： 10 00 10 0,11m ax ijijMb 约束项的确立 ： (1)通过对 1000 位会员在线订单的分析，每位会员都订了三 张 ，当无法提供相应的 DVD时，以其它种

21、类的 DVD 替代，所以每位会员最终都会得到三张 DVD 。 所以有 100,1 3ijj a (2)因为要保证每种 DVD 不超过本身 ， 所以有 1000,1 i j ji az (3)保证 总借出不超过总 DVD ，所以有 10 00 10 0,11 3015ijija 运用 Lingo 求解 （见附录 三 ），得到前 30 位会员租赁到的 DVD 方案如下 ： 6 表 4 前 30 位会员租赁到的 DVD 方案 会员 DVD 序号数 1 8 41 98 2 6 44 62 3 32 50 80 4 7 18 41 5 11 66 68 6 19 53 66 7 8 26 81 8 31

22、 35 71 9 53 78 100 10 55 60 85 11 59 63 66 12 2 31 41 13 21 78 96 14 23 52 89 15 13 66 85 16 55 84 97 17 47 51 67 18 41 60 78 19 26 66 86 20 45 61 89 21 45 50 53 22 38 55 57 23 29 81 95 24 37 41 76 25 9 69 81 26 22 68 95 27 50 58 78 28 8 34 41 29 26 30 55 30 37 62 98 5.3 问题三的研究 问题三可以看作是将问题一和问题二结合起来考

23、虑，将 表 2 中 DVD 的现有数量全部设为 0，而重新判断准备多少 DVD 3，求得所需准备的最少的张数，同时还要考虑满意度最大，至少满足 95%的会员，能看到自己想要看到的 DVD 。 为了便于计算，同时能满足满意度最大，即 1000100,11ijijb最大，和购买量最小，即 1001 jj s最小。故将目标函数设为 ： 10 00 10 0 10 0,1 1 1m a x i j ji j jbs 对于满意度的计算，问题三和问题二中相同，均是 ： 7 ,00 , 0ijijijijija ccbc 对于能满足的会员数量，这里与问题一的计算方法相同，均是考虑租赁两次的会员在月中时能将所

24、借 DVD 还 回 ，以便在月中时再次租赁，使 DVD 的利用率尽量大，从而最终能够至少让 95%的会员得到自己想要的 DVD 。 考虑到不是需要让全部会员得到自己想要的 DVD ，故不需要使每个会员都得到DVD ，因此在问题二中的 100,1 3ijj a 则不再需要，而是转化为 100,1 3 , 1 , 2 , 10 00i j ij a q i ，其中 iq 为 0 或 1。 最后满足租赁出的 DVD 不超过所购买的 DVD 总数，就可以对所求目标函数进行完整的约束 ： 10 00 10 0 10 0,1 1 1m a x i j ji j jbs .st1000,1100,11003

25、1, 1 , 2 , 10 03 , 1 , 2 , 10 00( 1 ) 95 % 100.60 1 1 , 2 , 10 00 , 1 , 2 , 10 001i j jii j ijjjijjia s ja q ismma i jsNq 或 ，或求得 DVD 购买量 结果如下： 表 5 DVD 购买量 DVD 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 购买量 21 36 27 38 21 28 30 33 35 25 DVD 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 购买量 29 31 28 31 27 38 2

26、8 26 31 38 DVD 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 购买量 34 29 35 22 29 31 26 19 25 41 DVD 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 购买量 29 35 31 31 39 35 21 30 29 28 DVD 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 购买量 53 35 26 35 34 25 32 25 32 34 DVD 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 购买量 40 26 3

27、3 26 31 32 31 28 34 36 8 DVD 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 购买量 27 31 32 34 32 31 30 35 33 30 DVD 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 购买量 36 34 25 31 28 24 20 30 31 28 DVD 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 购买量 29 18 22 19 33 21 34 24 24 27 DVD 091 092 093 094 095 096 097 098 099 1

28、00 购买量 39 28 24 23 40 24 36 32 18 35 DVD 分配结果（会员前 30个） 表 6 会员前 30个 DVD 分配结果 会员 DVD 序号数 1 8 82 98 2 6 42 44 3 4 50 80 4 7 18 41 5 11 66 68 25 9 69 94 26 22 68 95 27 22 42 58 28 8 34 82 29 30 44 55 30 1 37 62 5.4 问题四 的求解 5.4.1 利润的研究 DVD 的需求预测、购买和分配 问题 中 还应考虑利润的问题，利润越大，方案越优。假设每张 DVD 质量相同，租赁一次的损耗率为 1f ，

29、不同的 DVD 单价为 ie ，不同地区邮费为 ng ，每个会员每月需支付的会员费为 h ，总利润为 W ，共有会员 H 人，不同地区的分配张数 nG ， 则 建立的函数为： ,( 1 ) j i j n nW H h f e a g G 目标是将 W 最大化。 5.4.2 分类的研究 在需求预测时将 DVD 分成不同的几种类型：影视、音乐、科教、体育、健身。假设在同种类型中有 DVD 数量不足时以同种代替，可使满意度仅下降 20%，而以不同类型代替则会是满意度下降 50% 则：在计算满意度时将 , , ,/i j i j i jb a c ，则取 ,ijb =1,2,3 时 ,ijc 之间差

30、值最大，超过了 20%。 （ 1）先满足满意度为 1,1/2 ， 1/3 的会员。 （ 2）若有会员未选到他满意度为 1,1/2 ， 1/3 的 DVD ，而该种类型的 DVD 所选人数满意度又小于 1/3 ，则将 DVD 租借给前者，同理，若不同类型的 DVD 有租赁人满意度小9 于 1/3 ，则也租赁给前者。 六、模型的检验 本文将订单矩阵 1 2 3 9 9 1 0 0( , , , ., , )B b b b b b 转化为 0-1 需求矩阵，对需求矩阵的列向量求和可得到每种 DVD 的需求量，形成二维图如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002040608

31、0100120图 1 二维图 从该图可以看出，每种 DVD 的需求量比 较均衡，这说明多个顾客同时想要相同几种 DVD 的概率很小，正好印证交集影响微小的合理性。 七、模型的评 价 与改进 7.1 模型的优点 1、 本模型在随机分布的基础上，建立关于 DVD 分配情况的矩阵，以及各会员的针对各种 DVD 的满意程度矩阵，使得问题的描述比较清晰。 2、 对于满意程度的表示，我们采取了将 附 表中的偏爱程度取倒数的方法，使得会员满意程度的描述有依据，显得比较合理， 避免了线性取值带来的较大误差。 3、 对于问题二、三涉及 的 大量数据，本文用 Lingo 编程，很好地解决了问题，结果让人满意 。

32、4、 问题四中，本文从经营者的角度，在 DVD 的需求预测、购买和分配中涉及到的其他一些重要问题进行分析，并建立了相应的数学模型，综合考虑了多种因素。 7.2 模型的缺点 1、 因为问题一本文是从一个极限的角度来求解 5 种 DVD 的最小购买量，所以在计算结果的准确 度来讲，会有一些误差。 2、 对商业运作知识的缺乏，对一些因素（比如满意度）的把握 可能欠缺妥当。 3、 需要对大量数据进行处理，增加了建模求解的难度。 7.3 模型的改进 实际中，网站为了持续发展，扩大规模，必须不断购进各种新 DVD ，因此需要根据各种新 DVD 的宣传力度、明星阵容、所属种类、观众期望程度等方面因素，综合分析、预测其中 DVD 的租赁情况，及网站的需求量购买，使的 公司的成本最低，而会员对网站的满意度最大。 而本篇论文并未考虑这些其他的可能对问题产生影响的因素，这正是本篇论文值得改进的地方。