1、毕业设计文献综述 信息与计算科学 分块矩阵的性质及其应用 数学上 , 矩阵就是由 方程 组的系数及常数所构成的方阵 , 把 它 用在解线性方程组上 即 方便又直观 . 因为这些数字是有规则地排列在一起 , 形状像矩形 , 所以数学家们称之为矩阵 , 通过矩阵的变化 , 就可以得出方程组的解来 . 矩阵这一具体概念是由 19 世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的 . 但是追根溯源 , 矩阵最早出现在我国的 九章算术 中 , 在 九章算术 方程一章中 , 就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状 , 随后移动 , 就可以求出这个方程的解 . 在欧洲 , 运用
2、这种方法来解线性方程组比我国要晚 2000 多年 1 . 数学上 , 一个 mn 矩阵乃一 m 行 n 列的矩形阵列 . 矩阵由数组成 , 或更一般的由某环中元素组成 , 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析 , 以及组合数学等 . 矩阵的研究历史悠久 , 拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究 . 作为解决线性方程的工具 , 矩阵也有不短的历史 . 1693 年 , 微积分的发现者之一戈特弗里德 威廉 莱布尼茨建立了行列式论 (theory of determinants). 1750 年 , 加布里尔 克拉默其后又定下了克拉默法则 . 1800 年 , 高斯和威廉 若尔当建立了高斯 若尔当消
3、去法 . 1848 年詹姆斯 约瑟夫 西尔维斯特首先创出matrix 一词 . 研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉 卢云 哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯 诺伊曼 2 . 通过上面对 矩阵历史的了解我们发现矩阵是很容易理解和掌握的 . 然而 , 矩阵在实际应用中还是会遇到很多问题 , 在实际生活中 , 我们的很多问题可以用矩阵抽象出来 , 但这些矩阵一般都是高阶矩阵 , 行数和列数都是一个相当大的数字 , 因此我们在计算和证明这些矩阵时会遇到很烦琐的任务 . 这时我们得有一个新的矩阵处理工具 , 来使这些问题得到更好的解决！这时便产生了矩阵的分块思想 , 分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特
4、殊矩阵的内部本质结构 . 所谓矩阵分块 , 通俗的说就是将比较复杂的矩阵按照一定的规律分割成几个较简单的小1 矩阵 , 从而简化运 算 . 这个过程就叫做矩阵的分块 . 分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数 , 使矩阵的结构更清晰明朗 , 从而使一些矩阵的相关计算简单化 , 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题 . 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题 , 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上 , 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解 , 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念 , 我们需要透彻的了解分块矩阵 , 在此基础上较好地 学会在何时应用矩
5、阵分块 , 从而研究它的性质及应用是非常必要的 . 在文献 3中给出 了分块矩阵定义 : 把一个 nm 矩阵 A , 在行的方向分成 s 块 , 在列的方向分成 t 块 , 称为 A 的 ts 分块矩阵 , 记作 tslkAA , 其中klA , 1,2, ,ks , 1,2, ,lt 称为 A 的子块 , 它们是各种类型的小矩阵 . 例 : 把一个 5 阶矩阵4000004000611002301052001A, 记 : 3100010001I , 612352 =1A , 0000 000 , 240 04 A . 则 A 就 可以看成由上面 4 个小矩阵所组成 , 记 : A = 213
6、0 AAI 并称它是 A 的一个 22 分块矩阵 , 其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块 . 常用的矩阵分块方法 , 除了上例中的 4 块矩阵 , 矩阵的分块还有以下几种常用的分法 : (1) 按行分块 Amnmmnnaaaaaaaaa.212221211211=mAAA21, 其中 iniii aaaA .21 , mi ,.,2,1 . (2) 按列分块 2 B = SnsnnssBBBbbbbbbbbb. . . . . . . . . . . . . . . . .21212222111211, 其中njjjjbbbB 21, sj ,2,1 . (3) 当 n 阶矩阵 C 中都集
7、中在主对角线附近 , 有时也可以分块成下面的对角块矩阵 (又称准对角矩阵 ): C=mCCC21, 其中 iC 是 ir 阶方阵 ( mi ,2,1 ; mi i nr1). 矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚 , 如上面的矩阵 (1)中 , A 的左 上角是一个 3 阶单位阵 3I , 左下角是 32 零矩阵 . 在文献 4中给出了第二个好处 (也是最重要的好处 )是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行 , 从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算 . 分块矩阵在线性代数中是一个基本工具 , 研究许多问题都要用到它 . 借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及
8、矩阵的秩方面的应用 . 如定理 : 设ABM CD是 一 个四 分块 n 阶矩阵 , 其中 , , ,ABCD 分别是 rr 、 ()r n r 、()n r r 、 ( ) ( )n r n r 阶矩阵 . 若 A 可逆 , 则 1| | | | | |M AD C A B . 若 D 可逆 , 则1| | | | | |M BC C A B . 文献 5-12中还提到了有关分块矩阵的一些用法 , 比如 用分块矩阵证明有关矩阵乘积的秩的定理 : 矩阵乘积的秩不超过其因子的秩 , 即 ( ) ( ),r AB r A 且 ( ) ( ),r AB r B 或者表示成( ) m in ( ),
9、( )r A B r A r B , 其中 ()rA表示矩阵 A 的秩 . 还可以利 用分块矩阵求矩阵的行列式问题 , 比如 利用分块矩阵求高阶行列式 ADCB: 设 ,AC都是 n 阶矩阵 , 其中 | | 0A , 并且AC CA , 则 AB AD CBCD . 当然要计算行列式 ADCB, 如 果条件不同 , 则结果的表达形式也可以不同 , 这些性质都可以通过分块矩阵的方法来证明 , 并且用分块矩阵的方法证明起来会显得简洁明了 , 方便很多 . 此外也可以 用分块矩阵求矩阵的秩 , 求矩阵的逆矩阵 , 利用分块矩阵证明一个矩阵是否为零矩阵等等 . 3 对于分块矩阵的性质 , 有些也可以
10、 从行列式的性质出发推导出来的 . 分块矩阵有非常广泛的应用 , 特别是利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁 , 可以使问题简化 , 而且方法也比较统一 , 有其独特的优越性 . 参考文献 1 居余马 . 线性代数 M. 清华大学出版社 , 1992. 2 穆大禄 , 裴惠生 . 高等代数教程 M. 山东大学出版社 , 1990. 3 北京大学数学系 . 高等代数 M. 高等教育出版社 . 4 叶伯诚 . 高等代数 M . 青岛海洋大学出版社 , 1989. 5 张敏 . 分块矩阵的应用 J. 吉林师范大学学报 (自然科学版 ), 2003, 1(1): 120. 6 孔庆兰 . 分块矩阵
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