1、 I 目 录 摘 要 . 1 Abstract . 2 1 常用的不等式证明方法 . 3 1.1 作差比较法 . 4 1.2 作商比较法 . 4 1.3 分析法 . 5 2 假设法证明不等式 . 6 2.1 反证法 . 6 2.2 数学归纳法 . 7 3 构造法证明不等式 . 7 3.1 代换法 . 8 3.2 构造复数 . 8 4 利用微分中值定理证明不等式 . 9 4.1 利用拉格朗日中值定理 . 9 4.2 利用柯西中值定理证明不等式 . 10 4.3 利用泰勒展开式证明不等式 . 11 5 利用积分定理证明不等式 . 12 5.1 利用定积分定义证明不等式 . 12 5.2 利用定积分
2、性质证明不等式 . 13 6 一题多解 . 14 结语 . 17 参考文献 . 18 致 谢 . 19 1 不等式证明的若干方法 摘 要 不等式是数学学习过程当中一个根本的问题，它浸透于数学研究的各个方面，因而不等式证明在数学中有着至关重要的作用和地位。在本文中，我主要从不同方面总结了一些证明不等式的方法。尤其是在初等数学中不等式证明，经常会使用到比较法，假设法，反证法等等。在高等数学中还会用到中值定理、积分定理等等。于是，一个更完美的不等式的证明，有助于我们进一步的探索研究。经过去掌握这些证明方法，可能会帮助我们去解决一些数学题目。 关键词 :比较法；中值定理；积分定理 2 Abstract
3、 Inequality is the mathematical learning process is a fundamental issue, it soaked in all aspects of mathematical research, which proves inequality has a crucial role and position in mathematics. In this article, I mainly summarizes some different aspects to prove inequality. Especially proving ineq
4、ualities in elementary mathematics, is often used to compare methods, assumptions law, reductio ad absurdum, and so on. Higher Mathematics will be used in the mean value theorem, integral theorem and so on. Thus, a more perfect proof of inequality, helping us to further exploration and research. Aft
5、er prove to master these methods may help us to solve some math problems. Keywords: Comparative Law; value theorem; integral theorem 3 引言 在数学学习过程中，不等式是基本的数学关系，不等式的证 明也证明了它是数学领域一个非常重要的内容，然而，这些内容在初等数学与高等数学中又有一个很好的体现。到 17 世纪之后，它已经逐渐发展为不等式理论，成为数学基础的一个重要要组成部分。在不等式证明之前，要根据其结构特点，往往需要对其内部结构进行分析 ,来采取适当的，熟悉各种
6、证据推理方法，并要掌握相应的环节，技术和语言特点，揭示问题的本质特点，使得难解的问题变动为可解性问题。 黄冬梅在关于不等式证明的若干方法的探究中提到过，利用“对称和均分”的观点。根据微积分的知识，通过一些例子来探讨不等式证明在初等数学中应用。东洪平在利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式中涉及到，根据利用二阶导数方法来证明函数的单调性，通常用一个函数来求导确定，因此，某些函数的单调性不能确定的时候，对这些函数进行二次求导来确定其单调函数 .赵忠彦在用数学归纳法证明一类不等式的技巧中提到，对于一边是常数的数列不等式，不妨借助于数学归纳法，直接证明概括往往有一定的困难，如果使用不等式的传递性、可
7、加性，通过增强命题，比例常数和其他技能，就可以成功完成了归纳过渡。 1 常用的不等式证明 方法 比较法是不等式数学证明中最基 本、最根本的方法，主要有作差法和作商法。 4 1.1 作差比较法 作差比较法：要证不等式 a b a b，只要证 00a b a b 即可。比较法包括以下几个步骤：作差、变形、判断的符号（正或负）、得出结论。 例 1 实数 ,ab为正数，求证 22 2 2 2a b a b 。 分析：两个多项式大小的比较通常是用作差比较法。 解： 22 2 2 2a b a b 222 1 2 1a a b b 221 1 0ab 小结 :作差：要比较两个数（或式子）作差的大小 ; 变
8、形：对差值进行因式分解或几个数（或式子）的完全平方和； 判别：结合变形和题设前提下判断差的符号。 1.2 作商比较法 商比较：在一般情况下，当 ,ab均为正数时，借助 1ab 或 1ab ，来表示它的大小，一般步骤为：作商 变形 判别（大于 1或小于 1)。 例 2 设 ,ab R ，求证： 2ababa b ab 。 分析 :关于一些含有幂指数类型的题通常都用作商比较法。 证明： 2222aba b b aababa b aabbab ， 又指数函数的性质， 当 ab 时， 2 1abab ; 5 当 0ab时， 1ab ， 02ab ， 2 1abab ； 当 0ba时， 01ab， 02
9、ab ， 2 1abab ； 即 2ababa b ab . 注：作商法通常适用于含“幂”、“指数”比较类型的式子。 1.3 分析法 分析法是从结论开始，一步步的向上推导，探索下去，然而证明已知的题目中设条件，在证明的过程中，推导的每一步都要可逆。 例 3 已知： cba, 为互不相等的实数，求证： cabcabcba 222 . 证明：要证 cabcabcba 222 成立， 即证明 0222 cabcabcba 需要证 0222222 222 cabcabcba 即 0222 accbba 因为 cba ,所以 0,0,0 222 accbba . 由此逆推，即可证明。 6 2 假设法证明
10、不等式 2.1 反证法 反证法是证明与命题相对立的结论，可以先来假设一个错误的结论，应用到以往所学的知识来证明假设是错误的。 理论依据：命题“ p ”与命题“非 p ”一真、一假。 例 4 已知 10,10,10 cba ，求证 : accbba 1,1,1 至少有一个小于等于 41 。 分析：“小于等于”的反面是“大于”，可以考虑用反证法。 证明：假设 accbba 1,1,1 都大于 41 ， 则 10,10,10 cba 01,01,01 cba 根据平均值不等式，有 2141121 baba 同理 2121,2121 accb ， 23212121212121 accbba 2323
11、. 显然矛盾，所以结论成立。 注：反证法适合用于证明一些“存在性的问题、唯一性的问题”，“至少有一个”或“至多有一个”等类型的数学问题。 7 2.2 数学 归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，即按下列步骤进行： 1 证明当 n取第一个值 1n 时命题成立； 2 一个命题，证明了命题的假设命题进行 *0 ,n k k n k N 证明， 建立当 1nk时，命题也成立。综上所述，建立了所有的自然数都成立。 例 5 nnnnn 2 121112 112 14131211 。 证明： 1 当 1n 时，左 111 22 ，右 12 ，一个命题成立。 2 假设当 nk 时，命题成立， 即
12、kk 2112 14131211 kkk 212111 . 那么当 1nk时， 左边 22 112 12112 14131211 kkkk 22 112 1212111 kkkkk 22 112 13121 kkkk 上式表明当 1nk时，命题也成立。 由 12知，命题对一切正整数均成立。 注意： （ 1） 数学归纳法证明命题，步骤严谨，务必严格按步骤进行。 （ 2） 归纳推理是难点，要仔细看准再变形。 3 构造法证明不等式 构造 法是利用已知条件为前提，把条件进行变换和替代或模型结构的条8 件下，复杂等，来实现不等式的证明过程的简单化。 3.1 代换法 提取一个式子作为一个整体，一个变量来代
13、替它，使问题得以简单化，称为代换法。还原转化的本质，关键在于构建元素和组元，理论原由是基于等效替代，这样的非标准化的问题，复杂的问题。 例 7 计算下面的算式 7 . 8 8 6 . 7 7 5 . 6 6 9 . 3 1 1 0 . 9 8 1 0 7 . 8 8 6 . 7 7 5 . 6 6 1 0 9 . 3 1 1 0 . 9 8 解 : 令 7 .8 8 6 .7 7 5 .6 6a , 9.31 10.98b， 则原式 10 10a b a b 1 0 1 0a b a a b b 10 10ab a ab b 10 ab 1 0 7 . 8 8 6 . 7 7 5 . 6 6
14、9 . 3 1 1 0 . 9 8 10 0.02 0.2 注意：在解题过程中，往往要根据解题的需要，通常把较大的数字或者复式的式子用字母来代替，这样才会使式子中的复杂的关系更加简单明了，简化或计算过程也会简便些。 3.2 构造复数 对某些含有二次根式且变数字母具有对称或轮换对称的不等式，可以构造复数，利用复数模的性质： nn zzzzzz 2121 证明 1。 例 8：若 ,abc为非负实数，证明： 2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c 。 9 证明：构造复数 1z a bi ， 2z b ci ， 3z c ai ， 则左边 1 2 3 1 2 3z z z z z
15、 z a b c a b c i 2 abc 从这个例子可以看出，证明的不等式中出现“平方和算术根”构造复数，解决问题的方法是独特的，思路也清晰明了。只有在出现平方和或算术根的情况下，才考虑用构造复数。 4 利用微分中值定理证明不等式 利用微分中值定理证明不等式的步骤： 1 构造辅助函数 fx； 2 构造微分中 值定理需要的区间 ,ab ； 3 利用 ,ab ，对 f 进行适当的放缩。 4.1 利用拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 2 如果 fx在 ,ab 上连续，在 ,ab 内可导，则在 ,ab 内至少存在一点 ，使 f a f b fba 。 例 9 求证：当 0x 时， xxInxx 11 。 分析：最初要来构造一个辅助的函数 xf ，继 续利用拉格朗日中值定理就可以解出此题。 证明：设辅助函数 xInxf 1 ， xf 在 x,0 上满足 Lagrange 中值定理，则 00 xffxf ， 0 ；
