1、 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1. 求函数 的值域。 解： 显然函数的值域是： 例 2. 求函数 的值域。 解： 故函数的值域是： 2.
2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 3. 求函数 的值域。 解：将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ，当 时， 故函数的值域是 ： 4， 8 3. 判别式法 例 4. 求函数 的值域。 解：原函数化为关于 x 的一元二次方程 （ 1）当 时， 解得： （ 2）当 y=1时， ，而 故函数的值域为 例 5. 求函数 的值域。 解：两边平方整理得： （ 1） 解得： 但此时的函数的定义域由 ，得 由 ，仅保证关于 x 的方程： 在实数集 R有实根，而不能确保其实根在区间 0， 2上，即不能确保方程（ 1）有实根，由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确
3、定此函数的值域为 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 代入方程（ 1） 解得： 即当 时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 6. 求函数 值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为： ，其定义域为： 故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例 7. 求函数 的值域。 解：由原函数式可得： 解得： 故所求函数的值域为 例 8.
4、 求函数 的值域。 解：由原函数式可得： ，可化为： 即 即 解得： 故函数的值域为 6. 函数单调性法 例 9. 求函数 的值域。 解：令 则 在 2， 10上都是增函数 所以 在 2， 10上是增函数 当 x=2 时， 当 x=10 时， 故所求函数的值域为： 例 10. 求函数 的值域。 解：原函数可化为： 令 ，显然 在 上为无上界的增函数 所以 ， 在 上也为无上界的增函数 所以当 x=1时， 有最小值 ，原函数有最大值 显然 ，故原函数的值域为 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一
5、，在 求函数的值域中同样发挥作用。 例 11. 求函数 的值域。 解：令 ， 则 又 ，由二次函数的性质可知 当 时， 当 时， 故函数的值域为 例 12. 求函数 的值域。 解：因 即 故可令 故所求函数的值域为 例 13. 求函数 的值域。 解：原函数可变形为： 可令 ，则有 当 时， 当 时， 而此时 有意义。 故所求函数的值域为 例 14. 求函数 ， 的值域。 解： 令 ，则 由 且 可得： 当 时， ，当 时， 故所求函数的值域为 。 例 15. 求函数 的值域。 解：由 ，可得 故可令 当 时， 当 时， 故所求函数的值域为： 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几
6、何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往 会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例 16. 求函数 的值域。 解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点 P（ x）到定点 A（ 2）， 间的距离之和。 由上图可知，当点 P在线段 AB 上时， 当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例 17. 求函数 的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成 x轴上的点 到两定点 的距离之和， 由图可知当 点 P为线段与 x轴的交点时， ， 故所求函数的值域为 例 18. 求函数 的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点 A（ 3， 2）到点 P（
7、 x， 0）的距离与定点 到点 的距离之差。 即： 由图可知：（ 1）当点 P在 x轴上且不是直线 AB 与 x轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有即： （ 2）当点 P恰好为直线 AB与 x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例 17， 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、 B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A， B两点在 x轴的同侧。 如：例 17的 A， B两点坐标分别为：（ 3， 2）， ，在 x 轴的同侧；例18 的 A， B 两点坐标分别为（ 3， 2）， ，在 x 轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
