1、 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3 考试结束后 ， 将本试卷和答题卡一并交回 。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：根据公式 ，可直接计算得 详解： ， 故选 D. 点睛 ： 复数题是每年 高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数
2、的几何意义、共轭复数 ， 复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略 中的负号导致出错 . 2. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：根据集合 可直接求解 . 详解： , , 故选 C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是 “ 离散型 ” 集合可采用 Venn 图法 解决，若是 “ 连续型 ” 集合则可借助不等式进行运算 . 3. 函数 的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】 B 【解析】 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像
3、. 详解： 为奇函数，舍去 A, 舍去 D; ， 所以舍去 C；因此选 B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（ 1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； 由函数的单调性，判断图象的变化趋势； 由函数的奇偶性，判断图象的对称性； 由函数的周期性，判断图象的循环往复 4. 已知向量 ， 满足 ， ，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】 B 【解析】 分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果 . 详解：因为 所以选 B. 点睛：向量加减乘： 5. 从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的
4、概率为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：分别求出事件 “2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务 ” 的总可能及事件 “ 选中的 2 人都是女同学 ” 的总可能，代入概率公式可求得 概率 . 详解：设 2 名男同学为 ， 3 名女同学为 ， 从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 共 10 种可能 ， 选中的 2 人都是女同学的情况共有 共三种可能 则选中的 2 人都是女同学的概率为 ， 故选 D. 点睛 ： 应用古典概型求某事件的步骤：第一步 ， 判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件 ； 第二步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含的基本事件
5、个数 ； 第三步，利用公式求出事件 的概率 . 6. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析 ：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果 . 详解： 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选 A. 点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： . 7. 在 中， ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析：先根据二倍角余弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB. 详解：因为 所以 ，选 A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转
6、化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 . 8. 为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减 .因此累加量为隔项 . 详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减 .因此在空白框中应填入 ，选 B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 .先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求 和还是求项 . 9. 在正方体 中， 为棱 的中
7、点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：利用正方体 中 ， ， 将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值 ， 在 中进行计算即可 . 详解：在正方体 中 ， ， 所以异面直线 与 所成角为 ， 设正方体边长为 ， 则由 为棱 的中点，可得 ， 所以 则 . 故选 C. 点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法： （ 1） 几何法： 平移两直线中的一条或两条，到一个平面中 ； 利用边角关 系 ， 找到（或构造）所求角所在的三角形 ； 求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角 . （ 2）向量法 ： 求两直线的方向向量； 求两向量夹角的余弦； 因
8、为直线夹角为锐角，所以 对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值 . 10. 若 在 是减函数，则 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值 详解：因为 ， 所以由 得 因此 ，从而 的最大值为 ，选 A. 点睛：函数 的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间 ; 由 求减区间 . 11. 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析 ： 设 ， 则根据平面几何知识可求 ， 再结合椭圆定义可求离心率
9、 . 详解 ： 在 中 ， 设 ， 则 ， 又由椭圆定义可知 则离心率 ， 故选 D. 点睛 ： 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问 题等； “ 焦点三角形 ” 是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义 . 12. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】 C 【解析】 分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果 . 详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ， 所以
10、, 因此 ， 因为 ，所以 ， ，从而 ，选 C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 、 13. 曲线 在点 处的切线方程为 _ 【答案】 y=2x2 【解析】 分析：求导 ， 可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程 . 详解：由 ， 得 则曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 则所求切线方程为 ，即 . 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤： 求出函数在该点处的导数值即为切线斜率 ； 写出切线的点斜式方程； 化简整理 . 14.
11、若 满足约束条件 则 的最大值为 _ 【答案】 9 【解析】 分析 ： 作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当 时 ， . 学&科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 .学 &科 &网 . 点睛 ： 线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等 . 15. 已知 ， 则 _ 【答案】 【解析】 分析 ： 利用两角差的正切公式展开，解方程可得 . 详 解 ： ， 解方程得 . 点睛 ： 本
12、题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确 ， 特殊角的三角函数值运算准确 . 16. 已知圆锥的顶点为 ， 母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ， 则该圆锥的体积为 _ 【答案】 8 【解析】 分析 ： 作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线 ， 高 ， 底面圆半径 的长，代入公式计算即可 . 详解 ： 如下图所示， 又 ， 解得 ， 所以 ， 所以该圆锥的体积为 . 点睛 ： 此题为填空题的压轴题，实际上并不难 ，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可 . 三、解答题：共 70
13、 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 为选考题。考生根据要求作答。学 #科网 （一）必考题：共 60 分。 17. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， （ 1）求 的通项公式； （ 2）求 ，并求 的最小值 【答案】 解 ： （ 1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以 an的通项公 式为 an=2n9 （ 2）由（ 1）得 Sn=n28n=（ n4） 216 所以当 n=4 时， Sn 取得最小值，最小值为 16 【解析】 分析：（ 1）根据等差数列前 n 项和公式，
14、求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（ 2）根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值 . 详解： （ 1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以 an的通项公式为 an=2n9 （ 2）由（ 1）得 Sn=n28n=（ n4） 216 所以当 n=4 时， Sn 取得最小值，最小值为 16 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件 . 18. 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图 为了预测
15、该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据 2000年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型 ： ；根据 2010 年至 2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型 ： （ 1）分别利用这两个模型， 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 【答案】 解： （ 1）利用模型 ，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =30.4+13.519=226.1（亿元） 利用模型 ，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.59=25
16、6.5（亿元） （ 2）利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下： （ i）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环
17、境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型 得到的预测值更可靠 （ ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元 ，由模型 得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型 得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 【解析】 分析：（ 1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果，（ 2）根据折线图知 2000 到 2009，与 2010 到 2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到 2016 的增幅明显高于 2000
18、到 2009，也高于模型 1 的增幅，因此所以用模型 2 更能较好得到 2018 的预测 . 详解： （ 1）利用 模型 ，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =30.4+13.519=226.1（亿元） 利用模型 ，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.59=256.5（亿元） （ 2）利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下： （ i）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010年相对 2009 年的环境基础设 施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，
