1、毕业设计开题报告 信息与计算科学 Hlder 不等式的几种推广及其应用 一、 综述本课题国内外研究动态 , 说明选题的依据和意义 Hlder 不等式最初是用数列形式给出的 , 后由 Riesz, F 将其推广到积分形式 , 成为建立pL 空间理论的基本工具 . 而且在许多领域都是最常用的基本不等式 . 1888 年 Roger 给出了不等式 111 1 1( ) ( ) .n n npqpqk k k kk k ka b a b 1889 年 德国数学家 Hlder 给出了其证明 . 上式中 , 0 , 1, 2 , ,kka b k n , 111pq且 1p . 若 01p则不等号反向 ,
2、 当且仅当 ka 或 kb 为零数列 , 或存在两个不不同时为零的非负常数 12,cc使得 12 , 1, 2 , ,pqkkc a c a k n时等号成立 . Hlder 不等式通常以两种形式出现 . 一种是离散量的形式而另一种是连续量的形式 . 其连续量的形式为 : 若 1 p , 111pq, ( ), ( ) ( )pnf x g x L , 则 : ( ) ( )f xg x 在 n 上 L 可积 , 且 ( ) ( ) ( ) pqf x g x d x f g .其中 1()n p ppf f x dx , 1()n q qqg g x dx 自从 Hlder 不等式提出以来
3、, 众多数学家给出了它的各种证明 , 一百多年来 , 对这两个不等式的种种改进和推广的工作也一直没有中断 . 1981 年胡克提出了胡克不等式 : 设 0pq , 111pq, 10nmee , ,0nnab , 则 1( 1 / 1 / ) 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q q p q p q p q p pn n n n n n n n n n nn n n n n n n na b b b a b e a b a e . 1986 年邱福成将 Hlder 不等式推广到正线性算子上去 , 称为线性算子的广义 Hlder 不等式 : 设 : , , T a b
4、 L a b 为正线性算子 , ab , , pf L a b , , qg L a b , 1 p , 111pq, 则对 , ab 中几乎所有的 x , 成立 1 / 1 /( | |, ) ( | | , ) ( | | , ) , 1p p q qT f g x T f x T g x p ; ( | | , ) ( | | , ) s u p | ( ) | , 1T fg x T f x e s s g x p. 1993 年 Pecaric, J. E. 证明了 Hlder 不等式的单调性质 . 胡克不等式克服了 Hlder 不等式在使用时的缺陷 , 改进和推广了许多重要的著名不
5、等式 , 美国“数学评论”称其是 一个“杰出的非凡的新的不等式” . 近些年来 , 我国的许多学者也在 Hlder不等式这个领域有诸多建树 , 如娄新宇等人提出了 Hlder 不等式的各种新的推广形式 , 并给出了详尽的证明 . 他们的这些研究对于 Hlder不等式的发展 , 对于数学的发展都有重要意义 . Hlder 不等式是数学分析中最有用的不等式之一 , 是基础数学理论中一个重要的不等式 , 在数学分析、实变函数论、泛函分析、概率论等 , 甚至中学数学的内容都有它的证明与应用 . 它作为数学分析的重要基石 , 是深入解决问题的桥梁 . 自 19 世纪末建立以来 , 大家一直称它是一个十分
6、完美的重要不等式 . Hardy 等在名著不等式中再三强调 Hlder 不等式和 Minkowski 不等式 “ 极为重要 ” 和 “ 到处都要用到 ” . Hlder 不等式是数学理论中的一根重要支柱和实际应用中重要的工具 . 正因为 Hlder 不等式在数学理论与实际应用中的重要作用 , 对于 Hlder 不等式及其各种推广形式做一个深度的研究是非常有必要的 . 因此我选了这个课题作为对大学所学知识的一个总结 . 本文拟对 Hlder 不等式的各种推广形式做一个详尽的证明 , 并举例叙述 Hlder 不等式在数学中的应用 , 以便大家更加深刻地理解 Hlder 不等式的真正内涵 . 二、
7、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题 研究的基本内容 : 拟 研究 Hlder 不等式各种推广形式的证明方法 . 解决的主要问题 : 1. 给出基本 Hlder 不等式的证明方法 . 2. 给出 Hlder 不等式各种推广形式的证明方法 . 三、研究步骤、方法及措施 研究步骤 : 1查阅相关资料 , 做好笔记 ; 2仔细阅读研究文献资料 ; 3在老师指导下 , 确定整个论文的思路 , 列出论文提纲 , 撰写开题报告 ; 4翻译英文资料 ; 5撰写文献综述 ; 6撰写毕业论文 初稿 , 反复修改 论文 ; 7上交论文 ; 8论文定稿 . 方法、措施 : 在指导教师的指导下广泛查阅文献资料 , 并
8、 在指导老师的帮助下确定题目 , 写作提纲 , 制定周密的计划进度 . 四、 参考文献 1 程其襄 , 张奠宙 , 魏国强 , 等 . 实变函数与泛函分析基础 M. 北京 : 高等教育出版社 , 2003. 2 陆善镇 , 王昆杨 . 实分析（第二版） M. 北京 : 北京师范出版社 , 2001. 3 越民义译 . 不等式 M. 北京 : 科学出版社 , 1965. 4 L. Grafakos. Classical and modern Fourier analysis M. Newjie: Prentice Hall, 2004. 5 刘炳初 . 泛函分析 M. 11. 北京 : 科学出版
9、社 , 2007. 6 高丽 . Hlder r 积分不等式的几种证明方法 J. 延安大学学报 , 1995, 17(1): 7073. 7 邢家省 , 王洪志 . 从贝努利不等式到 Hlder 不等式的演变过程及应用 J. 吉首大学学报 , 2010, 31 (2) : 1014. 8 庄亚栋 . 空间中的不等式 J. 扬州师院学报 , 1991, 11 (4): 2330. 9 O. Hlder. Ueber einen Mittelwertsatz J Cottinger Nachrichten.1889， 38-47. 10 J. Machael Steele. The Cauchy-Schwarz Master Class-An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. M. New York: Cambridge University Press. 2004.
