1、 基金使用规划 【摘要】 本文是针对基金在学校里 中没有风险存在的大前提下，对基金中的银行存款和 国库券 这两个项目在一时间为起点，最终获得最大利润这样的方式购买。我们对这两个项目进行一些假设，把它转化为线性规划的问题来进行求解，通过建立线性规划模型来 提出最优的基金使用方案。 问题一， 由于要求每年用于奖金的资金额大致相等 ， 那么 我们 假设 10 年使用的奖金总额 达到 最大，即 t01zmax ， 然后根据题建立优化目标函数的限制条件，再利用 MALAB 来进行求解。即， 每年奖金额约为 109.82 万元； 10 年共计 1098.2 万元。 问题二， 由题意可知 国库券年利率 比
2、同期银行存款利率 要高一些 ，显然，只要能买国库券就不会存同期银行存款 。所以，在 问题一的基础上，我们可以建立一个模型来进行求解（模型见模型建立 2），即， 每年奖金额约为 146.86 万元；10 年共计 1468.6 万元。 问题三，在前面二种情况的基础上，可建立线性模型为 t.201zmax ， 然后根据题建立优化目标函数的限制条件，再利用 MALAB 来进行求解。即， 每年奖金额约为 143.79 万元 ，第 3 年奖金额为 172.548 万元 ； 10 年共计 1466.6 万元。 【关键词 】 基金 国库券 银行存款 利率 奖金最多 MATLAB 线性规划 基金使用规划 一、问
3、题提出 众 所周知 ，基金是当代社会中获取利润高的一种方式，将钱换取钱，但在这之中也会存在一定的风险。人们就开始纠结怎样才能使自己在基金中的获取利润达到最大，面对这样的纠结，好些人饭吃不好觉也睡不好。据此，我们特提出以下几个问题： 【问题】 某校基金会有一笔数额为 M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见 下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在 n 年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金
4、会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000 万元， n=10 年给出具体结果： 1 只存款不购国库券； 2 可存款也可购国库券。 3学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多 20%。 银行存款税后年利率（ %） 国库券年利率（ %） 活 期 0.792 半年期 1.664 一年期 1.800 二年期 1.944 2.55 三年期 2.160 2.89 五年期 2.304 3.14 二、问题分析 基金应滚动使用，即一笔钱存银行或购买国库券，到期除去当年所用奖金之后，剩余部分继续存银行或购买国库券。基金到位当年不设奖金，所有资金用于存款或买国库券；最后一
5、年留出基金本金外，剩余资金全部用于奖金。在设计基金使用方案时，须考虑以下 两 个因素： 1. 由于从基金到位后的下一年开始每年都要使用奖金，因此方案要保证每年都有存款（或国库券） 到期； 2. 由于银行存款 或国库券的 档期越长，年平均收益越高，因此，若一笔资金 k 年后要用（如 k=3），一定 是 将该 笔 资金 直接 存 k 年期银行定期存款或 购 买相应年限的国库券。 如是，基金使用方案应遵循如下框架：每一年所有可供调用的资金都被分割成分别存 1， 2， 3， 5 年期 银行 存款 （或购买 2， 3， 5 年期国库券）的 金 额和当年使用的奖金 额 ；基金到位年 不设 奖金，基金使用最
6、后一年只分割成基金本金和奖金。因此，决策的内容就是各年的可供调用资金的分割 方案 ，决策目标是 使 奖金总额极大化。决策的结果还应使得每年的奖金 额 大致相等 三、模型假设 1. 假设 每年都有存款（或国库券）到期 ； 2. 假设 年平均收益 高低随 银行存款 或国库券的 档期 的长短变化而变化，且变化成正相关关系； 3. 假设 若一笔资金 k 年后要用（如 k=3）， 则它是 将该 笔 资金 直接 存 k 年期银行定期存款或 购 买相应年限的国库券 ； 4. 假设 10 年使用的奖金总额 达到 最大 。 四 、 符号说明 xij： 表示第 i 年可供调用总资金中用于存 j 年期银行 存款 的
7、资金 ； rk： 表示第 k 年 的年利率； k: 表示 年数； max z:表示十年获得的最大 奖金总额 ； t： 表示从第 1 年至第 10 年每年供奖金使用的资金额 ； yij:表示购买同档期国库券金额 ; s.t.:约束条件。 五、 建立数学模型 模型 1（只存银行不买国库券） 由题设，基金使用年限为 10 年，设基金到位年为第 0 年，可令 xij(i=0, 1, 2, , 9； j=1, 2, 3, 5)表示第 i 年可供调用总资金中用于存 j 年期银行 存款 的资金，其中，x65、 x75、 x83、 x85、 x92、 x93、 x95恒为 0。由于要求每年用于奖金的资金额大致
8、相等，可令 t 表示从第 1 年至第 10 年每年供奖金使用的资金额。实际决策变量共34 个。 优化目标为 10 年使用的奖金总额最大，即 t01zmax 约束条件除所有变量的非负约束外，就是 反映各年 资金分割 情况 的等式约束： 555733822911455633722811913555336227118281255433522611737271155333422511636261055233322411555352511332223114543424103312221135333231022111252322210111513121105030201)5r1()3r1()2r1()r1
9、(M)5r1()3r1()2r1()r1()5r1()3r1()2r1()r1()5r1()3r1()2r1()r1()5r1()3r1()2r1()r1()5r1()3r1()2r1()r1()3r1()2r1()r1()3r1()2r1()r1()2r1()r1()r1(Mxxxxtxxxxtxxxxxtxxxxxxtxxxxxxxtxxxxxxxtxxxxxxxtxxxxxxxtxxxxxxtxxxxxtxxxxxxxx年第年第年第年第年第年第年第年第年第年第年第109876543210式中， r1、 r2、 r3 及 r5 分别表示银行 1 年期、 2 年期、 3 年期及 5 年期存款
10、的年利率， M 为基金总额。为求解时方便准备数据， 可 将模型按变量 x01, x02, x03, x05, x11, x12, x13, x15, x21, x22, x23, x25, x31, x32, x33, x35, x41, x42, x43, x45, x51, x52, x53, x55, x61, x62, x63, x71, x72, x73, x81, x82, x91, t 顺序展开（限于篇幅不再列举）。 模型 2（可存银行也可买国库券） 由于国库券年利率都高于同期银行存款利率，显然，只要能买国库券就不会存同期银行存款。所以，在模型 1 中将用于表示银行存款额的变量
11、xij以购买同档期国库券金额的变量 yij (j= 2, 3, 5)替代，相应银行存款年利率 r2、 r3 及 r5 分别由 R2、 R3 及 R5 同期国库券年利率替换后即得模型 2 t01zmax s.t. 555733822911455633722811913555336227118281255433522611737271155333422511636261055233322411555352511332223114543424103312221135333231022111252322210111513121105030201)5R1()3R1()2R1()r1(M)5R1()3R1
12、()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()3R1()2R1()r1()3R1()2R1()r1()2R1()r1()r1(Myyyxtyyyxtxyyyytyxyyyxtyyxyyyxtyyxyyyxtyyyxyyxtyyyxyyxtyyyxyxtyyyxxtyyyxyyyx且决策变量均取非负值。 模型 3（基金到位后第 3 年的奖金比其它年度多 20%） 在模型 2 上稍作修改即得：第 4 个约束方程中奖金额由 t 改为 1.2t；目标函数由 t01zmax 改
13、为 t.201zmax 。模型为： t.201zmax s.t. 555733822911455633722811913555336227118281255433522611737271155333422511636261055233322411555352511332223114543424103312221135333231022111252322210111513121105030201)5R1()3R1()2R1()r1(M)5R1()3R1()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()5R1()3R1()2R1()r1()5R1()
14、3R1()2R1()r1()3R1()2R1()r1()3R1()2R1()r1(2.1)2R1()r1()r1(Myyyxtyyyxtxyyyytyxyyyxtyyxyyyxtyyxyyyxtyyyxyyxtyyyxyyxtyyyxyxtyyyxxtyyyxyyyx且决策变量均取非负值。 六：检验与求解 用 MATLAB 对 以上三个模型进行求解， MATLAB 求解的过程见附录，求解出来的结果如下所示： 表 1 基金最优使用方案（各年度银行存款计划）及收益 年序 存款期 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 金额(万元) 1年期 294.77 0.0 0.0 75.74 0.0 27.2
15、6 0.0 0.0 7.62 0.0 2年期 169.31 0.0 0.0 0.0 0.0 34.78 0.0 0.0 0.0 3年期 234.84 87.74 0.0 0.0 0.0 42.74 32.26 0.0 5年期 4301.10 102.52 66.07 64.50 60.71 4582.0 每年奖金额约为 109.82 万元； 10 年共计 1098.2 万元。 如果不加运筹，每年把基金本金存一年定期供下年度使用，则每年仅有 90万元奖金可用， 10 年少产生资金共计 198.2万元。运筹使每年的奖金额增加了22.02%。 表 2 基金最优使用方案（ 1年期存银行， 2、 3、
16、5 年期买国库券）及收益 年序 存款期 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 金额(万元) 1年期 228.93 0.0 0.0 52.25 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2年期 218.52 0.0 0.0 0.0 0.0 48.58 0.0 0.0 0.0 3年期 488.61 86.20 0.0 259.50 0.0 58.09 135.1 0.0 5年期 4063.90 0.0 82.80 72.37 0.0 4448.5 每年奖金额约为 146.86 万元； 10 年共计 1468.6 万元。 在考虑购买国库券后，运作方案有明显的变化 ：由于购买国库券收益率更高，
17、资金分配自 然向购买国库券流动。与模型 1比较， 2年期以上款项（全部为购买国库券）在平衡之余整体增加，而 1年期款项（为银行存款额）无一例外全都降低。 有效的运作使 每年的奖金额比不运 作 更是大幅提升了 63.18%。 表 3 基金最优使用方案（考虑购买国库券，第 3 年奖金多 20%）及收益 年序 存款期 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 金额(万元) 1年期 224.59 0.00 0.00 50.67 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2年期 213.85 0.00 0.00 0.00 0.00 47.67 0.00 0.0 0.00 3年期 503.
18、96 84.85 0.00 254.07 0.00 57.39 132.31 0.0 5年期 4057.6 0.00 80.97 70.38 0.00 4445.8 每年奖金额约为 143.79万元 ，第 3年奖金额为 172.548万元 ； 10年共计 1466.6万元。 由于第 3 年的特殊情况，轻微打破了原来每年奖金使用的平衡格局，致使 10 年产生的总奖金稍微有所下降；从基金运作方案上可以明显看出刻意为第 3年准备的痕 迹：除第 0 年买 3 年期国库券金额由模型 2 的 488.61 万元上升到 503.96万元（第 3 年唯一到期的款项）外，其余各有效款项均比模型 2 有所降低。
19、七 、 评价及 推广 【 评价 】 优点 ： 对于基金这个问题，我们将它转化为线性规划来进行求解，并且用 MATLAB 来进行求解。在解题的过程之中利用图表来显示出我们的求解结果，这样便于比较。 缺点： 以上我们所建立的这个模型是在假设的条件下计算出他的利润最大值的，如果假设发生变化，他的利润估计也会发生变化。 【推广】 对于以上利用数学建模提出的这个方案， 在此，我们将它推广于每年都只进行一次投资的环节下来进行使用。 【参考文献】 1. 刘卫国 MATLAB 程序设计与应用（第二版） 高等教育出版社； 2. 韩博棠 管理运筹学（第 2版） 高等教育出版社。 【附录】 仅列举 模型 1 的 求
20、解 过程，模型 2、 3 可仿照处理。 Matlab 代码 r1=0.018; r2=0.01944; r3=0.0216; r5=0.02304; M=5000; f=zeros(34,1); f(34, 1)= -10; Aeq=1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; -(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0
21、,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,
22、1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,1,1,1,0,0,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0
23、,-(1+r1),0,0,1,1,0,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,1,1; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),-(1+r1),1; beq = zeros(11,1); beq(1,1) = M; beq(11,1) = -M; lb=zeros(34,1); x, fval = linprog(f, , , Aeq, beq, lb);
