1、 9.7 抛物线 一 、选择题 (每小题 7 分，共 35 分 ) 1 (2010陕西 )已知抛物线 y2 2px(p0)的准线与圆 x2 y2 6x 7 0相切，则 p的值为 ( ) A.12 B 1 C 2 D 4 2 (2010山东 )已知抛物线 y2 2px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ( ) A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 3已知 d 为抛物线 y 2px2 (p0)的焦点到准线的距离，则 pd 等于 ( ) A.12p2 B p2 C.12 D.14 4抛物线 y2 ax
2、 的准线方程为 x 2，则 a 的值为 ( ) A 4 B 4 C 8 D 8 5已知点 P 是抛物线 y2 2x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射影是M，点 A 72， 4 ，则 |PA | |PM|的最小值是 ( ) A.72 B 4 C.92 D 5 二、填空题 (每小题 6 分，共 24 分 ) 6若抛物线的焦点在直线 x 2y 4 0 上，则抛物线的标准方程是 _ 7 (2010重庆 )已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点， |AF| 2，则|BF| _. 8 (2010全国 II)已知抛物线 C： pxy 22 （
3、 p0）的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3 的直线与 l相交于点 A，与 C的一个交点为 B,若 MBAM ,则 p= . 9当 x1 时，直线 y ax a 恒在抛物线 y x2 的下方，则 a 的取值范围是 _ 三、解答题 (共 41 分 ) 10 (13 分 )抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135的直线，被抛物线所截得的弦长为 8，试求该抛物线的方程 11 (14 分 )已知抛物线的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，且过点 P(2,2)，过 F 的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点 (1)求抛物线的方程； (2)设直
4、线 l 是抛物线的准线，求证：以 AB 为直径的圆与准线 l 相切 12 (14 分 )已知动圆过定点 F(0,2)，且与定直线 L： y 2 相切 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦，且 AB 过 F(0,2)，分别以 A、 B 为切点作轨迹 C 的切线，设两切线交点为 Q，证明： AQ BQ. 答案 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. y2 16x 或 x2 8y 7. 2 8. 2. 9. ( ， 4) 10. 解 依题意，设抛物线方程为 y2 2px (p0)， 则直线方程为 y x 12p. 设直线交抛物线于 A(x1， y1
5、)、 B(x2， y2)两点， 过 A、 B分别作准线的垂线，垂足分别为 C、 D， 则由抛物线定义得 |AB| |AF| |FB| |AC| |BD| x1 p2 x2 p2， 即 x1 x2 p 8. 又 A(x1， y1)、 B(x2， y2)是抛物线和直线的交点， 由 y x 12p，y2 2px，消去 y， 得 x2 3px p24 0，所以 x1 x2 3p. 将其代入 得 p 2，所以所求抛物线方程为 y2 4x. 当抛物线方程设为 y2 2px (p0)时， 同理可求得抛物线方程为 y2 4x. 综上，所求抛物线方程为 y2 4x或 y2 4x. 点评 (1)根据问题的条件，抛
6、物线方程可能是 y2 2px (p0)，也可能是 y2 2px (p0)，任何一种情况都不要漏掉 (2)要由定 “ 性 ” 和 “ 量 ” 两个方面来确定抛物线的方程定“ 性 ” ，即确定开口方向，便于设抛物线的方程定 “ 量 ” ，即求所设方程中的参数 p. 11.(1)解 设抛物线 y2 2px (p0)，将点 (2,2)代入得 p 1. y2 2x为所求抛物线的方程 (2)证明 设 lAB的方程为： x ty 12，代入 y2 2x 得： x2 (1 2t2)x 14 0，设 AB 的中点为 M(x0， y0)，则 x0 1 2t22 . 点 M到准线 l的距离 d x0121 2t22
7、 12 1 t2，又 AB x1 x2 p 1 2t2 1 2 2t2， d 12AB，故以 AB为直径的圆与准线 l相切 点评 本题第 (2)问在证明时，易忽略对直线无斜率情况的讨论本解法既可防止漏掉无斜率的情况，同时又避免了分类讨论 12. (1)解 依题意，圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点， L： y 2为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线距离等于 4， 所以圆心的轨迹方程是 x2 8y. (2)证明 因为直线 AB与 x轴不垂直， 设 AB： y kx 2.A(x1， y1)， B(x2， y2)由 y kx 2，y 18x2， 可得 x2 8kx 16 0， x1 x2 8k， x1x2 16. 抛物线方程为 y 18x2，求导得 y 14x. 所以过抛物线上 A、 B两点的切线斜率分别是 k1 14x1， k2 14x2， k1k2 14x114x2 116x1x2 1. 所以 AQ BQ.
