1、http:/ 复变函数 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是： a+bi，其中 i 是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上 的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的发展简况 复变函数论产生于十八世纪。 1774 年， 欧拉 在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家 达朗贝尔
2、在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做 “ 达朗贝尔 -欧拉方程 ” 。到了十九世纪，上述两个方程在 柯西 和 黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做 “ 柯西 -黎曼条件 ” 。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建
3、这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典 数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域 ，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的
4、问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。 如果当函数的 变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值 函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观
5、的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面 的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所 实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的
6、理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积 分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简 洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年
7、来这方 面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有 170 多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一 个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并 将取得更多应用。 其它数学分支学科 算术 、 初等代数 、 高等代数 、 数 论 、 欧式几何 、 非欧几何 、 解析几何 、 微分几何 、 代数几何学 、 射影几何学 、 拓扑学 、 分形几何 、 微积分学 、 实变函数论 、 概率和数理统计 、 复变函数论 、 泛函分
8、析 、 偏微分方程 、 常微分方程 、数理逻辑 、 模糊数学 、 运筹学 、 计算数学 、 突变理论 、 数学物理学 欧拉 (Euler)，瑞士数学家及自然科学家。 1707 年 4 月 15 日出生於瑞士的巴塞尔， 1783 年 9 月 18 日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。 13 岁时入读巴塞尔大学， 15 岁大学毕业， 16 岁获硕士学位。 欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的 论文，还写了大量的力学、分析学 、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、
9、微分学原理、积分学原理等都成为数学中的经典著作。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 达朗贝尔 (1717-1783)是法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有 8 卷巨著数 学手册、力学专著动力学、 23 卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。达朗贝尔生前为人类 的 进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。 数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、三角级数理论、
10、流体力学的主要开拓者。另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论、力学、天文学等方面都有所研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献 柯西 ,法国数学家。 1789年 8 月 21 日生于巴黎， 1857 年 5 月 23 日卒于巴黎附近的索镇。他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。 1805年进入巴黎综合工科学校； 1807年就读于道路桥梁工程学校； 1809年成为 工程师，随后在运河、桥梁、海港等工程部门工作； 1813年回到巴黎，任教于巴黎综合工科学校； 1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育， 1838 年回到巴黎，
11、继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科学院的活动。 1848 年任巴黎大学教授。 柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。 黎曼， 19 世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼 1826 年 9月 17日生于汉诺威的布列 斯伦茨， 1866 年 7 月 20 日卒于意大利的塞那斯加 ，终年40 岁。 黎曼早年从父亲和一位当地教师那里接受初等教育，中学时代就热衷于课程之外的数学。 1846 年入格廷根大学读神学与哲学，后来转学数学； 1851 年以关于 复变函数与黎曼曲面的论文获博士学位； 1854年 6月成为格丁根大学的讲师；1857 年升为副教授； 1859 年接替狄利
12、克莱成为教授； 1862 年 7 月以后 因患肋膜炎及结核病在意大利疗养。 黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于概念的创造与想象，黎曼的工作直接影响了 19 世纪后半期的数学发展。 最富创造性的数学家 黎曼 1826 年 9 月 17 日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学， 14 岁进入大学预科学习， 19 岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一， 些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和
13、数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847 年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。 1849 年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。 l851 年，黎曼获得数学博士学位； l854 年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857 年晋升为副教授； 1859 年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在 1862 年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。 1866 年 7 月 20 日病逝于意大利，终年 39 岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极
14、富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领 域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 复变函数论的奠基人 19 世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是 18 世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。 1850 年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。 1851 年，黎曼在高斯的指导下完成题为单复变函数的一般理论的基础的博士论文，后来又在数学杂志上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做 了进一步的阐述，一方面总结前人关 于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理
15、，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道 路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西 黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称 “ 黎曼面 ”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对 函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对
16、函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初 期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼 罗赫定理，首创的双有理变换构成 19 世纪后期发展起来的代数几何的主要内 容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在 1825 年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理 。 黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大
17、的影响。 1854 年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年 (1868 年 )以关于作为几何学基础的假设为题 出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的 几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在 1861 年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的 “ 巴黎之作 ” 。文中对他 1854 年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在 1876 年他的文集中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何
18、中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行 考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般 的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义 类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲
19、面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等 人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是 传统微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何 椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条 都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年 来关于欧几 里得平行公理的讨论宣告结束
20、。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手 段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为 现代理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变 函数方面的开拓性工作以外，还以其对 l9 世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。 18 世纪末到 l9 世纪初，数学界开始关
21、心数学最庞大的分支 微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉 斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见 解。 1854 年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是关于利用三角级数表 示一个函数的可能性的文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而
22、且在后来 50 年中许多教科书都 “ 证明 ” 连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博 里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果 19 世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，
23、取得跨世纪的成果。 1859 年，黎曼发表了在给定大小之下的素数个数的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为 “ 黎曼猜想 ” ，即：在带形区域中的一切零点都 位于去这条线上 (希尔伯特 23 个问题中的第 8 个问题 )，这个问题迄今没有人证
24、明。对于 某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地 丰富了复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到 解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学 (当时被人们称 为位置几何学或位置分析学 )的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎 曼的复变函数论的工作。 黎曼在 1851 年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研
25、究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎 曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成 (空间点的 )连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的 拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献 19 世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究
26、称为代数几何。 黎曼在 1857 年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程 (或曲面 )属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做 “ 类模数 ” ，常量在双有理变换下是不变量。 “ 类模数 ” 的概念是现在 “ 参模 ” 的特殊情况，研究参模上的结构是现 代最热门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界
27、的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他 是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他 将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列 丰硕成果。 黎曼在 1857 年的论文对可用高斯级数表示的函数的理论的补充，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19 世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到 1905 年希尔伯特和 Kellogg 借助当时已经发展了的积分方程理论，才
28、第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也 有建树，在他的 18581859 年关于超几何级数的讲义和 1867 年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼 许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在 1858 年 1859 年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作， 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以数学物理的微分方程编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学
29、界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接 受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼 罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很 大的争议。 黎曼的工作直接影响了 19 世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。 正统的数学家 柯西 柯西 1789 年 8 月 2l 日 出生生于巴黎，他的父亲路易 弗朗索瓦 柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁
30、王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。 柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和 拉格朗日 两位大数 学家。他们对他的才能十分常识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。 柯西于 1802 年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于 1805 年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学； 1807 年考入桥梁公路学校， 1810 年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。 柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体
31、力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学 各分支 方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于 1811 及 1812 年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是： (1)证明了凸正多面体只有五种 (面数分别是 4， 6， 8， l 2， 20)，星形正多面体只有四种 (面数是 l2 的三种，面数是 20 的一种 )。 (2)得到了 欧拉 关于多面体 的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。 (3)证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的 欧几里得 的一个定理。 这两篇论文在数学界造成了极大
32、的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于 1812 年回到巴黎他的父母家中休养。 柯西于 18l3 年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休 养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是： (1)研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。 (2)证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。 (3)用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。 (4)研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于181
33、5 年得法国科学院数学大奖 。 以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。 1815 年法国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了法王。柯西于1816 年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。 1821 年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要贡献是： (1)在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。 柯西在这一时期出版的著作有代数分析教程、无穷小分析教程概要和微积分在几何中应用教程。
34、这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。 (2)柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在 1822年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。 (3)继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。 他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊 “ 数学习题 ” 上发表。 1830 年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王查 理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易 菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效忠，由于柯 西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到瑞士，后于 1832 1833 年任
35、意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的 学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程 (强级数法 )，并为此作出重要贡献。 1833 1838 年柯西先在布拉格、后在戈尔兹担任波旁王朝 “ 王储 ” 波尔多公爵的教师，最后被授予 “ 男爵 ” 封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。 1838 年柯西回到巴 黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报告 “ 和他自己编写的期刊分析及数学物理习题 ” 上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。 1848 年法国又爆发了革命，路易 菲力浦倒台，重新建立了共和
36、国，废除了公职人员对法王效忠的宣誓。柯西于 1848 年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了 18 年的教学工作。 1852 年拿破仑第三发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向 巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和物理学 家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到 1857 年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论 文。 柯西是一位多产的数学家，他的全集从 1882 年开始出版到 1974 年才出齐最后一卷，总计 28 卷。他的主要贡献如下； (一 )单复变函数 柯西最重要
37、和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。 18 世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念， 并且用这种积 分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。 (二 )分析基础 柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从 牛顿 和 莱布尼茨 发明微积分 (即无穷小分析，简称分析 )以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。 在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原 理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明 了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和 一些判别法。 (三 )常微分方程 柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法， 即柯西 利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛， 其极限就是方程的所求解。 (四 )其他贡献
