1、http:/- 1 -6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC 和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中， “”读作“全等于” 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等
2、时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1）， BOCEOD ，BOC 可以看成是由EOD 沿直线 AO 翻折 180得到的；旋转 如图（2）， CODBOA，COD 可以看成是由BOA 绕着点 O 旋转 180得到的；http:/- 2 -平移 如图（3）， DEF ACB，DEF 可以看成是由A
3、CB 沿 CB 方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即 AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等例 1：如图，已知 AD=AE,
4、AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出 ACDABE，而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC中，因此先证明 ACD ABE，再证明 DBFECF ，既可以得到 BF=FC.证明：在 ACD 和 ABE 中，http:/- 3 -AE=D A AB=C. ACDABE (SAS) B=C （全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE即 BD=CE在 DBF 和 ECF 中 B= C FD FE（ 对 顶 角 相 等 ） B=CE DBF ECF （AAS ） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例 2：已知：如图，DEAC ，B
5、FAC，垂足分别为 E、F，DE=BF ，AF=CE. 求证：ABCD DCBA分析：要证 ABCD，需证CA，而要证CA，又需证 ABFCDE.由已知 BFAC，DEAC，知 DECBFA=90，且已知 DE=BF，AF=CE. 显然证明ABF CDE 条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在 ABF 与 CDE 中，http:/- 4 -AF=CE （ 已 知 ） D BFA （ 已 证 ） E=BF （ 已 知 ） ABF CDE（SAS） CA (全等三角形对应角相等 ) ABCD （内
6、错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例 3：如图，在 ABC 中，AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取 CD 中点 F，连接 BF，再证 CEBCFB.这里注意利用 BF 是ACD 中位线这个条件。证明：取 CD 中点 F，连接 BF BF= AC,且 BFAC （三角形中位线定理）12 ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在 CEB 与 CFB 中，BF=E 3 2 CB=CB CEB CFB
7、 (SAS) CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）12即 CD=2CE（）加倍法证明：延长 CE 到 F，使 EF=CE，连 BF.http:/- 5 -AEBDCF4123在 AEC 与 BEF 中，AE=BE 1 2 （ 对 顶 角 相 等 ） CE=FE AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等 ) BF AC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180 o,ABC+CBD=180 o,又 AB=AC ACB=ABCCBF= CBD （等角的补角相等）在 CFB 与 CDB 中，CB=CB F CBD BF=D CFBCDB (SAS)
8、CF=CD即 CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取 AC 中点 F，连 BF(如图)（B 为 AD 中点是利用这个办法的重要前提），然后证 CE=BF.(4)证明线段相互垂直例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC、BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。http:/- 6 -CBAOED分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长 AO 交
9、BC 于 E,在 ADO 和 CDB 中AD=C O= CDB=90o OD=B ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90 o AOBC5、中考点拨：例 1如图，在ABC 中，ABAC ，E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心，EB 为半径画弧，交 BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DFDE，连结 FC求证：FA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A 、 F 不在全等的两个三角形中，但由已知可证得 EFAC，因此把A 通过同位角转到BDE 中
10、的 BED ，只要证 EBD FCD 即可证明：ABAC，http:/- 7 -ACBB，EBED ，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又 DEDF ，BDE CDFBDECDF，BEDFFA 说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例 2 如图，已知 ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE=BD，连接 CE、DE.求证：EC=ED BCDEFA分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC 全等的三角形，因此过 D
11、 点作 DFAC交 BE 于 F 点，证明AECFED 即可。证明：过 D 点作 DFAC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形 BFD 为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BF AF 即 EF=ABhttp:/- 8 - EF=AC在 ACE 和DFE 中，EF=AC（ 已 证 ） EDF (两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 ) AE=FD (已 证 ) AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例 1 如图，ABC 中，C2B，12。求证：ABAC CD分析：在 AB 上截取 AEAC，构造全等三角形，AEDAC
12、D，得 DEDC，只需证 DE BE 问题便可以解决证明：在 AB 上截取 AEAC，连结 DE AEAC， 12，AD AD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDB EDB ， C2B， 2BB EDB 即 BEDB EBED ，即 EDDC， ABACDC剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证
13、明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等http:/- 9 -（B）有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，BE、CD 交于点 O，且 AO 平分BAC求证：OBOC3. 如图，已知 C 为线段 AB 上的一点，ACM 和CBN 都是等边三角形，AN 和 CM 相交于 F 点，BM 和 CN 交于 E 点。求证： CEF 是等边三角形。 A B C M N E F 1 2 4.如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线求证：AD (AB+AC) 12http:/- 10 -5. 如图，在等腰 RtABC 中，C90，D 是斜边上 AB 上任一点，AECD 于E，BF CD 交 CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G求证：BD CG
