1、聚智堂数学讲义全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点 1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。 ）【知识点 2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。【例题 1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB与 是对应边，BC 与 是对应边，CA与 是对应边；(2)A 与 是对应角，ABC 与 是对应角，BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有
2、对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习 1】 如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)BOD ； (2)ACD .【知识点 3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题 2】 （海南省中考卷第 5 题） 已知图 2 中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50【例题 3】 （清远）如图，若 1ABC ，且 104AB， ，则1C= AB C C1A1B1DAB COEA
3、B CD聚智堂数学讲义【练习 2】 如图， ， =30，ACB BC则 的度数为（ ）ACA 20 B30 C35 D40【练习 3】如图，ABD 绕着点 B沿顺时针方向旋转 90到EBC，且ABD=90。（1）ABD 和EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若 AB=3cm,BC=5cm,你能求出 DE的长吗？（3）直线 AD和直线 CE有怎样的位置关系？请说明理由。专题二 全等三角形的判定【知识点 1】SSS：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS“.【例题 1】如图，AB=AD，BC=CD 求证：BAC=DAC。【练习 1】已知：如图，A、C、F、D
4、在同一直线上， AFDC，ABDE，BCEF，求证： ABC DEFCABBCDEFA聚智堂数学讲义【知识点 2】SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS“.【例题 2】已知：如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD求证：DCAB【练习 2】已知：如图，AEBF，AB=CD ，AE=BF .求证： AEC BFD【练习 3】如图，已知 ABBD，ED BD，AB CD，BCDE，求证：ACCE若将 CD 沿 CB 方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论 AC1C 2E 还成立吗？请说明理由【知识点 3】ASA：两角
5、和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，（可以简写为“角边角”或“ASA” ）聚智堂数学讲义【例题 3】已知：如图，AOD= BOC，A= C，O 是 AC 的中点。求证：AOBCOD【练习 4】1、如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，1= 2， 3=4，求证: 5= 6 2、如图，点 E 在ABC 的外部，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于点 F，若1=2 =3，AC=AE ，求证：AB=AD。3、如图，已知：ABC 中，AB=AC，BAC=90，分别过 B，C 向过 A的直线作垂线，垂足为 E，F。（1）证明：过 A的直线与斜边 BC不相交时，则有 EF=BE+CF
6、，如图 1。（2）如图 2，过 A的直线与斜边 BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。65 4321 EDCBA聚智堂数学讲义【知识点 4】AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，(可以简写为“角角边”或“AAS”)这一结论很容易由 ASA 推得：因为三角形的内角和等于 180，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角” ，便可证得这两个三角形全等所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。【例题 4】1、下列说法中：如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；如果两个三
7、角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等正确的是（ ）A和 B和 C和 D2、已知：如图，AB=AC，BD AC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE =CD【练习 6】1、如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，ABC 面积是 28 ，AB20cm，AC8cm，求 DE 的长2cm2、ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE【知识点 5】H
8、L:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，（可以简写为“斜边，直角边”或“HL” ）【例题 5】 （1）证明两个直角三角形全等的方法有 （2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形 ABC 的是（ ）ACBDEFAEB D CFA BCDEF图 9聚智堂数学讲义A AB3，BC4，AC8； B. AB4，BC 3，A30；C.A60，B45，AB 4； D. C90，AB6（3）已知：如图ABC 中，BDAC ，CEAB，BD 、CE 交于 O 点，且BD=CE求证：OB=OC.（4）如图，ACB=90，AC=BC，D 为 AB上一点，AECD 于 E，BFDC 交 CD的延长线于 F求证
9、：BF=CE【练习 2】1、对于下列各组条件，不能判定 的一组是 （ ABC）（A） A=A，B=B，AB=AB （B） A=A，AB=AB，AC=AC（C） A=A，AB=AB，BC=BC（D） AB=AB，AC=AC，BC=BC（2）聚智堂数学讲义专题三 角的平分线的性质【知识点 1】角的平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线【例题 1】1、已知BAC，作BAC 的平分线。 （尺规作图）2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ） A45 B135 C45或 135 D都不对【知识点 2】角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。【例题 2】1、ABC
10、 中，AB C，A 的平分线交 BC 于点 D，若CD8cm，则点 D 到 AB 的距离为 cm2、如左下图，在 ABC中， ACB=90,BE平分 ABC， DE AB于 D，如果AC=3 cm，那么 AE+DE等于A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm2、如右上图，已知 AB=AC， AE=AF， BE与 CF交于点 D，则 ABE ACF BDF CDE D在 BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有 B.只有C.只有和 D.，与3、如图，已知ABC 中，E 是 AB 延长线上的一点，AE=AC，AD 平分A，BD=BE。 求证：ABC=2C。 聚智堂数学讲义【知识点
11、 3】角平分线的判定方法 1：（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。方法 2：（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平分线上。（此命题与角的性质定理的已知和结论都不同）【例题 3】1、如图中，E 是 AB延长线上一点， ACBC、 ADBD、 AC=AD， 求证：DEA =CEA 。 2、如图，A、B、C 三点在同一直线上，分别以 AB、BC 为边在直线的同旁作等边三角形 ABD、BCE，连结 AE 交 BD 于 M，连结 CD 交 BE 于 N，连结 MN，求证：BMN 是等边三角形。 3、已知：如图， AO平分EAD 和EOD ；求证： AOEAOD E
12、B=DC 4、如图，已知 BE 平分ABC，CE 平分ACD，且交 BE 于 E求证：AE 平分FAC.聚智堂数学讲义一(一)一(一)DCABDFCBA E第二章轴对称专题一：轴对称【基础练习】 1.（2010日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是_。 （只需填入图案代号）2. （2008贵阳）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，则图中阴影部分的面积为_cm 23. 下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ） 图 2 2 A B C D 4.下图均为 76的正方形网格，点 A、B、C 在格点上在图中确定格点 D，并画出以 A、B、C、D 为顶点的四边形，使其为轴对称
13、图形(要求：分别在图、图、图中画出三个互不相同的图形)5. （2009河南）如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，则B 的度数为（ ）聚智堂数学讲义6.如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为 “格点多边形”。如图（一）中四边形 ABCD 就是一个“格点四边形”。（1）在图（一）中作出四边形 ABCD 关于直线 BD 对称的四边形 ABCD；（2）求图（一）中四边形 ABCD 的面积；（3）在图（二）方格纸中画一个格点三角形 EFG，使EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且EFG 为轴对称图形。【知识点】1.轴对称与轴对称图形的区别和联系_2.轴对称的性质：_3.轴对称的作法：作 关于直线 L 的对称图形ABC LBCA专题二：线段的垂直平分线【基础练习】1. （2010无锡）如图，ABC 中，DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E，A=30，ACB=80，则BCE= _度（1 题） （2 题） （4 题） （5 题）
