1、 智康高中数学 .板块七 .数列综合 2.题库 1 【例 1】 设集合 W 由满足下列两个条件的数列 na 构成： 212nn naa a ； 存在实数 M ，使 naM （ n 为正整数） 在只有 5 项的有限数列 na ， nb 中，其中 1 2 3 4 51 , 2 , 3 , 4 , 5a a a a a ； 1 2 3 4 51 , 4 , 5 , 4 , 1b b b b b ；试判断数列 , nnab是否为集合 W 的元素； 设 nc 是各项为正的等比数列， nS 是其前 n 项和，3 14c，3 74S， 证 明数列 nSW ；并写出 M 的取值范围； 设数列 ,ndW 且对满
2、足条件的 M 的最小值 0M ，都有 *nnd M nN 求证：数列 nd 单调递增 【例 2】 已知数列 na 满足： 1 0a ， 2122 1 ,1 2,2nnnna n naa 为 偶 数为 奇 数， 2 , 3 , 4 ,n 求 5 6 7,a a a 的值； 设 212nn nab ，试求数列 nb 的通项公式； 对于任意的正整数 n ，试讨论 na 与 1na 的大小关系 典例分析 数列综合 2 智康高中数学 .板块七 .数列综合 2.题库 2 【例 3】 已知数列 ,nnab，其中1 12a，数列 na 的前 n 项和 2 ()nnS n a n N 数 列 nb 满足 112
3、, 2nnb b b 求数列 ,nnab的通项公式； 是否存在自然数 m ，使得对于任意 n N ， 2n ， 有1 2 11 1 1 81 4nmb b b 恒成立？若存在，求出 m 的最小值； 若数列 nc 满足 1,nnnnnacbn ， 为 奇 数为 偶 数，求数列 nc 的前 n 项和 nT 【例 4】 已知数列 nx 满足 1 4x ， 21 324nn nxx x 求证： 3nx ； 求证： 1nnxx ； 求数列 nx 的通项公式 【例 5】 对于各项均为整数的数列 na ，如果 iai （ i =1， 2， 3， ）为完全平方数， 则称数列 na 具有 “P 性质 ” 不论数
4、列 na 是否 具有 “P 性质 ”，如果存在与 na 不是同一数列的 nb ，且 nb 同时满足下面两个条件： 1 2 3, , , ., nb b b b是 1 2 3, , , . , na a a a的一个排列； 数列 nb 具有 “P 性质 ”，则称数列 na 具有 “变换 P 性质 ” 设数列 na 的前 n 项和 2( 1)3n nSn，证明数列 na 具有 “P 性质 ”； 试判断数列 1， 2， 3， 4， 5 和数列 1， 2， 3， ， 11 是否具有 “变换 P 性质 ”，具有此性质的数列请写出相应的数列 nb ，不具此性质的说明理由； 对于有限项数列 A ： 1， 2
5、， 3， ， n ，某人已经验证当 212 , ( 5)n m m 时，数列 A 具有 “变换 P 性质 ”，试证明：当 ” 22 1 , ( 1) n m m 时，数 列 A 也具有 “变换 P 性质 ” 智康高中数学 .板块七 .数列综合 2.题库 3 【例 6】 数列 na 的前 n 项和 为 nS ，若 1 3a ，点 1( , )nnSS 在 直线 *1 1( )ny x n nn N上 求证：数列nSn是等差数列； 若数列 nb 满足 2nannba ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ； 设232 nn nTC ，求证：12 2027nC C C 【例 7】 已知数列 na 满
6、足 1 1a ，点 1( , )nnaa 在直线 21yx上 求数列 na 的通项公式； 若数列 nb 满足*111 2 11 1 1, ( 2 , )nnnbb a n na a a a N，求11( 1)n n n nb a b a 的值； 对于 中的数列 nb ，求证：1 2 1 210(1 ) (1 ) (1 ) 3nnb b b b b b *()nN 【例 8】 记等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 2 4 46 , 10a a S 求数列 na 的通项公式； 令 2nnnba ()n N ，求数列 nb 的前 n项和 nT 【例 9】 已知等比 数列 na 的公比 1q
7、 ， 42是 1a 和 4a 的一个等比中项 ， 2a 和 3a 的等差中项为 6 ， 若 数列 nb 满足 2lognnba （ n*N ） 求 数列 na 的通项公式 ； 求数列 nnab 的前 n 项和 nS 智康高中数学 .板块七 .数列综合 2.题库 4 【例 10】 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 1 21nna S n N，等差数列 nb中 0nb n N ，且 1 2 3 15b b b，又 11ab 、 22ab 、 33ab 成等比数列 求数列 na 、 nb 的通项公式； 求数列 nnab 的前 n 项和 nT 【例 11】 若数列 na 满足
8、111 , ( ) , ,nna a p S r n p r NR， nS 为数列 na 的前 n项和 当 2, 0pr时，求 234,a a a 的值； 是否存在实数 ,pr，使得数列 na 为等比数列？若存在，求出 ,pr满足的条件；若不存在，说明理由 【例 12】 设 na 是正数组成的数列，其前 n 项和为 nS ，且对于所有的正整数 n ，有21nnSa 求 1a ， 2a 的值； 求数列 na 的通项公式； 令 1 1b ， 2 2 1 ( 1)kkkba ， 2 1 2 3kkkba （ 1,2,3,k ）， 求数列 nb 的前 21n项和 21nT 【例 13】 设 na 是正
9、数组成的数列，其前 n 项和为 nS ，且对于所有的正整数 n ，有 241nnSa 求 1a ， 2a 的值； 求数列 na 的通项公式； 令 1 1b ， 2 2 1 ( 1)kkkba ， 2 1 2 3kkkba （ 1, 2, 3,k ）， 求 nb 的前 20 项和 20T 智康高中数学 .板块七 .数列综合 2.题库 5 【例 14】 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 111, 4 1nna S a ，设 1 2n n nb a a 证明数列 nb 是等比数列； 数列 nc 满足*21 ()log 3nncnb N，设 1 2 2 3 3 4 1n n nT c c c
10、 c c c c c ，若对一切 *nN ，不等式 4 ( 2)nnmT n c 恒成立，求实数 m 的取值范围 【例 15】 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 1 21nna S n N，等差数列 nb中 0nb n N ，且 1 2 3 15b b b，又 11ab 、 22ab 、 33ab 成等比数列 求数列 na 、 nb 的通项公式； 求数列 nnab 的前 n 项和 nT 【例 16】 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 *12 0 ( 2 , )n n na S S n n N，1 12a 求证： 1nS是等差数列 ； 求数列 na 的通项
11、公式； 若 *2 (1 ) ( 2 , )nnb n a n n N，求证： 2 2 223 1nb b b 【例 17】 在数列 na 和 nb 中， nnaa ， ( 1)nb a n b ， 1 , 2 , 3 ,n ，其中 2a且 a*N ， bR 若 11ab ， 22ab ，求数列 nb 的前 n 项和； 证明：当 2 , 2ab时，数列 nb 中的任意三项都不能构成等比数列； 设 1 2 3, , ,A a a a ， 1 2 3, , ,B b b b ，试问在区间 1,a 上是否存在实数 b 使得 C A B 若存在，求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C ；若不存在，试
12、说明理由 智康高中数学 .板块七 .数列综合 2.题库 6 【例 18】 如果由数列 na 生成的数列 nb 满足对任意的 n N 均有 1nnbb ，其中1n n nb a a，则称数列 na 为“ Z 数列” 在数列 na 中，已知 2nan ，试判断数列 na 是否为“ Z 数列”； 若数列 na 是“ Z 数列”， 1 0a ， nbn ，求 na ； 若数列 na 是“ Z 数列”，设 ,s t m N ，且 st ，求证： t m s m t sa a a a 【例 19】 已知 na 是递增数列，其前 n 项和为 nS ， 1 1a 且 1 0 2 1 2n n nS a a ，
13、n N 求数列 na 的通项 na ； 是 否存在 ,m n k N ，使得 2 m n ka a a成立？若存在，写出一组符合条件的,mnk 的值；若不存在，请说明理由； 设 32nnnba ，若对于任意的 n N ， 不等式125 1 1 1 11 1 131 23nm b b b n .恒成立，求正整数 m 的最大值 【例 20】 已知 na 是递增数列，其前 n 项和为 nS ， 1 1a ，且 1 0 2 1 2 ,n n nS a a n N 求数列 na 的通项 na ； 是否存在 ,m n k N ，使得 2 m n ka a a成立？若存在，写出一组符合条件的,mnk 的值；若不存在，请说明理由； 设 233 ,2 5 1 nn n n nanb a c n ，若对于任意的 n N ，不等式 11251 011 1 131 1 1 . . 1 nnmcnb b b 恒成立，求正整数 m 的最大值
