1、 第 1 页 勾股定理 【知识点】 1、勾股定理 _ 2、勾股定理逆定理 _ 【基础练习】 1如图，每个小正方形的边长都相等， A、 B、 C 是小正方形的顶点，则 ABC 的度数为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 2下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A a=1， b=2， c=3 B a=2， b=3， c=4 C a=2， b=4， c=5 D a=3， b=4， c=5 3如图，已知 AOB=60，点 P 在边 OA 上， OP=20，点 M， N 在边 OB 上， PM=PN若 MN=6，则 OM=（ ） A 4B 5 C 6 D 7 第 1 题 第 3 题 第
2、 5 题 第 6 题 4在 ABC 中， ABC=30， AB 边长为 10， AC 边的长度可以在 3、 5、 7、 9、 11 中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 5（ 2015石家庄模拟）图 1 是我国古代著名的 “赵爽弦图 ”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 AC=6， BC=5，将四个直角三角形中的边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的 “数学风车 ”，则这个风车的外围周长是（ ） A 51 B 49 C 76 D无法确定 6如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一棵树高 4 米，两树相距
3、8 米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A 8 米 B 10 米 C 12 米 D 14 米 7下列命题中，是假命题的是 ( ) A在 ABC 中，若 B C A，则 ABC 是直角三角形 B在 ABC 中，若 a2 (b c) (b c)，则 ABC 是直角三角形 C在 ABC 中，若 A： B： C 3： 4： 5，则 ABC 是直角三角形 D在 ABC 中，若 a： b： c 5： 4： 3，则 ABC 是直角三角形 8如图，在高 3 米，坡面线段距离 AB 为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需 米 第 8 题 第 9 题 第 10 题 9如图将矩形
4、ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处，已知 CE=3， AB=8，则 BF= 10如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连接 AE、 BE、 CE，将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90到 CBE的位置若 AE=1，BE=2， CE=3，则 BEC= 度 【例题讲解】 例 1、 ）阅读以下解题过程： 已知 a， b， c 为 ABC 的三边，且满足 a2c2 b2c2=a4 b4，试判断 ABC 的形状 错解： a2c2 b2c2=a4 b4（ 1）， c2（ a2 b2） =（ a2 b2）（ a2+b2） （ 2）， 第 2 页 c2=a2+b2（ 3
5、） 问：（ 1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 （ 2）错误的原因是 （ 3）本题正确的结论是 例 2如图，有两条公路 OM、 ON 相交成 30角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A当重型运输卡车 P 沿道路ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大若一直重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米 /时 （ 1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离； （ 2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的
6、时间 例 3、 我们学习了勾股定理后，都知道 “勾三、股四、弦五 ” （ 1）观察： 3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； ，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是 ；勾是五时，股和弦的算式分别是根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式； （ 2）根据（ 1）的规律，请用含 n（ n 为奇数，且 n3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明； （ 3）继续观察 4， 3， 5； 6， 8， 10； 8， 15， 17； ，可以发现各组的第一个数
7、都是偶数，且从 4 起也没有间断过运用类似上述探索的方法，直接用 m（ m 为偶数，且 m 4）的代数式来表示股和弦 例 4某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、 8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 例 5 如图， A、 B 两个村子在河 CD 的同侧， A、 B 两村到河的距离分别为 AC 1 km， BD 3 km， CD 3 km 现在河边CD 上建一水厂向 A、 B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20 000 元千米，请你在河 CD 边上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设
8、水管的总费用？ 第 3 页 例 6 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。 原题：如图 1，点 E、 F 分别在正方形 ABCD的边 BC、 CD 上， EAF=45，连接 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由。 （ 1）思路梳理 AB=CD， 把 ABE绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，可使 AB与 AD重合。 ADC= B=90， FDG=180，点 F、 D、 G 共线。 根据 _ ，易证 AFG _，得 EF=BE+DF。 （ 2）类比引申 如图 2，四边形 ABCD 中， AB=AD， BAD=90点 E、 F 分别在边 BC
9、、 CD 上， EAF=45。若 B、 D 都不是直角，则当 B与 D满足等量关系 _时，仍有 EF=BE+DF。 （ 3）联想拓展 如图 3，在 ABC 中， BAC=90， AB=AC，点 D、 E均在边 BC上，且 DAE=45。猜想 BD、 DE、 EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。 练习 1如图， MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、 B 分别在边 OM， ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2， BC=1， 在 运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离 为 _ 第 4 页 第 1 题 第 2
10、题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 2如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， ADC+ BCD=90，分别以 DA、 AB、 BC 为边向梯 形外作正方形，其面积分别是S1、 S2、 S3，且 S2=S1+S3，则线段 DC 与 AB 存在的等量关系是 3如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到 B 点只能沿图中的线段走，那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有（ ） A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种 4 在底面直径为 2cm，高为 3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长
11、度为 cm（结果保留 ） 5、 如图， Rt ABC 中， B=90， AB=4， BC=3， AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB， AC 于 D， E 两点，则 CD 的长为 6、 我们学习了勾股定理后，都知道 “勾三、股四、弦五 ” 观察： 3、 4、 5； 5、 12、 13； 7、 24、 25； 9、 40、 41； ，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过 （ 1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （ 2）若第一个数用字母 n（ n 为奇数，且 n3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数 7、 已知，正方形 ABCD 中， MAN=45, MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、 DC（或它们的延长线）于点 M、 N，AH MN 于点 H （ 1）如图 ，当 MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系： ； （ 2）如图 ，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由如果成立请证明； （ 3）如图 ，已知 MAN=45， AH MN 于点 H，且 MH=2， NH=3，求 AH 的长（可利用（ 2）得到的结论）
