1、毕业设计开题报告 信息与计算科学 自适应数值积分算法及其程序设计 一、综述本课题国内外研究动态 , 说明选题的依据和意义 计算定积分时 , 人们首先会想到牛顿 -莱布尼茨公式 , 问题似乎已经解决 . 可是当我们遇到这样的情形如 ()fx是由测量或数值计算给出数据表时或者用牛顿 -莱布尼茨需要大量的函数值计算时 , 如果用数值积分方法来解决要方便得多 , 既节省工作量 , 又满足精度要求 .而数值积分方法的好坏取决于达到精度要求所需计算量的大小 , 主要依赖于所需计算函数值的个数多少 . 目前已有辛普森求积公式 , Newton-Cotes 求积公式等以及复合的求积公式 . 复合的求积方法比一
2、般的求积方法要好 . 但是 复合求积 公式 通常适用于被积函数变化不太大的积分 , 如果在求积区间中被积函数变化很大 , 有的部分函数值变化剧烈 , 另一部分变化平缓 . 这时统一将区间等分用复合求积公式计算积分工作量大 , 因为要达到误差要求对变化剧烈部分必须将区间细分 , 而平缓部分则可用大步长 , 针对被积函数在区间上不同情形采用不同的步长 , 使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小 , 针对这类问题的算法技巧是在不同区间 上预测被积函数变化的剧烈程度确定相应步长 , 这种方法称为自适应 求积 法 . 自适应积分的算法思路是将积分区域分为若干个子区域 , 在在子区间中计算各个积分的近
3、似误差 , 其中最大误差所在区间将被细分为若干个子区间 , 不断细分直到满足误差要求 .该算法通过区域划分来子区间难积分点的误差 , 从而提高了计算精度 . 自适应辛普森数值求积公式是 由 GF Kuncir于 1962年在 数值积分方法 中提出的 . 2000年 , Walter Gander 和 Walter Gautschi 发表了 自适应积分再谈 . 文章介绍了一种基 于Gauss-Lobatto求积和 Kronrod对 Gauss-Lobatto求积的扩展的新的求积方法 . 2005 年 , 曾玉华和蒋光彪在 一种自适应的四阶 Newton- Cotes 求积方法 中提出了四阶 Ne
4、wton- Cotes 自适应求积公式中 . 2007 年 , 孙海涛和王元汉 基于节点计算的自适应数值积分及其程序实现 , 针对 完全无网格法的计算要求 , 提出了一种能自动适应任意计算域上各种节点分布方式的数值积分算法 , 该算法能随计算点的位置不同自动确定积分域及积分域内的求积点计算出数值积分结果 . 2011 年 , 杨录峰与赵双锁等在 一种变步长和变阶计算的自适应数值积分算法 中 介绍了一种将自适应 Simpson 算法和 Romberg 外推算法相结合的新型自适应算法 . 本文主要通过对现有的自适应算法的理解 , 并设计自适应求积的程序 . 二、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题
5、 : 研究的基本内容 : 通过对现有的自适应算法的介绍来理解自适应数值积分算法 , 并设计自适应求积的程序实现 . 解决的主要问题 : 1. 自适应求积的几种方法 ; 2. 自适应求积的程序实现 . 三、研究步骤、方法及措施 : 研究步骤 : 1. 查阅相关 资料 , 做好笔记 ; 2. 仔细阅读研究文献资料 , 整理文献撰写开题报告 ; 3. 翻译英文资料 , 修改英文翻译 , 撰写文献综述 ; 4. 在老师指导下 , 确定整个论文的思路 , 列出论文提纲 ; 5. 撰写毕业论文 ; 6. 上交论文初稿 ; 7. 反复修改论文 ; 8. 论文定稿 . 方法、措施 : 通过到图书馆 , 上网等
6、查阅收集资料 , 参考相关内容 . 在老师指导下 , 归纳整理各类问题 . 四、参考文 献 1 张池平 , 施云慧等 . 计算方法 M. 北京 : 科学出版社 , 2002. 2 李庆扬 , 王能超 , 易大义 著 . 数值分析 M. 北京 : 清华大学出版社 , 2001. 3 曾玉华 , 蒋光彪 . 一种自适应的四阶 Newton-Cotes 求积方法 J. 数学理论与应用 , 2005, 4: 68-69. 4 孙海涛 , 王元汉 . 基于节点计算的自适应数值积分及其程序实现 J. 岩土力学 , 2007, 28(5): 995-1000. 5 杨录峰 , 马宁 , 赵双锁 . 一种变步长和变阶计算的自适应数值积分算法 J. 云 南民族大学学报 (自然科学版 ), 2011, 20(1): 32-37. 6 W. Gander, W.Gautschi. Adaptive Quadrature Revisited J. BIT, 2000,40(1): 084-101. 7 R. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis M. Beijing: Higher Education Press, 2001.
