1、 - 1 - 二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1 (2015昆明西山区一模 )如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a0)经过 A( 1， 0)， B(4， 0)， C(0， 2)三点 (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为线段 BC 上的一个动点，过 P作 PE 垂直于 x轴与抛物线交于点 E，设 P点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y与 m的函数关系式，并求出 PE 的最大值； (3)D为抛物线上一动点，是否存在点 D使以 A、 B、 D为顶点的三角形与 COB相似？若存在，试求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由 - 2 - 2 (20
2、13曲靖 )如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x 4 与坐标轴分别交于 A， B两点，过 A，B 两点的抛物线为 y x2 bx c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD x 轴于点 C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE 4 时，求四边形 CAEB的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D，使得 DBE和 DAC相似？若存在，求出 D点坐标；若不存在，说明理由 - 3 - 3 (2015襄阳 )边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 D 是边 OA的中点，连接 CD，点 E在第一象限，且 DE DC， DE DC.
3、以直线 AB为对称轴的抛物线过 C， E两点 (1)求抛物线的解析式； (2)点 P从点 C出发，沿射线 CB以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为 t秒过点 P作 PF CD于点 F.当 t为何值时，以点 P， F， D为顶点的三角形与 COD相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点 N 为抛物线上一动点，是否存在点 M， N，使得以点 M， N， D， E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在， 请说明理由 - 4 - 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1 (2014曲靖 )如图，抛物线 y ax2 bx c与坐标轴分别交于 A(
4、 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点， D是抛物线顶点， E是对称轴与 x轴的交点 (1)求抛物线的解析式； (2)F是抛物线对称轴上一点，且 tan AFE 12，求点 O到直线 AF的距离； (3)点 P是 x 轴上的一个动点，过 P作 PQ OF交抛物线于点 Q，是否存在以点 O， F， P， Q 为顶点的平行四边形？若存在， 求出 P点坐标；若不存在，请说明理由 - 5 - 2 (2013昆明 )如图，矩形 OABC在平面直角坐标系 xOy中，点 A在 x轴的正半轴上，点 C在 y轴的正半轴上， OA 4， OC 3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O， A两
5、点，直线 AC 交抛物线于点 D. (1)求抛物线的解析式； (2)求点 D的坐标； (3)若点 M在抛物线上，点 N在 x轴上，是否存在以点 A， D， M， N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由 - 6 - 3 (2015昆明西山区二模 )如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x轴交于 A、 B两点 (A点在 B点左侧 )，直线l与抛物线交于 A、 C两点，其中 C点的横坐标为 2. (1)求 A、 B、 C三点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找到点 P，使得 PBC的周长最小，并求出点 P的坐标； (3)点 G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在
6、点 F，使 A、 C、 F、 G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明理由 - 7 - 类型 3 二 次函数与直角三角形的存在性问题 1 (2015云南 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x 轴相交于 A、 B 两点，与y轴相交于点 C，直线 y kx n(k0)经过 B、 C两点，已知 A(1， 0)， C(0， 3)，且 BC 5. (1)分别求直线 BC 和抛物线的解析式 (关系式 )； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得以 B、 C、 P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P的坐标
7、；若不存在，请说明理由 - 8 - 2 (2015自贡 )如图 ，已知抛物线 y ax2 bx c(a0) 的对称轴为 x 1，且抛物线经过 A(1， 0)，C(0， 3)两点，与 x轴交于点 B. (1)若直线 y mx n经过 B、 C两点，求线段 BC所在直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴 x 1 上找一点 M，使点 M到点 A的距离与到点 C的距离之和最小，求出此点M的坐标； (3)设点 P为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P的坐标 - 9 - 3 (2015益阳 )已知抛物线 E1： y x2经过点 A(1， m)，以原 点为顶点的抛物线 E
8、2经过点 B(2， 2)，点A、 B关于 y 轴的对称点分别为点 A， B. (1)求 m的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式； (2)如图，在第一象限内，抛物线 E1上是否存在点 Q，使得以点 Q、 B、 B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图， P为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点，连接 OP并延长与抛物线 E2相交于点P，求 PAA与 PBB的面积之比 - 10 - 类型 4 二次函数与等腰三角形的 存在性问题 1 (2015黔东南 )如图，已知二次函数 y1 x2 134 x c的图象与 x轴的一个交点为 A(4， 0)，与 y轴的交点为 B，过 A、 B的直线为 y2 kx b. (1)求二次函数 y1的解析式及点 B的坐标； (2)由图象写出满足 y1y2的自变量 x的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点 P，使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由
