1、 高二数学试题 第 1 页（共 4 页 ） 高二全能知识竞赛 数学试题 时量： 120 分钟 总分： 150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2、 等于（ ） A.-1 B. 1 C. D.3、将函数 的图象向左平移 个单位，所得的函数图象的一条对称轴方程是（ ） A. B. C. D.4、 若 p： = +2k， k Z， q： y=cos（ x+）（ 0）是奇函数，则 p 是 q 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件 5、 设 a0,b0,且不等式
2、恒成立 ,则实数 k 的最小值等于 （ ） A.0 B.4 C.-4 D.-2 6、函数 lnxxyx的图象可能是（ ） 7、 已知一个确定的二面角 和 是空间的两条异面直线 ,在下面给出的四个条件中 ,能使 和 所成的角也确定的是 （ ） A. / 且 / B. / 且 C. 且 D. 且 2| 4 3 0 , | 1A x x x B x y x AB AB BA AB1 tan 17 tan 28tan 17 tan 28 22 22sin 2 6yx 412x 6x 3x 12x 高二数学试题 第 2 页（共 4 页 ） 8、 已知边长为 2 的正方形 的四个顶点在球 的球面上，球 的
3、体积为 ，则 与平面 所成的角的余弦值为（ ） A B C D9、 设实数 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值为（ ） A B C D 310、若 为锐角，且满足 ，则 （ ） A. B. C. D.11等差数列 的前 项之和分别为 若 ，则 的值为（ ） . . . . 12.设函数 的定义域为 D,若对于任意 ，当 时，恒有，则称点 为函数 图象的对称中心 .研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ） A. B. -4027 C. 4027 D.-8054 , 45c os , c os5 13 sin1665 6365 5665 3365 nn ba
4、 , n , nnTS 132 nnbann2121TS1513 3523 1711 94 y f x 12,x x D 122x x a 12 2f x f x b ,ab y f x sin 3f x x x 1 2 402 6 402 7201 4 201 4 201 4 201 4f f f f 80541225102925高二数学试题 第 3 页（共 4 页 ） 二、填空题 （共 4 小 题，共 20 分 ） 13直线 l 过点 P ( 1， 2)且点 A(2， 3)和点 B( 4， 6)到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程为 。 14正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长
5、为 6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ， 该正四面体的体积为 01 5 = 2 - ( 1 - )_ _ _ _ 0 , c c - c - = 0 - = 5 - = 3 _ _ _ _ _120 t R t ta b a a a b a c a c、 已 知 平 面 向 量 ， ， 满 足 ， 且 与 的 夹 角 为 ， ， 则 的 最 小 值为 已 知 向 量 向 量 满 足 （ ） （ ） ， ， ， 则 的 最 大 值 为 16已知数列 an满足 a1=1， a2=2， an+2=（ 1+cos2 ） an + sin2
6、 ，则该数列的前 10 项和为 三、解答题 （共 6道大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17、 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 = （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 c=2，求 ABC 面积最大值 (本小题满分 10 分 ) 18、 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) x2 2x 8， g(x) 2x2 4x 16， (1)求不等式 g(x)2，均有 f(x)(m 2)x m 15 成立，求实数 m 的取值范围 . 高二数学试题 第 4 页（共 4 页 ） 19 (本题 12 分 )已知函数 ， ， 且
7、. (1)若 ，求实数 a 的值； (2)若 或 ，求实数 a 的取值范围 . 20.（满分 12 分）已知圆 C: 2 2 22 4 4 0x y x m y m ，圆 1C: 2225xy，以及直线 :l3 4 15 0xy （ 1）求圆 1C: 2225xy被直线截得的弦长；（ 2）当 m 为何值时，圆 C 与圆 1C 的公共弦平行于直线 l ；（ 3）是否存在 m ，使得圆 C 被直线所截的弦 中点到点 2,0的距离等于弦 长度的一半？若存在，求圆 C 的方程；若不存在，请说明理由 21、 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥中， ， 侧面 为等边三角形， 。 （ 1）证明： ； （
8、2）求 二面角 的平面角的正弦值。 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 （ 1）若 ，求数列 的前 项和 ； （ 2）若 ，求证：数列 是等比数列，并求其 通项公式 ； （ 3）记 ，若对任意的 恒成立，求实数 的最大值 。 高二数学试题 第 5 页（共 4 页 ） 高二全能知识竞赛 数学答案 一选择题 BBABC BDCBD CD 填空题 13， x+2y-3=0 或 x=-1， 14， 6 6,18 2 15， 3,18, 16， 77 17， 【解答】 解：（ 1） = ， sinBcosC 2sinAcosC= cosBsinC， sinA=2sinAcosC
9、， sinA 0， ， （ 2） ，可得： ab 4， ，即： ABC 面积的最大值为 ，但且仅当 ABC 为等边三角形时成立 18 【解】 (1)g(x) 2x2 4x 162 时， f(x)(m 2)x m 15 恒成立， x2 2x 8(m 2)x m 15， 即 x2 4x 7m(x 1) 对一切 x2，均有不等式 x2 4x 7x 1 m 成立， 高二数学试题 第 6 页（共 4 页 ） 而 x2 4x 7x 1 (x 1)4x 1 22 (x 1)4x 1 2 2(当且仅当 x 3 时等号成立 )， 实数 m 的取值范围是 ( ， 2 经检验 符合题意 ， ( )设由于 或 当 时
10、， 总有不符合题意 当 时，由 的图像可得 或成立则 ( )解法 2:设由于 或 当 时， 总有 不符合题意 当 时，若 若 ，则 则 综上 高二数学试题 第 7 页（共 4 页 ） 20.解：（ 1）因为圆 1C: 2225xy的圆心 0,0 ，半径 5r ， 所以，圆心 到直线 :l 3 4 15 0xy 的距离 d ： 223 0 4 0 1 5 334d ，由勾股定理可知， 圆 1C: 2225xy被直线截得的弦长为 222 2 25 9 8rd 4 分 （ 2）圆 C 与圆 1C 的公共弦方程为 22 4 4 2 5 0x m y m ， 因为该公共弦平行于直线，令 2434m，解得
11、： 1m 经检验 1m 符合题意，故所求 1m ； 7 分 （ 3）假设这样实数 m 存在 设弦 中点为 ，由已知得 2 ，即 所以点 2,0 在以弦 为直径的圆上 10 分 设以弦 为直径的圆方程为： 2 2 22 4 4 3 4 1 5 0x y x m y m x y ， 则 222 2 2 4 3 2 1 5 02 3 4 43 4 1 5 022mm 24 9 016 25 24 0mm 消去 得： 2100 144 216 0mm ， 225 36 54 0mm 因为 23 6 4 2 5 5 4 3 6 3 6 2 5 6 0 所以方程 225 36 54 0mm 无实数根， 所
12、以，假设不成立，即这样的圆不存在 12 分 21. 答案： （ 1） 略 （ 2） （ 1） 解：取 的中点 ，连结 ， ,则四边形 为矩形 。 高二数学试题 第 8 页（共 4 页 ） 即： ， , 因为 侧面 为等边三角形 ， ,所以 ，且 又因为 ，所以 ， ， 所以 ， ，而 ， ， ，所以。 -5 分 （ 2）过点 作 于 ， 因为 ， ，所以 ， 又因为 ， 即 ， 由平面与平面垂直的性质，知 , 在 中，由 ， 得 ，所以 。 过点 作 于 ， 取 中点 ,连结， 则 为 二面角 的平面角 ， 因为 ， ， 所以 ，所以 , 在 中，由 ，求得 。 在 中， ， , 所以 。 由 ，得 ， 即 ， 解得 ， 所以 , 高二数学试题 第 9 页（共 4 页 ） 故 二面角 的平面角的正弦值 为 。 -12 分 22. 答案：（ 1） （ 2）（ 3） （ 1）解析：（ 1） -3 分 （ 2） 由 可知 ，代入 可得： 时， 代入 可得： 而，即 是公比为 的等比数列。 在 中，令 可得： -8 分（ 3）可知 为递减数列 高二数学试题 第 10 页（共 4 页 ） 为递增数列 即 的最大值为 -12 分
