1、 毕业设计开题报告 信息与计算科学 Hilbert 空间中 k 严格伪压缩映像的 Halpern 与粘滞迭代序列的收敛定理 一、综述本课题的研究动态 , 说明选题的依据和意义 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分 , 它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分 , 而且在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 因此 , 研究非线性算子方程解的存在 性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义 , 而且具有重要的应用价值 . 非线性算子方程的解往往可以转
2、化为某个非线性算子的不动点问题 . 自 20世纪初著名的 Banach 压缩映像原理 1 和 Brouwer 不动点定理 2 问世以来 , 特别是最近二三十年来 , 由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力 , 这门学科的理论及应用的研究已取得重要的进展 , 并且日趋完善 . 非 线性算子的类型很多 , 包括压缩映像 , 非扩张映像 , 伪压缩映像 , 渐近非扩张映像 , 渐近伪压缩映像 , 单调映像 , 增生映像等等 . 其中最简单的一类映像是压缩映像 . 压缩映像的定义是 : 设 ,X 是度量投影 , T 是 XX 的映像 , 如果存在数 , 0 1, 使对一切,xy X 成立 , , ,
3、Tx Ty x y x y 非扩张映像是压缩映像的一种推广 , 在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用 , 它在近代数学许多分支都有应用 , 特别是在非线性半群 , 遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用 . 随着非扩张映像不动点理论的发展 , 学者们得出了关于非扩张映像的一系列结论 . 其定义为 : 设 E 为一个实 Banach 空间 , C 是 E 的一个非空闭凸子集 , 自映像 CCT : , T 称为非扩张映像 , 如果 Cyx , , 有 | | yxTyTx . k 严格伪压缩是非扩张映像的推广 , k 严格伪压缩的定义是 : 设 K 是 Hilbert 空间 H 的非空子
4、集 , 映射 :T K H 是 k 严格伪压缩映像 , 如果存在常数 0,1 ,K 有 2 2 2( ) ( ) , , .T x T y x y k I T x I T y x y K 当 k 严格伪压缩映像的定义中的常数列 0k 时 , 映像 T 称为非扩张映像 , 如果 1k , T 称为伪压缩映像 . 可见 , k 严格伪压缩族严格包括非扩张映像族 . k 严格伪压缩映像介于非扩张映像和伪压缩映像之间 . 非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题 , 而对于一些具体的非线性算子方程不动点的求解是十分困难的 . 因此 , 数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来求解这些方程 , 其
5、中 Picard 给出了最早的迭代序列 , 但是 Banach 压缩原理证明中所用的 Picard 迭代方法对于非扩张映像却未必是收敛的 , 之后 , Mann3 受到 Banach 压缩映像原理的启发 , 在1953 年提出了正规 Mann 迭代序列 . 1976 年 , Ishikawa4 推广了 Mann 迭代格式 , 得到了Ishikawa 迭代序列 . 然而为了证明 Mann 格式或 Ishikawa 格式产生的序列强收敛于非扩张映像的某个不动点 , 往往要求映像的定义域或映像本 身 具有某种紧性 . 紧性假设是很强的条件 , 能否找到一种新的迭代格式在没有紧性条件的 假设下 , 仅
6、依赖与非扩张映像本身的性质收敛于映像的不动点呢 ? 回答是肯定的 . 在 1967 年 , Halpern5 首先引入了如下迭代格式 , 称之为 Halpern 迭代 0 1 , 1.n n n nx x Cx u T x 并且 Halpern 指出如果迭代格式想要收敛到任意非扩张 映像 T 的不动点 , 那么必须满足其中两个条件 1: lim 0nnC 和12 : .nnC 2000 年 , Moudafi6 引入粘滞迭代方法逼近给定非扩张映像的特定不动点 . 介绍了下述迭代格式 0 1 , 1 , 0 .n n n n nx x Kx f x Tx n 不仅利用这种方法研究非线性算子方程的
7、不动点 , 而且用来研究变分不等式解的问题 . 2004 年 , Xu7 改进了 Moudafi 的结果 , 在一致光滑的 Banach 空间中给出了粘滞迭代的强收敛定理 . 本文将主要 通过构造 k 严格伪压缩映像的一步 halpern迭代序列和一步粘滞迭代序列 , 以及 k 严格伪压缩映像的两步 halpern迭代序列和两步粘滞迭代序列来研究在 Hilbert空间框架下的 k 严格伪压缩映像的不动点的迭代逼近问题 . 二、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题 : 研究的基本内容 : 研究 Hilbert空间框架下 k 严格伪压缩映像的不动点的迭代逼近 . 解决的主要问题 : 1. 构造 k
8、 严格伪压缩映像的一步 halpern迭代序列和一步粘滞迭代序列研究其不动点的迭代逼近 . 2. 构造 k 严格伪压缩映像的两步 halpern 迭代序列和两步粘滞迭代序列研究 其不动点的迭代逼近 . 三、研究步骤、方法及措施 : 研究步骤 : 1. 查阅相关资料 , 做好笔记 ; 2. 仔细阅读研究文献资料 , 整理文献撰写开题报告 ; 3. 翻译英文资料 , 修改英文翻译 , 撰写文献综述 ; 4. 在老师指导下 , 确定整个论文的思路 , 列出论文提纲 ; 5. 撰写毕业论文 ; 6. 上交论文初稿 ; 7. 反复修改论文 ; 8. 论文定稿 . 方法、措施 : 通过到图书馆 , 上网等
9、查阅收集资料 , 参考相关内容 . 在老师指导下 , 归纳整理各类问题 . 四、参考文献 1 S. Banach. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aus equations integreles J. Fund. Math., 1922, 3: 133181. 2 L. E.J. Brouwer. Uber Abbildung von Manigfaltigkeiten J. Math. Ann., 1912, 71: 97114. 3 M. A. Noor, E. A. Al-Said.
10、 Wiener-Hopf equations technique for quasimonotone variational inequalities J. J. Optim. Theory. Appl., 1999, 103: 705714. 4 K. Goebel, W. A. Kirk. A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings J. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, 35: 171174. 5 B. Halpern. Fixed points of nonexpansive maps J. Bull. Amer. Math. Soc., 1967, 73: 957961. 6 A. Moudafi. Viscosity approximation methods for fixed points problems J. Math. Anal. Appl., 2000, 241: 4655. H. K. Xu. Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings J. Math. Anal. Appl., 2004, 298: 279291.
