1、 1 三角函数知识点与常见习题类型解法 1. 任意角的三角函数： （ 1） 弧长公式： Ral R 为圆弧的半径， a 为圆心角弧度数， l 为弧长。 （ 2） 扇形的面积公式： lRS21R 为圆弧的半径， l 为弧长。 （ 3） 同角三角函数关系式： 倒数关系： 1cottan aa 商数关系：aaa cossintan ， aaa sincoscot平方关系： 1cossin 22 aa （ 4） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） k /2+a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性 x 函 数 xsin xcos xtan xcot a asin acos atan acot a2 as
2、in acos atan acot a2 acos asin acot atan 2.两角和与差的三角函数： （ 1）两角和与差公式： s i ns i nc o sc o s)c o s ( aa s i nc o sc o ss i n)s i n ( aaa t ant an1 t ant an)(t an aaaa 注： 公式的逆用或者变形 （ 2）二倍角公式： aaa cossin22sin 1c o s2s i n21s i nc o s2c o s 2222 aaaaa aaa 2tan1 tan22tan 从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式： 2 2cos1cos 2 aa
3、 ， 2 2co s1s in2 aa （ 3）半角公式（可由降幂公式推导出）： 2cos12sin aa ，2cos12cos aa ，a aaaaaa s i nc o s1c o s1 s i nc o s1 c o s12t an 3.三角函数的图像和性质 ：（其中 zk ） 三角函数 xy sin xy cos xy tan 定义域 （ -， + ） （ -， + ） 2 kx 值域 -1,1 -1,1 （ -， + ） 最小正周期 2T 2T T 奇偶性 奇 偶 奇 2 单调性 22,22 kk 单调递增 232,22 kk 单调递减 2,)12( kk 单调递增 )12(,2(
4、kk 单调递减 )2,2( kk 单调递增 对称性 2kx)0,(k kx )0,2( k )0,2( k 零值点 kx 2kxkx 最值点 2kx1maxy 2kx1min y kx 2 ， 1maxy ； )12( kx ， 1min y 无 4.函数 )sin( xAy 的图像与性质： （本节知识考察一般能化成形如 )sin( xAy 图像及性质） （ 1） 函数 )sin( xAy 和 )cos( xAy 的周期都是2T（ 2） 函数 )tan( xAy 和 )cot( xAy 的周期都是T（ 3） 五点法作 )sin( xAy 的简图，设 xt ，取 0、 2 、 、 23 、 2
5、来求相应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图。 （ 4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换） : 函数的平移变换： )0)()( aaxfyxfy 将 )xfy 图像沿 x 轴向左（右）平移 a 个单位 （左加右减） )0()()( bbxfyxfy 将 )xfy 图像沿 y 轴向上（下）平移 b 个单位 （上加下减） 函数的伸缩变换： )0)()( wwxfyxfy 将 )xfy 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 w1 倍（ 1w 缩短， 10 w
6、 伸长） 3 )0)()( AxAfyxfy 将 )(xfy 图像 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（ 1A伸长， 10 A 缩短） 函数的对称变换： )()( xfyxfy ) 将 )(fy 图像绕 y 轴翻折 180（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于 x 轴对称） )()( xfyxfy 将 )(xfy 图像绕 x 轴翻折 180（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于 y 轴对称） )()( xfyxfy 将 )(xfy 图像在 y 轴右侧保留，并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） )()( xfyxfy 保留 )(xfy 在 x 轴上方图像， x 轴下方图像绕
7、 x 轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧 三角函数恒等变形的基本策略。 （ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos2 +sin2 =tanx cotx=tan45等。 （ 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角： =（+）， =22等。 （ 3）降次与升次。（ 4）化弦（切）法。 （ 4）引入辅助角。 asin +bcos = 22 ba sin( + )，这里辅助角 所在象限由 a、 b 的符号确定， 角的值由 tan =ab确定。 类题： 1 已知 tanx=2，求 sinx， cosx
8、的值 2 求)330c o s ()150s i n ()690t an ( )480s i n ()210c o s ()120t an ( 的值 3 若 ,2cossin cossin xx xx，求 sinxcosx 的值 4 求证： tan2xsin2x=tan2x sin2x 5 求函数 )62sin(2 xy 在区间 0， 2上的值域 6 求下列函数的值域 (1)y sin2x cosx+2； 2)y 2sinxcosx (sinx cosx) 7 若函 数 y=Asin(x+)( 0， 0)的图象的一个最高点为 )2,2( ，它到其相邻的最低点之间的图象与 x 轴交于 (6， 0
9、)，求这个函数的一个解析式 8 已知函数 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x ( )求 f(x)的最小正周期； ( )若 ,2,0x 求 f(x)的最大值、最小值 数 xxy cos3 sin1 的值域 4 1 已知 2tan ，求（ 1） sincos sincos ；（ 2） 22 c o s2c o s.s i ns i n 的值 . 2 求函数 21 s in c o s ( s in c o s )y x x x x 的值域。 3已知函数 2( ) 4 s in 2 s in 2 2f x x x x R ，。 （ 1）求 ()fx的最小正周期、 ()fx的最大值及
10、此时 x 的集合； （ 2）证明：函数 ()fx的图像关于直线8x对 称。 4 已知函数 y=21cos2x+ 23 sinx cosx+1 （ x R） , （ 1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （ 2）该函数的图像可由 y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 历年高考综合题 一，选择题 1.（全国一 6） 2(sin c o s ) 1y x x 是 （ ） A最小正周期为 2 的偶函数 B最小正周期为 2 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 2.（全国一 9）为得到函数 cos3yx的图象，只需将函数 sinyx 的图像（
11、 ） A向左平移 6 个长度单位 B向右平移 6 个长度单位 C向左平移 56 个长度单位 D向右平移 56 个长度单位 3.(全国二 1)若 sin 0 且 tan 0 是，则 是 （ ） A第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 4.（全国二 10）函数 xxxf cossin)( 的最大值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 5.（安徽卷 8）函数 sin(2 )3yx图像的对称轴方程可能是 （ ） A 6x B 12x C 6x D 12x 6.（福建卷 7）函数 y=cosx(x R)的图象向左平移 2 个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，则 g(x)的
12、解析式为 ( ) A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx 7.（广东卷 5）已知函数 2( ) (1 c o s 2 ) s in ,f x x x x R ，则 ()fx是 （ ） 5 A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数 C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数 8.（海南卷 11）函数 ( ) c os 2 2 si nf x x x的最小值和最大值分别为 （ ） A. 3， 1 B. 2， 2 C. 3， 32D. 2， 329.（湖北卷 7）将函数 sin( )yx的图象 F 向右平移3个单位长度得到图象 F，若 F的一条对称轴是直
13、线 ,1x 则 的一个可能取值是 （ ） A. 512B. 512C.1112D. 111210.（江西卷 6） 函数 sin()sin 2 sin 2xfx xx 是 （ ） A以 4 为周期的偶函数 B以 2 为周期的奇函数 C以 2 为周期的偶函数 D以 4 为周期的奇函数 11.若动直线 xa 与函数 ( ) sinf x x 和 ( ) cosg x x 的图像分别交于 MN， 两点，则 MN 的最大值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 12.（山东卷 10）已知 4c os si n 365 ，则 7sin6的值是（ ） A 235 B 235 C 45 D 45 13.（
14、陕西卷 1） sin330 等于 （ ） A 32 B 12 C 12 D 32 14.（四川卷 4） 2ta n c ot c osx x x ( ) .tanx .sinx .cosx .cotx 15.（天津卷 6）把函数 sin ( )y x xR的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ）， 得 到 的 图 象 所 表 示 的 函 数 是 （ ） 6 A si n 23y x x R，B si n26xyx R，C si n 23y x x R，D si n 23y x x R，1
15、6.（天津 卷 9）设 5sin7a ， 2cos7b ， 2tan7c ，则 （ ） A abc B a c b C b c a D bac 17.（浙江卷 2）函数 2(sin c o s ) 1y x x 的最小正周期是 （ ） A.2B. C.32D.2 18.（浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数 )20)(232c o s ( ， xxy的图象和直线21y的交点个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.4 二，填空题 19.（北京卷 9）若角 的终边经过点 (1 2)P ， ，则 tan2 的值为 20.（江苏卷 1） c o s6f x x 的最小正周期为 5 ，其中 0
16、，则 = 21.（辽宁卷 16）设 02x ，则函数 22sin 1sin 2xy x 的最小值为 22.（浙江卷 12）若 3sin( )25 ，则 cos2 _。 23.（上海卷 6）函数 f(x) 3sin x +sin(2+x)的最大值是 三，解答题 24. （四川卷 17）求函数 247 4 s in c o s 4 c o s 4 c o sy x x x x 的最大值与最小值。 25. （北京卷 15）已知函数 2 ( ) si n 3 si n si n2f x x x x （ 0 ）的最小正周期为 （ ）求 的值；（ ）求函数 ()fx在区间 203，上的取值范围 26. （
17、天津卷 17）已知函数 2 2s( in c o ss 1) 2 c ofx x x x （ ,0x R）的最小值正周期是7 2 （）求 的值； （）求函数 ()fx的最大值，并且求使 ()fx取得最大值的 x 的集合 27. （安徽卷 17）已知函数 ( ) c o s( 2 ) 2 sin( ) sin( )3 4 4f x x x x （ ）求函数 ()fx的最小正周期和图象的对称轴方程 （ ）求函数 ()fx在区间 , 12 2上的值域 28. （陕西卷 17）已知函数 2( ) 2 si n c os 2 3 si n 34 4 4x x xfx （）求函数 ()fx的最小正周期及最
18、值； （）令 ()3g x f x，判断函数 ()gx 的奇偶性，并说明理由 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.3420. 10 21. 3 22. 25723.2 故当 sin2 1x 时 y 取得最大值 10 ，当 sin2 1x 时 y 取得最小值 6 1 （ ）由（ ）得 1( ) si n 2 62f x x 因此 130 si n 2622x ，即 ()fx的取值范围为 302， 2 244s in2 xxf 当 kx 2244 ，即 Zkkx 21
19、6 时， 44sin x 取得最大值 1，所以函数 xf 的最大值是 22 ，此时 x 的集合为 Zkkxx ,216| 27. 解：（ 1） ( ) c o s( 2 ) 2 sin( ) sin( )3 4 4f x x x x 13c os 2 si n 2 ( si n c os ) ( si n c os )22x x x x x x 8 2213c os 2 si n 2 si n c os22x x x x 13c os 2 si n 2 c os 222x x x sin(2 )6x 2T2 周 期（ 2） 5 , , 2 , 12 2 6 3 6xx 因为 ( ) si n(
20、 2 )6f x x 在区间 , 12 3上单调递增，在区间 , 32上单调递减， 所以 当3x 时， ()fx取最大值 1 又 31( ) ( )12 2 2 2ff ， 当12x 时， ()fx取最小值 32 所以 函数 ()fx在区间 , 12 2上的值域为 3 ,12 28. 解 ：（） ()fx sin 3 cos22xx 2sin 23x ()fx 的最小正周期 2 412T 当 sin 123x 时， ()fx取得最小值 2 ；当 sin 123x时， ()fx取得最大值 2 （）由（）知 ( ) 2 sin23xfx 又 ()3g x f x 1 ( ) 2 sin 2 3 3g x x 2sin 22x2cos2x ( ) 2 c os 2 c os ( )22xxg x g x 函数 ()gx 是偶函数
