1、 1 地形起伏对 GPS工程控制网高程异常的影响 张同刚 1 岑敏仪 1 冯义从 1 路伯祥 1 卢 建 康 2 （ 1.西南交通大学 土木工程学院 地理信息工程中心 四川 成都 610031； 2.铁道第二勘测设计院 四川 成都 610031） 摘 要： 高程异常 由短波分量 T 和中长波分量 g 组成。 T 受地形起伏影响显著，特别是在山区和高山区，变化较大，而 g 的变化则相对比较平缓。利用 DEM 计算 GPS 控制点的 T ，再结合移除 -恢复技术，可以显著提高局部地区的 GPS 大地高转换为正常高的精度。本文就其核心问题T 的计算进行了深入的研究，导出了连续型积分计算公式；分别试验
2、了平原、丘陵、和高山地区在不同积分范围和不同参考面高程对 T 计算结果的影响，并分析了这些因素对 GPS大地高转化为正常高的影响特点，由此 得出一些有益的结论。 关键词： 高程异常；正常高；全球定位系统；数字高程模型 中图分类号 : P228 文献标识码 : A The Affection of the Rugged Topography on the Height Anomaly of GPS Engineering Control Network ZHANG Tong-gang1 CEN Min-yi1 FENG Yi-cong1 LU Bai-xiang1 LU Jian-kang2 （
3、 1. College of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan, 610031; 2. The Second Railways Survey & Design Institute, Chengdu Sichuan, 610031） Abstract: The height anomaly can be separated into two components, T , the short wavelength component and g , the medium and long wavel
4、ength one. T varies with topography greatly, especially in the mountain and high mountain area, while g is relatively smoother. The accuracy of the height transformation of GPS height can be improved greatly in local mountain area by employing the remove-and-recover technique after T of each GPS poi
5、nt calculated using DEM. We carefully study the kernel question, which is the calculation of the height anomaly caused by the rugged topography, and educe a continuous integral formula. Then, a series of experiments are designed for studying and analyzing the affection of scope of DEM involved in th
6、e integral process and the selection of the reference height. All of the experiments are performed in the plain, hill, and mountain areas respectively. After analysis of the results, some helpful conclusions are drawn by these tests. Key words: height anomaly； normal height； GPS； DEM 我国西部多为高山丘陵地形，对铁
7、路建设中的高程测量提出了很高的要求，如果采用传统的水准测量方法将遇到很多困难，而解决这个问题的有效途径就是通过将 GPS 大地高转换为正常高的方法，目前国内外很多学者在这方面进行了大量的研究，并且提出了很多方法。一是拟合法，其本质是用连续的数学曲面来拟合似大地水准面。在平原地区由于似大地水准面比较光滑，选择合适的数学模型就能够满足一般工程建设的要求 1，但对高山区等似大地水准面较为粗糙的地区，效果则并不理想。二是重力场模型法 2和重力场模型结合内插的方法 34，这种方法通过重力场模型求得高程异常值，并结合水准测量和一定的内插方法将 GPS 测得的 大基金项目：国家 自然科学基金资助项目（ 40
8、271092） 张同刚（ 1977- ），男，江苏盐城人，西南交通大学博士研究生。 Email: 2 地高转换为正常高。该方法多运用于大范围的 GPS 高程转换。三是顾及地形改正的拟合法 56，这种方法的关键在于首先通过 DEM 来计算高程异常的短波分量 T ，然后剔除该分量，使得高程异常的剧烈变化变平缓后再进行拟合，最后恢复被剔除的短波分量 T 。试验结 果表明这种方法能够适用于起伏较大的高山地区。文献 5中给出了高程异常的计算公式，其试验结果显示，利用第三种方法绝大部分点达到了四等水准测量的精度。该文采取了增加待求点与 DEM格网点之间的水平距离的办法来处理其积分奇异问题。文献 6对这种方
9、法做了进一步的研究和分析，提出了分段积分方法，来解决积分奇异的问题，从而改善了高程异常的计算精 度。不足之处是这个公式在计算过程中需要有人工干预，可能会给结果带来一些不确定因素。其他的方法还有神经网络模型，以及神经网络模型和曲面拟合相结合的混合方法 7等。 目前由于计算机技术和遥感技术的发展， DEM 在数据获取、存储和处理速度等方面取得了突破性的进展，国家 1： 50 000DEM 已建立，这就使得顾及地形改正的拟合法的应用前景非常广阔，特别是对于西部地区的铁路建设具有很重要的现实意义，因此有必要对该方法做进一步的研究。 由于求解高程异常的精度是影响该方法应用的重要因素，本文就此进行更加深入
10、的试验和研究。 本文首先推导高程异常求解的连续积分计算公式，然后详细讨论影响计算高程异常的各种因素，并设计试验方案，分析试验结果，最后得出一些结论和建议。 1 高程异常求解的连续积分公式 如图 1 所示，设测区有一参考面 Hr，则高出或者低于 Hr的地形对 P 点的引力位为 8： dzdrGT HHrc 1 （ 1） 式（ 1）中 ： G 为万有引力常数（ G = 6.67310-8C3S-2g-1）， 为地球平均质量密度（ = 2.67gC-3），H 为数字地面模型格网点高程， Hr为参考面高程。 由地形起伏引起的高程异常 T 为 8： cT T（ 2） 式（ 2）中 为计算点的正常重力值，
11、即 2s i n108.5)s i n0 0 5 3 0 2 4.01(0 3 2 7.9781072.03 0 8 6.02620270 pp HH （ 3） 式（ 3）中 为测区平均纬度， Hp 为计算点高程（单位： km）。文献 5对积分公式的积分奇异问题采取了一个简单的近似处理，当 0r （见图 1）小于 0.5km时将 0r 设为 0.5km，来应对积分奇异；文献 6给出分段积分计算公式，计算中需人工干预，不利于编程计算，同时带来了计算结果的不确定性。因此有必要进一步完善积分公式。 为了便于积分运算，文献 6中对式（ 1）使用泰勒级数展开，最终得到了分段积分公式。本文采用了另一种不同
12、的处理方式，对式（ 1）直接积分： 图 1 由地形起伏计算高程异常 Fig 1 参考面 似大地水准面 r r0 Hr Hp z P 起伏地面 图 H 3 dzdrGT HHrc 1 drHz dzG pHHr 202)( drHzHzG HHrpp 202)()(ln drHHHH rHHHHGprprpp 202202)()()()(ln （ 4） 式（ 1） （ 4）是计算高程异常 T 的连续积分公式。 注意到式（ 4）中，当待求点与格网点重合时，此时 00r ， PHH ，使得 0 PHH ，导致积分异常。为避免积分异常，在 0r 0 的 DEM 格网点的高程值增加 10cm，其他 DE
13、M 格网点并不做这样的改正，这样处理对高程异常积分计算结果的影响为 0.7mm 。考虑到 1： 1 万DEM 格网点高程中误差平原地区为 0.51m，山区为 2.55m，高山区为 510m9，所以这样处理能够满足实际工程的要求，利于编程实现且可避免积分异常。 2 DEM 范围对高程异常的影响 整个测区的范围很大，相应的 DEM 数据量就非常大，需要多大范围的 DEM 参与计算，才能使计算的高程异常值满足实际需要的精度？这个问题涉及到要准备的 DEM数据量和实际计算效率，它对工程控制网的应用具有重要的现实意义。针对这个问题，本文首先试验与待求点 P 距离不等的地面点对 P 的高程异常的影响，然后
14、试验不同地形，不同积分区域对待求点 P 的高程异常及其高程异常差的影响。 2.1 不同格网点对待求点高程异常值的影响 对待求点 P，分别计算 DEM 上各格网对 P 点的高程异常的影响值，然后以对应的 DEM 格网为平面坐标，以影响值为 Z 坐标，在空间三维图上表示 ，则 DEM 上每个格网对 P 点高程异常的影响值分布图如图 2 所示， 图中上半部分为分布于 DEM上各格网点对 P 点高程异常的影响值，若取整个上半部分区域面上的影响值之和，则可求得由该 DEM地形起伏对 P 点的高程异常 T 。图中下半部分为参与计算 P点高程异常的 DEM。 P点的位置位于 DEM的中央。 由图 2 上半部
15、分可以看出，中央部分（即 P 点所在位置）有一个明显的凸起，意味着该点附近的点对高程异常的影响较大，而其它每个点的影响要04 08 01 2 01 6 004 08 01 2 01 6 0图 2 DEM 格网点对 P 点的高程异常的影响 （上半部分 Z 轴的单位 10-5m；下的半部分 Z 轴的单位为 m， DEM 格网间距 250m） Y X Z 8 Z 4 A C P 4 小得多；在 X90 区域（下称区域 C）内单点的影响总体上略微超过 X90 部分（下称区域 A）的点。在参考面一定的情况下，影响 计算 P 点的高程异常因素有二个主要方面，一是格网与 P点之间的距离，二是格网高程与参考高
16、程面的高差。在与 P 点距离相同的情况下，尽管在区域 C 中点的高程显著大于在区域 A 中的点，但其对高程异常的影响只是稍大一点。所以距离因素在这二个因素中占据主导地位。试验发现， DEM 格网对高程异常的影响并没有随着距离增大而完全为零，随着 DEM 范围的扩大，这些微小影响的数量也越多，总的影响不能忽视。 2.2 不同范围的 DEM 对高程异常差的影响 不同范围大小的 DEM 计算的试验区格网点高程异常值的变化非常大，而工程控制网主要考虑的是高程点的绝对点 位（相对于控制网起算点或平差基准的高差）和相对点位（高程点之间的高差）精度，这种要求在铁路、公路、管线等工程建设的带状控制网中更明显。
17、因此，在工程控制网的 GPS 高程转换中，主要是使用高程异常差，因而需要计算和分析不同范围大小的 DEM 对试验区格网点高程异常差的影响。 为比较分析的需要，本文以平原、丘陵和高山的 DEM 为代表性地区，试验方案如下： 1 DEM 为 240240，间距 250m的规则格网点； 2为保证每个待求格网点均不在 DEM 的边缘部分，取 DEM 中央部分 6060 个格网作为试验区域； 3每次实验在 试验区域的计算格网点上，以上、下、左、右各分别增加 10、 20、 、 90个格网的 DEM 区域（称计算区域）来计算其高程异常影响值； 4相邻两次不同面积的计算区域计算的高程异常值相减，求出不同范围
18、大小的 DEM 对试验区格网点的高程异常差的影响值。 实验发现，当平原和丘陵地区的 DEM 计算区域大于（ 40+40） （ 40+40）格网面积时，高程异常差的变化很小， DEM 计算区域 从 （ 40+40） （ 40+40） 增加到 （ 50+50） （ 50+50）格网面积时，平原和丘陵二个 DEM 试验区域（ 6060 格网面积，区域面积 1515km2）的高程异常差变化的最大值分别为 0.4mm和 1.3mm；而在高山地区，当 DEM 计算区域 从 （ 70+70）（ 70+70） 增加到 （ 80+80） （ 80+80）格网面积时，试验区域的高程异常差变化最大值为55.6mm，
19、参与计算的 DEM 范围 继续增大 ， 给 高程异常差 带来的 影响 会越来越 小。 图 3 表示 DEM 区域 从 （ 70+70） （ 70+70） 增加到 （ 80+80） （ 80+80）格网面积时 ，计算的高山地区试验区域高程异常差的等值线图，从图 3可以明显看出高程异常差在 X方向的变化要大于 Y方向上的变化，这一点与实际地 形坡度相对应；区域 A、 C 高程异常差总体上的变化在 0.160.4cm/km 之 间，区域 B 高程异常差的变化较大，在 0.61.2cm/km之间，该地区的高差很大，在 600m 左右。由此可以看出， GPS 水准点如果选取在高程相近的地方，有利于减弱地
20、形起伏给高程异常差带来的影响，进而有利于最后的高程转换精度。 相同的格网面积，如果 DEM 的格网间距不同，那么参与积分计算的实际地面面积就不一样。这样就带来了一个新的问题， 以 实际 地面面积还是以 DEM 的格网面积为准？为此， 在 上述 平原、丘陵和高山 的 DEM 上重采样，格网间距 分别为 125 米和 62.5 米，在新的 DEM 上重新进行上述 试验 。从高山试验区的试验结果发现，如果保持实际地面面积不变，不同分辨率的 DEM 之间的计算结果相差非常小，差值范围在 00.08cm/km之间。如果保持格网面积不变，相应的实际地面面积分别减少为原来的 1/4 和 1/16，不同实际图
21、 3 高山地区 DEM 半径为17.5km-20km 之间的高程异常较差 （格网间距 250m,等值线间隔 0.005m） 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550510152025303540455055YXA B C5 地面面积的 DEM，计算的 高程异常差 结果差别显著，其范围在 0.52cm/km 之间。在平原和丘陵试验区均有相似的结论。通过这些试验结果 可以看出影响高程异常差 的 是实际地面面积，而不是 DEM 的格网面积 ， DEM 的分辨率对计算 高程异常差 的影像可以忽略 。 综合 分析 以上实验结果，可 知 在平原和丘陵地区参加计算高程异常的 DE
22、M 区域范围，一般比测区范围上下左右大于 10km即可，在高山地区应大于 18km。 3 参考面高程的选择 （ 4）式中，选择不同的参考面对高程异常和高程异常差有多大的影响？如何选择一个合适的参考面高程？这是使用者普遍关心的问题。为此本文设计了两组方案进行试验，并对结果数据进行了分析。 3.1 参考面高程对高程异常差的影响 本文选取特大山区 QL 为试验区， DEM 为 432480 格网面积 , 格网间隔 250m，山区最低处在 400m以下，最高处在 2 500m以上，高差超 过 2 100m。 试验分别选择了 500m、 1 000m、 1 500m、 2 000m 为参考面高程，以计算
23、点四周约 18km（ 90 个格网） DEM 区域为计算区域，使用前述连续积分计算公式分别计算试验区 QL 中央252300 格网面积的高程异常值，然后计算各点在不同高程面之间（分别为 500-1 000， 1 000-1 500， 1 500-2 000m）的高程异常差，试验结果如图 4、图 5 所示。 一方面，图 5 中，四组试验结果差别非常明显，相同点处的高程异常在不同的参考高程面下的高程异常值数值相差超过 1m（见 图 5），因 而不同的参考面高程对高程异常值的影响十分显著。 另一方面，从图 5.I， II， III 中的任意一幅图都可以看出，不同参考高程面对高程异常差的影响是非常大的
24、，最大已经超过了 1cm/km；比较这三幅图，可以看出这三个等值线图几乎相同，这是由于每幅图中选取的两个参考高程面之差均相同（等于 500m）造成的。经过更多的试验发现每个点的高程异常值随参考高程面的变化呈近似的线性变化，但不同位置的点，其变化率不同。而正是这个变化率不同导致了采用不同参考面高程引起了计算的高程异常差的变化。通过以上分析可知，参考高程面是不能任意选 取的。 图 5 同高程参考面之间的高程异常差的等值线图 （ I， II， III 分别是参考面高程 500m-1 000m， 1 000m-1 500m， 1 500m-2 000m 之间的高程异常较差的等值线图， 等值线间距 0.
25、1m，坐标单位 km） 10 20 30 40 50 60 7010203040506010 20 30 40 50 60 7010203040506010 20 30 40 50 60 70102030405060I II III 10 20 30 40 50 60 7010203040506010 20 30 40 50 60 7010203040506010 20 30 40 50 60 7010203040506010 20 30 40 50 60 70102030405060A B C D 图 4 同一区域选用不同高程参考面引起的高程异常的等值线图 （ ABCD 分别为参考面高程为
26、500， 1 000， 1 500， 2 000m 时的高程异常等值线，等值线间距A:0.05m,B:0.02m,C:0.1m,D:0.2m，坐标单位 km） 6 3.2 参考面高程对拟合高程的影响 不同的参考高程面计算的任意两个点间的高程异常差并不相同，人们自然会想到需要进一步探讨究竟如何采用参考高程面才是合适和满足工程测量要求的。因此，需要试验采用不同参考面分别计算 GPS 控制点的高程异常 T ，在所有 GPS 控制点的大地高中除去地形起伏产生的 T ， 并 选择其中若干个 GPS 点作为检查点，用剩下的 GPS 点作为 控制点 ， 采用多项式拟合，以求取试验区高程异常的拟合函数 ),(
27、 yxf ，再恢复地形起伏对 GPS 控制点高程异常的影响值，即采用移除恢复技术求取 GPS 检查点 的 高程 H ，以公式表示： TyxfhH ),( 然后，再求 GPS 检查点的实测正常高 H 与拟合高程 H 的不符值，最后通过统计这些不符值来计算其高程的拟合精度，从中便可以发现采用哪一种形式的参考高程面对拟合结果更有利一些。 试验选取了两个高山区， 其中： （ 1） 试验区 QL，（ DEM 参数见 3.1 节），平均高程为 1 500m，布设了 8 个 GPS 公共控制点； （ 2） 试验区 JL， DEM 为 360372 格网 面积 ，格网间距 250m，平均高程为 2 500m。
28、该试验区海拔较高，最低处为 1 765m，最高处为 3 100m，高差 1 335m，布设了 12 个 GPS 公共控制点。 在两个试验区试验，首先选择不同的参考面高程，如表 1 第 2 行所列，分别计算 GPS 点的高程异常 T ，然后以其中 4 个 GPS 控制点作为拟合计算点，用二次多项式进行最小二乘高程拟合，其 余的 GPS 点作为检查点。由移除恢复技术获得的检查点高程与实测高程的不符值，可得到每一个参考面的统计精度，结果列于表 1，实验数据显示当参考面高程为平均高程面时，拟合效果最好。 表 1 检查点高程不符值的统计精度 试验区 试验区 QL 试验区 JL 参考面高程 /m 0 10
29、00 1500 3000 0 1500 2500 3500 每公里高差中误差 /cmkm-1 10.6 7.1 5.8 9.2 7.9 7.7 7.5 8.6 4 结束语 通过实验验算和数据分析，可以得出以下几点结论： 1) 利用地形起 伏计算高程异常的连续积分公式在计算过程中，无需人工干预，避免了人为误差，利于编程自动计算； 2) DEM 的计算区域对计算高程异常的影响，会随着范围的增大而逐渐减小。在本次研究的算例中，平原和丘陵地区参与计算高程异常的 DEM 的范围，在测区周边各增 10km左右即可；高山地区则需增加 18km左右。因此，实用中可根据实际需要准备适当大小的 DEM 数据，以免
30、由于盲目增加大面积 DEM 数据而使得测量成本增加； 3) 计算各点高程异常时，仅需要以该点为中心（ 10+10） （ 10+10） km2到（ 18+18） （ 18+18） km2 的部分 DEM 参与计算，即能获得满足铁路、公路等工程控制网需要的高程异常差计算精度，它显著改善了软件的计算效率； 4) GPS 水准点应尽可能选取高程相近的点； 5) 参考高程面不能任意选取， 最好 选取 平均高程面为参考面 。 参考文献 : 1 GPS 应用课题组 .GPS 在铁路线路高程测量中的应用研究 J.西南交通大学学报 .1995:30,163-169 2 Sanburi J, Angelakis
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