1、 内部教材，请勿外传。 VIP 教研组版权所有 未经允许 ， 请勿外传。 第 1 页 VIP 教育 贵族教育 专业品质 帝豪校区： 2042800 厦门思明区帝豪大厦 2403 吕厝 校区： 2042900 吕厝锦绣广场 2 楼 高二数学 王鹭真 圆锥曲线的方程与性质 1椭圆 （ 1）椭圆概念 平面内与两个定点 1F 、 2F 的距离的和等于常数 2a （大于 21|FF ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有 21| | | | 2MF MF a。 椭圆的标准方程为： 221xyab（ 0ab ）（焦点在 x 轴上）或
2、 12222 bxay （ 0ab ）（焦点在 y 轴上）。 注：以上方程中 ,ab的大小 0ab ，其中 2 2 2b a c； 在 221xyab和 221yxab两个方程中都有 0ab 的条件，要分清焦点的位置，只要看 2x 和 2y 的分母的大小。例如椭圆 221xymn（ 0m ， 0n ， mn ）当 mn 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 mn 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。 （ 2）椭圆的性质 范围：由标准方程 221xyab知 |xa ， |yb ，说明椭圆位于直线 xa ， yb 所围成的矩形里； 对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 (, )xy
3、在曲线上时，点 ( , )xy 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是 对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆 的中心 ； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x ，得 yb ，则 1(0, )Bb ， 2(0, )Bb是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 0y 得 xa ，即 1( ,0)Aa ，2( ,0)Aa 是椭圆与 x 轴
4、的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同 时，线段 21AA 、 21BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在 22Rt OBF 中， 2|OB b ， 2|OF c ， 22|BF a ，且 2 2 22 2 2 2| | | | | |O F B F O B，即 2 2 2c a b； 离心率：椭圆的焦距与长轴的比 ce a 叫椭圆的离心率。 0ac ， 01e，且 e 越接近 1， c 就越接近 a ，从而 b 就越小，对
5、应的椭圆越扁；反之， e 越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 ab 时， 0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 2 2 2x y a。 2双曲线 （ 1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的 绝对值为非零常数的动点轨迹是 双曲线（ 12| | | | 2PF PF a）。 注意： 式中是差的绝对值，在 120 2 | |a FF 条件下； 12| | | | 2PF PF a时为双曲线的一支；21| | | | 2PF PF a时为双曲线的另一支（含 1F 的一支）； 当 122 | |a FF 时， 12| | | | 2PF P
6、F a表示两条射线； 当 122 | |a FF 时， 12| | | | 2PF PF a不表示任何图形； 两定点 12,FF叫做双曲线的焦点， 12|FF 叫做焦距。 内部教材，请勿外传。 VIP 教研组版权所有 未经允许 ， 请勿外传。 第 2 页 VIP 教育 贵族教育 专业品质 帝豪校区： 2042800 厦门思明区帝豪大厦 2403 吕厝 校区： 2042900 吕厝锦绣广场 2 楼 高二数学 王鹭真 椭圆和双曲线比较： 椭 圆 双 曲 线 定义 1 2 1 2| | | | 2 ( 2 | |)P F P F a a F F 1 2 1 2| | | | 2 ( 2 | |)P
7、F P F a a F F 方程 221xyab 221xyba 221xyab 221yxab 焦点 ( ,0)Fc (0, )Fc ( ,0)Fc (0, )Fc 注意：如何 用 方程确定焦点的位置！ （ 2）双曲线的性质 范围： 从 标准方程 12222 byax ， 看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 ax 的外侧。即22 ax ， ax 即双曲线在两条直线 ax 的外侧。 对称性：双曲线 12222 byax 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线 12222 byax 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 顶点：双曲线和对称轴的
8、交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 12222 byax 的方程里，对称轴是 ,xy轴，所以令 0y 得 ax ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 )0,()0,( 2 aAaA ，他们是双曲线 12222 byax 的顶点。 令 0x ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段 2AA 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2,aa 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 2BB 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2,bb 叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对
9、角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 12222 byax 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ab ； 2）等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为： xy ；（ 2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征 ab ，则等轴双曲线可以设为： )0(22 yx ， 当 0 时交点在 x 轴，当 0 时焦点在 y 轴上。 注意 1916 22 yx 与 2219 16yx的区别：三个量 ,
10、abc中 ,ab不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。 3抛物线 （ 1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上 )。 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线 。 方程 022 ppxy 叫做抛物线的标准 方程。 注意 ： 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ 2p ,0），它的准线方程是 2px ； 内部教材，请勿外传。 VIP 教研组版权所有 未经允许 ， 请勿外传。 第 3 页 VIP 教育 贵族教育 专业品质 帝豪校区： 2042800 厦门思明区帝豪大厦
11、2403 吕厝 校区： 2042900 吕厝锦绣广场 2 楼 高二数学 王鹭真 （ 2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： pxy 22 ， pyx 22 ， pyx 22 .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 表： 标准方程 2 2( 0)y pxp2 2( 0)y pxp2 2( 0)x pyp2 2( 0)x pyp图形 焦点坐标 ( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p准线方程 2px2px2py2py范围 0x 0x 0y 0y 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e 1e 1e 1e 说明：（ 1）通径：过抛物线的 焦点且垂直于对称轴的弦称为通径 ； （ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近 线 ；（ 3） 注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离。 o F x y l o x y F l x y o F l
