1、线性回归方程 【目标引领】 1 学习目标： 了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法 。 2 学法指导： 求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义否则，求出的回归直线方程毫无意义因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性 求回归直线方程，关键在于正确地求出系数 a、 b，由于求 a、 b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误 回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用应 用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把 “ 无序 ” 变为 “ 有序
2、 ” ，并对情况进行估测、补充因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识 【教师在线】 1 解析视屏： 1 相关关系的概念 在实际问题中，变量之间的常见关系有两类： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积 S 与其边长 x之间的函数关系2xS（确定关系）； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系） 相关关系：自变量取值 一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系。 不同点：函
3、数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 2求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？ 引导学生分析，最能代表变量 x 与 y 之间关系的直线的特征：即 n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下 ： 设所求的直线方程为 y bx a，其中 a、 b 是待定系数。 则 ( 1, 2 , , )iiy bx a i n ，于是得到各个偏差。 ( ) , ( 1 , 2 , . )i i iy y y bx a i
4、n 显见，偏差 iyy的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用 n 个偏差的平方和 2 2 21 1 2 2( ) ( ) . ( )nnQ y bx x y bx a y bx a 表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度。 记21 ()niiiQ y bx a 。 上述式子展开后，是一个关于 a， b 的二次多项式，应用配方法，可求出使 Q 为最小值时的 a， b 的值，即 xbyaxnxyxnyxb n1i22in1iii其中 1111,nniiiix x y ynn 以上方法称为 最小二乘法 。 2 经典回放： 例 1：
5、下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？ （ 1）电压 U 与电流 I （ 2）圆面积 S 与半径 R （ 3）自由落体运动中位移 s 与时间 t （ 4）粮食产量与施肥量 （ 5）人的身高与体重 （ 6）广告费支出与商品销售额 分析： 函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。 对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全
6、确定粮食产量，因为粮食产量还与其他 因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。 人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。 广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。 点评： 不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。 例 2： 已知 10只狗的血球体积及红血球的测量值如下
7、： 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72 （血球体积，），（血红球数，百万） (1)画出上表的散点图 ;(2)求出回归直线并且画出图形 。 解：（）见下图 x30y51035 40 45 50 55（）50.45)50394058354248464245(101x 37.7)72.855.620.649.990.599.650.752.930.653.6(101y 设回归直线为 abxy ， 则176.0xnxyxnyxa n1i22in1iii， 64.0 xayb
8、所以所求回归直线的方程为 0.176 0.64yx，图形如下 : x30y51035 40 45 50 55点评： 对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数 a、 b 的计算公式，算出 a、 b由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误求线性回归方程的步骤：计算平均数 yx,；计算 ii yx与的积，求 iiyx；计算 2ix；将结果代入公式求；用 xayb 求；写出回归方程 。 【同步训练】 1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） A角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C正边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和
9、身高 2某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为 y=50+80x，则下列说法中正确的是 （ ） A劳动生产率为 1000元时，月工资为 130元 B劳动生产率提高 1000元时，月工资提高约为 130元 C劳动生产率提高 1000元时，月工资提高约为 80元 D月工资为 210元时，劳动生产率为 2000元 3设有一个回归方程为 y=2-1.5x，则变量 x 每增加一个单位时， y 平均 （ ） A增加 1.5单位 B增加 2 单位 C减少 1.5单位 D减少 2 单位 4正常情况下，年龄在 18岁到 38岁 的人们，体重 y（ kg）依身高 x（ cm）的回归方程为y
10、=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高 1 米 78，他的体重应在 kg左右。 5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出上表的散点图 ;(2)求出回归直线并且画出图形 【拓展尝新 】 6在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间对应的一组数据： 时间t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(m) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出散点图；
11、(2)试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程。 【解答】 1 D 2 C 3 C 4 69.66 5 解： (1)散点图（略） (2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格 i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475 3.399y,30x , 7 7 7221 1 17000 , 1132725 , 87175i i i ii i ix y x y 故可得到 2573075.43.399a75.43077000 3.39930787175b 2。 6 解： (1)散点图略，呈直线形 . (2)经计算可得： 45.19y,36.46t 111i111i ii2i111i2i 13910yt,5442y,36750t 542.536.463.045.19a3.036.461136750 45.1936.461113910b 2故所求的回归直线方程为 542.5t3.0y 。
