1、毕业设计开题报告 信息与计算科学 对称性在积分计算中的应用研究 一、综述本课题国内外研究动态 , 说明选题的依据和意义 对称性（ symmetry）是现代物理学中的一个核心概念 , 它泛指规范对称性（ gauge symmetry) , 或局域对称性 local symmetry）和整体对称性（ global symmetry） .1 它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性 . 如果这些变数随时空变化 , 这个不变性被称为规范对称性 , 反之则被称为整 体对称性 . 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性
2、. 数学上 , 这些对称性由群论来表述 . 上述例子中的群分别对应著伽利略群 , 洛伦兹群和 U(1)群 . 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（ continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry).2 德国数学家外尔 (Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规范对称重要性的第一 人 . 1950 年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式 , 并构造了核作用的 SU(2)规范理论 .3 我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用 . 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函
3、数的奇、偶性 , 往往可以简化计算 , 达到事半功倍的效果 . 近年来 , 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题 . 4 本文将系统地介绍有关内容并举出相关例子 .以二重积分为例 若积分区间 D 关于变元 ,xy具有轮换对称性 , 则必有积分区域 D 关于直线 yx 对称 . 因此在某些复杂的积分过程中 , 若能注意并充分利用积分区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程 , 提高解题效率 . 例如 6 (1) 1( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ) )2DDf x y d f y x d f x y f y x d , (2) 若 D 关于直线 yx 对称 ,记
4、 1D 为 D 中位与直线 yx 上半部分区域 , 则有 12 ( , ) , ( , ) ( , )( , )0 , ( , ) ( , )DDf x y d f x y f y xf x y df x y f y x . 积分在数学分析中是相当重要的一项内容 , 而在计算积分的过程中 , 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题 型 . 那么 , 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性 , 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去 , 往往可以简化计算过程 , 收到意想不到的效果 , 引起感情激荡 , 造成感情上的共鸣 , 更好地感知、理解数学美 .7 特别是对于有些题目 ,
5、我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果 . 在积分计算中利用对称性来解题这种方法 , 是一种探索性的发现方法 , 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能 . 因此 , 在积分计算中 , 可以利用对称性来帮助求解 , 不过我们在应用对 称性求积分时还必须注意 : 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面 , 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用 ; 对于第二型曲线积分与曲面积分 , 在利用对称性时 , 还需考虑路线的方向和曲面的侧 , 应慎重 ; 合理利用对称性以求简便计算 .8 二、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题 研究的基本内容 : 对称性在积分计算中的应用研究 解决的主要问题 :
6、 1 总结各种积分的计算方法 2 将应用对称性求解的方法 , 与原来的方法比较看优化之处 . 三、研究步骤、方法及措施： 一 研究步骤 : 1 查阅相关资料 , 做好笔记 ; 2 仔细阅读研究文献资料 ; 3 在老师指导下确定整个论文的思路 , 列出论文提纲 , 撰写开题报告 ; 4 翻译英文资料 ; 5 开题报告通过后撰写毕业论文 ; 6 上交论文初稿 ; 7 反复修改论文 , 修改英文翻译 , 撰写文献综述 ; 8 论文定稿 . 二方法、措施 : 通过到图书馆、上网等查阅收集资料 , 参考相关内容 在老师指导下 , 归纳整理各类问题 四、 参考文献 1 王仲春等编著 . 数学思维与数学方法
7、论 M. 北京 : 高等教育出版社 , 1991,. 2 王寿生等编 . 130 所高校研 究生高等数学入学试题选解及分析 M 沈阳 : 辽宁科技出版社 ,1988. 3 陈仲、洪祖德编 . 高等数学 研究生入学试题与典型例题选解 M. 南京 : 南京大学出版社 , 1986. 4 同济大学数学教研室主编 . 高等数学 M. 北京 : 高等教育出版社 , 1996. 5 龚冬保 . 数学考研典型题 M. 西安 : 西安交通大学出版社 , 2000. 6 陈增政 , 徐进明 . 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算 J. 工科数学 , 1994, 4(10): 181183. 7 D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective J, and flat modules1J Pure App l Algebra, 2007; 210: 437445. 8 I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I M. New York: Academic Press 1964.
