1、燕园教育辅导中心等腰三角形一、 等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。常见题：已知两边长和第三边，求周长。例题：两条边长分别为 2 和 5，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。二、 等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知 AB=AC，B=C等腰三角形的性质：2 等腰的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。注意：只有等腰三角形才有三线合一。例 1如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求：ABC 各角的度数D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写
2、成“等角对等边”）4. 例 2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：CAE 是ABC 的外角，1=2，ADBC（如图） 求证：AB=AC证明：ADBC ，1=B （两直线平行，同位角相等），2=C（两直线平行，内错角相等）又1=2， B= C， AB=AC （等角对 等边）练习：已知：如图，ADBC，BD 平分ABC 求证： AB=AD证明：ADBC ，ADB=DBC（两直线平行，内错角相等） 又BD 平分ABC ， ABD=DBC，ABD=ADB， AB=AD（等角对等边） 例 3如图（1），标杆 AB 的高为 5 米，为了将它固定，需要由它的中
3、点 C向地面上与点 B 距离相等的 D、E 两点拉两条绳子，使得 D、B 、E 在一条直线上，量得 DE=4 米， 绳子 CD 和 CE 要多长？21EDCAB DCAB燕园教育辅导中心(1) EDCAB(2)EDCBMN分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题一、复习知识要点1有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2三角形按边分类：三角形 ()三三三3等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质 1：等腰三角形的两个底角
4、相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合4等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）二、例题例：如图，五边形 ABCDE 中 AB=AE，BC=DE，ABC=AED，点 F 是 CD 的中点 求证：AF CD.分析：要证明 AFCD ，而点 F 是 CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质， 于是连接AC、AD，证明 AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论证明：连接 AC、AD 在ABC 和AED 中()ABECD三ABCAED（SAD ） AC=AD（全等三角形的
5、对应边相等）又ACD 中 AF 是 CD 边的中线（已知）EDCABF燕园教育辅导中心ED CABFAFCD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）三、练习（一）、选择题1等腰三角形的对称轴是（ ）A顶角的平分线 B底边上的高C底边上的中线 D底边上的高所在的直线2等腰三角形有两条边长为 4cm 和 9cm，则该三角形的周长是（ ）A17cm B22cm C17cm 或 22cm D18cm3等腰三角形的顶角是 80，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）A40 B50 C60 D304等腰三角形的一个外角是 80，则其底角是（ ）A100 B100或 40 C40 D805如图 1，C、E
6、和 B、D、 F 分别在GAH 的两边上，且 AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，则GEF的度数是（ ）A80 B90 C 100 D108EDCA B HFG如图 1答案: 1D 2B 3A 4C 5B 如图 2 （二）、填空题6等腰ABC 的底角是 60，则顶角是_度7等腰三角形“三线合一”是指_8等腰三角形的顶角是 n，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_9如图 2，ABC 中 AB=AC，EB=BD=DC=CF，A=40 ，则EDF 的度数是_10ABC 中，AB=AC点 D 在 BC 边上（1）AD 平分BAC，_=_；_ _；（2）AD 是中线，_=_；_；（3）ADBC ，_
7、=_；_=_燕园教育辅导中心11ABC 中，A=65 ，B=50，则 AB：BC=_12已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，要使 ADBC ， 则ABC 的边一定满足_13ABC 中，C=B，D 、E 分别是 AB、AC 上的点，AE=2cm ， 且 DEBC ， 则AD=_答案:660 7等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8（90+ n） 970 10略 111 12AB=AC 132cm 1430 海里12（三）、解答题15如图，CD 是ABC 的中线，且 CD= AB，你知道 ACB 的度数是多少吗？由2此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流 D
8、CAB16如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，求证：ABC= ADC.DCAB17如图，ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DF AC 于 F 交 BC 于 E，求证：DBE 是等腰三角形 EDCABF燕园教育辅导中心答案:15ACB=90结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16连接 BD，AB=AD，ABD=ADB CB=CD，CBD= CDBABC=ADC17证明D=BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BAC=3
9、0 求证：BC= AB12CAB DCAB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD例 5右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱 BD、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在 RtAED 与 RtACB 中，由于A=30， 所以 DE= AD，BC=12AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= AB1214例等腰三角形的底角为 15，腰长为 2a，求腰上的高已知：如图，在ABC 中，AB=AC=2a， ABC=ACB=15，CD 是腰 AB 上的高求：CD 的长分析：
10、观察图形可以发现，在 RtADC 中，AC=2a，而DAC 是ABC 的一个外角，则DAC=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出 CD等边三角形一、复习知识要点DCA EBDCAB燕园教育辅导中心1三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形2等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个内角都等于 603等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形4在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半二、练习（一）、选
11、择题1正ABC 的两条角平分线 BD 和 CE 交于点 I，则BIC 等于（ ）A60 B90 C120 D1502下列三角形：有两个角等于 60；有一个角等于 60的等腰三角形； 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ）A B C D3如图，D、E、F 分别是等边ABC 各边上的点，且 AD=BE=CF，则DEF 的形状是（ ）A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形C直角三角形 D不等边三角形EDCABF21EDCAB4Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，B=30，AD=2cm，则 AB 的长度是（
12、）A2cm B4cm C8cm D16cm5如图，E 是等边ABC 中 AC 边上的点，1=2，BE=CD ，则对ADE 的形状最准备的判断是（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C不等边三角形 D不能确定形状答案：1C 2D 3A 4C 5B燕园教育辅导中心（二）、填空题6ABC 中，AB=AC，A=C ，则B=_7已知 AD 是等边ABC 的高，BE 是 AC 边的中线，AD 与 BE 交于点 F，则AFE=_8等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴，分别是_9ABC 中，B=C=15，AB=2cm，CDAB 交 BA 的延长线于点 D， 则 CD的长度是_答案：660 7608三；三边的垂直
13、平分线 91cm （三）、解答题10已知 D、E 分别是等边 ABC 中 AB、AC 上的点，且 AE=BD，求 BE 与 CD的夹角是多少度？11如图，ABC 中，AB=AC ，BAC=120，AD AC 交 BC于点 D，求证：BC=3AD.D CAB12如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，ABC 和 CDE 都是等边三角形BE 交 AC 于 F，AD交 CE 于 H，求证：BCEACD；求证：CF=CH；判断CFH 的形状并说明理由 EDCABHF13如图，点 E 是等边ABC 内一点，且 EA=EB，ABC 外一点 D 满足 BD=AC，且 BE 平分DBC，求BDE 的度数（提
14、示：连接 CE）燕园教育辅导中心EDCAB答案：1060或 12011AB=AC，BAC=120 ，B=C=30，在 RtADC 中 CD=2AD，BAC=120，BAD=120-90=30，B=BAD，AD=BD，BC=3AD12ACB=DCE=60，BCE=ACD又BC=AC，CE=CD，BCE ACD ；证明BCFACH；CFH 是等边三角形13连接 CE，先证明BCEACE 得到BCE=ACE=30，再证明BDE BCE 得到BDE=BCE=30 、随堂练习，变式训练练习 1：请同学们做课本 51 页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目：求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中
15、，有一个角的度数为 36.（2）在等腰三角形中，有一个角的度数为 110.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时,(a)若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角；(b)若已知角为锐角,它可能是顶角 ,也可能是底角。本次变式训练中，教师应重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三 角形的性质燕园教育辅导中心；（2）学生是否注意到等腰三角形的地窖一定是锐角；（3 ）学生是否注意到可能的多种情况；(4)学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是钝角，但底角一定是锐角。设计意图：及时巩固所学知识，了解学生学习效
16、果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。练习 2：已知：在ABC 中，AB=AC，BD=DC. AD=4,BC=6 时，求 ABCS当 时，求 的度数。50B1解: 4021858BACC21D1264BASC4B（ 等 边 对 等 角 ），又 相 互 重 合 ）中 线 、 顶 角 的 角 平 分 线（ 等 腰 三 角 形 底 边 上 的， ，又 重 合 ）中 线 ， 底 边 上 的 高 相 互（ 等 腰 三 角 形 地 边 上 的， 解: 练习 2 的训练主要是让学生学会应用等腰三角形的性质 2 来解题。设计意图：及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同
17、时培养学生分类讨论的思想。、应用深化，巩固提高例：在ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求ABC 各角的度数。课本例题，学生讨论问题，教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生找出角之间的关系，书写解答过程。解：因为 AB=AC, BD=BC=AD所以ABC=C =BDA, A =ABD（等边对等角）设C=x,则 BDA=A+ABD=2 x 从而ABC=C =BDA=2 x于是在ABC 中，有A+ ABC+C=180B CAD燕园教育辅导中心解得 x=36在ABC 中，A=36 ，ABC=72，C=72。通过例题讲解，教师应重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三
18、角形的性质解决问题；（2）学生应用所学知识的应用意识。设计意图：培养学生正确应用所学知识的应用能力，增强应用意识，参与意思，巩固所学性质。、课时小结请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容。等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。教师重点关注：归纳、总结能力；不同层次的学生对本节知识的认识程度；学生独立面对困难和克服困难的能力。设计意图：总结回顾学习内容，帮助学生归纳，激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供充分展示自己的机会。一、选择题（每
19、题 6 分，共 30 分）每题有且只有一个正确答案1等腰三角形（不等边）的角平分线、中线和高的条数总和是（ ）A3 B5 C7 D92在射线、角和等腰三角形中，它们（ ）轴对称图形A都是 B只有一个是C只有一个不是 D都不是3如下图：ABC 中，AB=AC ，A=36，D 是 AC 上一点，若BDC=72 ，则图形中共有（ ）个等腰三角形。A1 B2 C3 D44三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是（ ）A等腰三角形B等腰直角三角形C非等腰三角形D等边三角形5ABC 中，AB=AC，AB 边的中垂线与直线 AC 所成的角为 50，则B 等于（ ）A70 B20或 70C40或 70 D40或 20二、填空题（每题 6 分，共 30 分）
