1、 1 仿射几何在研究圆锥曲线中的一些应用 仁化县仁化中学 谢祖福 摘要：本文主要结合实例，运用 仿射几何的性质在解决圆锥曲线的问题作了一些尝试，以期达到对圆锥曲线问题的解法的化繁为简，化难为易，并且开阔数学视野，培养唯物辨证观点的目的。 关键词：仿射几何 仿射性质 仿射变换 圆锥曲线 高等几何是从古典几何过渡到近世几何的桥梁，它对中学初等几何和解析几何的教学有重大的指导意义，其中仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结高等几何与初等几何 的纽带，是应用高等几何解决初等几何的一条重要通道。在这里，笔者试图利用仿射几何的一些基本性质，在仿射变换下，通过特殊的图形去研究复杂的图形，从而解决一些高中解
2、析几何中圆锥曲线一类的问题。 我们知道，椭圆、双曲线、抛物线经过仿射变换，它们对应的图形分别是圆、特殊的双曲线即等轴双曲线 x2 y2= 1和特殊的抛物线 y2=2x。所以我们只要研究圆、双曲线 x2 y2= 1 和抛物线 y2=2x 的相应性质，利用其平行性、结合性、简比、面积比等仿射性质，其对应的椭圆、双曲线、抛物线的性质就相应知道了，从而能取得事半功倍的效果 。 一、利用仿射性质解决一些圆锥曲线的最值问题。 例： 求椭圆 12222 byax 的内接三角形面积的最大值。 解：如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换 T后得到的。 ACBO变换TABCO设圆的半径为 r，椭圆的长、短半轴分别为
3、 a、 b，则椭圆的面积为 ab， 且圆2 内接三角形面积最大的为圆内接正三角形，面积为433r2。根据仿射变换的性质 椭圆圆SSABCCBASS =常量 即 abr2 = ABCSr2433 ，则ABCS = 433 ab 为 所求的最大值。 同理，此结论可以推广到求椭圆的内接矩形的最大值。 例：求证椭圆的最大内接矩形的面积为 2ab 。（此题留给读者自己证明） 二、利用仿射几何的基本性质证明一些定值问题。 例： C为双曲线 12222 byax 的实轴 AB所在直线上的一定点，直线 CT OY轴，P 是双曲线上不同于 A、 B 任一点，直线 AP、 BP 与 CT 分别交于 M、 N 两点
4、，求证CM CN 为定值。 证明：由 仿射性质可知，此题只要对等轴双曲线 x2 y2=1 进行证明即可。 如图，等轴双曲线 x2 y2=1中， 设 P（ sec， tan）， A（ -1， 0） x yT M A OC P N B O 3 直线 PA 的方程： y=sec1tan(x+1) 直线 CT 的方程： x=d 由、得： y=sec1tan(d+1) 故 CM=sec1tan(d+1) 同理： CN=1sectan(d-1) 所以 CM CN= 1sectan22 ( d2-12) = d2- 1 (定值 ) 由 仿射性质，可知对于一般双曲线有 CM CN=定值 再如：若 C 为抛物线
5、 y2=2px(p 0)的对称轴所在直线上的一定点， 直线 CTOY轴， P为抛物线上不同于顶点 O的任意一点，直线 OP与 CT交于 M 点，直线 PN Ox轴 与 CT 交于 N 点。试证 CM CN 为一定值。（图如下） OPTCNMyx本题证明由读者自行完成。 4 三、利用仿射几何的基本性质证明一些平行问题。 例： 已知 A、 B 分别为椭圆 12222 byax 在横轴、纵轴上的顶点， C 为线段 AB的中点，求证过直线 OC与椭圆的交点的切线平行于 AB。 BDCOEAl l 12BDCOEAll 12变换T证明： 如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换 T 后得到 ，显然，在圆 O
6、中， O C A B， O D L1 ,O E L2 所以 A B L1 L2 因为平行性为仿射不变性， 故 AB L1 L2 即过直线 OC与椭圆的交点的切线平行于 AB。 四、利用仿射的性质求一些轨迹 的 问题。 例： 椭圆 12222 byax 的内接 ABC， 它的边 BC 与长轴重合， A 在椭圆上运动，求 ABC的重心的轨迹 。 解：设此椭圆可以由一圆经仿射变换 T后得到， 5 BACPOAPCOB变换T显然，在圆中，满足此条件的点的轨迹是以 O为圆 心，以31O A为半径所画的圆。因此，在椭圆中是以 O 为中心，其长、短半轴分别为原椭圆长、短半轴的31的椭圆。 参考文献： 仿射几何及其在初等几何中的应用 李冠堂 李厚荣 梁康健编著 辽宁教育出版社 圆锥曲线 王儒钲 编著 山东教育出版社 高中数学复数与平面解析几何 马顺业 王 剑 主编 金盾出版社
