1、文科数学试题 第 1 页（共 10 页） 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知 集合 0,2A= ， 2, 1, 0,1, 2B = - - ,则 AB A 0
2、,2 B 1,2 C 0 D 2, 1,0,1,2 2 设 1i2i1iz ，则 |z A 0 B 12C 1 D 2 3 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 . 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后，种植收入减少 B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后，养殖收入 增加了一倍 D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的 总和超过了经济收入的一半 4 已知椭圆 222 14xyC a ：的一个焦点为 (2,0) ，则 C 的离心率为 A
3、13B 12C 22D 2235已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1O ， 2O ，过直线 12OO 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A 122 B 12 C 82 D 10 6 设函数 32( ) ( 1)f x x a x a x . 若 ()fx 为奇函数，则曲线 ()y f x 在点 (0,0) 处的切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 7 在 ABC 中， AD 为 BC 边上 的中线， E 为 AD 的中点，则 EB A 3144AB ACB 1344AB AC文科数学试题 第 2 页（共 10 页） C 3144AB ACD
4、1344AB AC8 已知函数 22( ) 2 c o s si n 2f x x x ，则 A ()fx的最小正周期为 ，最大值为 3 B ()fx的最小正周期为 ，最大值为 4 C ()fx的最小正周期为 2 ，最大值为 3 D ()fx的最 小正周期为 2 ，最大值为 4 9 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 .圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则 在 此圆柱侧面 上 ， 从 M 到 N 的 路径中，最短路径的长度 为 A 217 B 25 C 3 D 2 10在 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D
5、中， 2AB BC， 1AC 与平面 11BBCC 所成的角为 30 ，则该长方体的体积为 A 8 B 62 C 82 D 83 11 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 (1, )Aa， (2, )Bb，且 2cos23，则|ab A 15B 55C 255D 1 12 设函数 2 , 0,()1, 0,x xfxx 则满足 ( 1) (2 )f x f x 的 x 的取值范围是 A ( , 1 B (0, ) C (1,0) D ( ,0) 二 、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。 13已知函数 22( ) log ( )f x
6、x a. 若 (3) 1f ，则 a . 14 若 x ， y 满足约束条件 2 2 0,1 0,0,xyxyy则 32z x y 的最大值为 . 15 直线 1yx与圆 222 3 0x y y 交于 A ， B 两点 ， 则 |AB . 16 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 已知 s in s in 4 s in s inb C c B a B C， 2 2 2 8b c a ，则 ABC的面积为 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题
7、，考生根据要求作答。 （一）必考题 ：共 60 分 。 文科数学试题 第 3 页（共 10 页） 17 （ 12 分） 已知数列 na 满足 1 1a ， 1 2( 1)nnna n a . 设 nn ab n. （ 1） 求 1b ， 2b ， 3b ； （ 2） 判断数列 nb 是否 为等比数列 ，并说明理由； （ 3） 求 na 的通项公式 . 18 （ 12 分） 如图，在平行四边形 ABCM 中， 3AB AC， 90ACM . 以 AC 为折痕 将 ACM 折起 ， 使点 M 到达点 D的 位置， 且 AB DA . （ 1） 证明：平面 ACD 平面 ABC ； （ 2） Q 为
8、线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 23BP DQ DA，求三棱锥 Q ABP 的体积 . 文科数学试题 第 4 页（共 10 页） 19 （ 12 分） 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： 3m ）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0， 0.1) 0.1， 0.2) 0.2， 0.3) 0.3， 0.4) 0.4， 0.5) 0.5， 0.6) 0.6， 0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 0， 0.1
9、) 0.1， 0.2) 0.2， 0.3) 0.3， 0.4) 0.4， 0.5) 0.5， 0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 （ 1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图； （ 2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 3m 的概率； （ 3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表 .） 文科数学试题 第 5 页（共 10 页） 20 （ 12 分） 设抛物线 2 2C y x： ，点 (2,0)A ， ( 2,0)B ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M
10、 ， N 两点 . （ 1） 当 l 与 x 轴垂直时 ，求直线 BM 的方程； （ 2）证明： ABM ABN . 21 （ 12 分） 已知函数 ( ) e ln 1xf x a x . （ 1）设 2x 是 ()fx 的极值 点，求 a ，并求 ()fx 的单调区间； （ 2）证明：当 1ea时， ( ) 0fx . 文科数学试题 第 6 页（共 10 页） （二）选考题：共 10 分。 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系 xOy 中 ，曲 线 1C 的方程为 | | 2y k
11、x. 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 . （ 1）求 2C 的 直角坐标 方程； （ 2）若 1C 与 2C 有 且仅有三 个 公共点 ，求 1C 的方程 . 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知 ( ) | 1 | | 1 |f x x ax . （ 1） 当 1a 时 ，求不等式 ( ) 1fx 的解集； （ 2） 若 (0,1)x 时不等式 ()f x x 成立， 求 a 的取值范围 . 文科数学试题 第 7 页（共 10 页） 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科 数学试题参考
12、答案 一、 选择题 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 C 11 B 12 D 二、 填空题 13 7 14 6 15 22 16 233三、 解答题 17 解： （ 1） 由条件可得1 2( 1)nnnaan . 将 1n 代入得， 214aa ，而 1 1a ，所以， 2 4a . 将 2n 代入得， 323aa ，所以， 3 12a . 从而 1 1b ， 2 2b ， 3 4b . （ 2） nb 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 . 由条件可得 1 21nnaa ，即 1 2nnbb ，又 1 1b ，所以 nb 是首项为 1 ，公比为
13、 2 的等比数列 . （ 3）由 （ 2）可得 12nnan ，所以 12nnan . 18 解： （ 1） 由 已知 可得， 90BAC ， BA AC . 又 BA AD ，所以 AB 平面 ACD . 又 AB 平面 ABC ， 所以 平面 ACD 平面 ABC . （ 2） 由已知可得， 3DC CM AB ， 32DA . 又 23BP DQ DA，所以 22BP . 作 QE AC ，垂足为 E ，则 QE 13DC. 由已知及 （ 1）可得 DC 平面 ABC ， 所以 QE 平面 ABC ， 1QE . 因此， 三棱锥 Q ABP 的体积为 1 1 11 3 2 2 s in
14、4 5 13 3 2Q A B P A B PV Q E S. 文科数学试题 第 8 页（共 10 页） 19 解： （ 1） （ 2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 3m 的频率为 0 .2 0 .1 1 0 .1 2 .6 0 .1 2 0 .0 5 0 .4 8? ? ? ?， 因 此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35 3m 的概率的估计值为 0.48 . （ 3） 该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 1 1 ( 0 .0 5 1 0 .1 5 3 0 .2 5 2 0 .3 5 4 0 .4 5 9 0 .5 5 2 6 0 .
15、6 5 5 ) 0 . 48.50x = ? ? ? ? ? ? ?该 家庭使用了节水龙头后 50 天 日用水量的平均数为 2 1 ( 0 .0 5 1 0 .1 5 5 0 .2 5 1 3 0 .3 5 1 0 0 .4 5 1 6 0 .5 5 5 ) 0 .3 5 .50x = ? ? ? ? ? ?估计使用节水龙头后，一年可节省水 3( 0 .4 8 0 .3 5 ) 3 6 5 4 7 .4 5 ( m )-? . 20 解： （ 1）当 l 与 x轴垂直时， l 的方程为 2x ，可得 M 的坐标为 (2,2) 或 (2, 2) . 所以直线 BM 的方程为 1 12yx或 1
16、12yx . （ 2）当 l 与 x轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ABM ABN . 当 l 与 x轴不垂直时，设 l 的方程为 ( 2) ( 0)y k x k ， 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ，则 120, 0xx. 由2( 2),2y k xyx 得 2 2 4 0ky y k ，可知 1 2 1 22 ,4y y y yk . 直线 BM， BN 的斜率之和为 121222B M B Nyykk xx 2 1 1 2 1 2122 ( )( 2 )( 2 )x y x y y yxx . 将 11 2yx k， 22 2yx k及 1 2 1
17、2,y y y y 的表达式代入 式 分子，可得 1 2 1 22 1 1 2 1 2 2 4 ( )2 ( ) y y k y yx y x y y y k 880k. 所以 0BM BNkk，可知 BM， BN 的倾斜角互补，所以 ABM ABN . 综上， ABM ABN . 文科数学试题 第 9 页（共 10 页） 21 解： （ 1） ()fx 的定义域为 (0, ) ， 1( ) exf x ax . 由题设知， (2) 0f ，所以212ea. 从而21( ) e ln 12e xf x x ，211( ) e2e xfx x . 当 02x 时， ( ) 0fx ；当 2x 时
18、， ( ) 0fx . 所以 ()fx在 (0,2) 单调递减 ，在 (2, ) 单调递增 . （ 2）当 1ea时， e( ) ln 1exf x x. 设 e( ) ln 1exg x x ，则 e1()exgx x . 当 01x时， ( ) 0gx ；当 1x 时， ( ) 0gx . 所以 1x 是 ()gx 的最小值点 . 故当 0x 时， ( ) (1) 0g x g . 因此，当 1ea时， ( ) 0fx . 22 解： （ 1）由 cosx ， siny 得 2C 的 直角坐标 方程 为 22( 1) 4xy . （ 2）由（ 1）知 2C 是 圆心为 ( 1,0)A ，半
19、径为 2 的圆 . 由题设知， 1C 是过点 (0,2)B 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右边的射线为 1l ， y 轴左边的射线为 2l . 由于B 在圆 2C 的外面，故 1C 与 2C 有 且仅有三 个 公共点等价于 1l 与 2C 只有一个公共点且 2l 与 2C 有两个公共点，或 2l 与2C 只有一个公共点且 1l 与 2C 有两个公共点 . 当 1l 与 2C 只有一个公共点时， A 到 1l 所在直线的距离为 2 ，所以2| 2| 21kk，故 43k或 0k . 经检验，当0k 时， 1l 与 2C 没有公共点；当 43k 时， 1l 与 2C 只有一个公共点，
20、 2l 与 2C 有两个公共点 . 当 2l 与 2C 只有一个公共点时， A 到 2l 所在直线的距离为 2 ，所以2| 2| 21kk ，故 0k 或 43k. 经检验，当 0k时， 1l 与 2C 没有公共点；当 43k时， 2l 与 2C 没有公共点 . 综上，所求 1C 的 方程为 4 | | 23yx . 23 解 ： （ 1） 当 1a 时 ， ( ) | 1 | | 1 |f x x x ，即 2 , 1,( ) 2 , 1 1,2 , 1.xf x x xx 故 不等式 ( ) 1fx 的解集为 1 | 2xx. （ 2） 当 (0,1)x 时 | 1 | | 1 |x ax x 成立等价于当 (0,1)x 时 | 1| 1ax 成立 . 若 0a ，则当 (0,1)x 时 | 1| 1ax ； 文科数学试题 第 10 页（共 10 页） 若 0a ， | 1| 1ax 的解集为 20 xa，所以 2 1a，故 02a . 综上， a 的取值范围为 (0,2 .
