1、2014-2015数 (III) 2答案 一填空题（每小题 3 分，共 18 分） 1.0 ()x f t dt2. 1dx dye 3. 2100 PQe 4. 2233xy x . 5. 32 6. 1 二交点： 1 5 1( , ) ( , )6 2 6 2 1. 5661( ) ( sin ) 323S D x d x 2. 5 26613( sin ) ( 3 )2 2 4V x d x 三 2 2 2 zzy x y yxy 2 2zx 22 22zz yyx y y x 2 2 2 2 2 4z xyy 四 22( , ) 8 6 0 . 0 1 ( 3 3 ) 4 0 0L x
2、 y x y x x y y 令 ( , ) 8 0 .0 1 ( 6 ) 0( , ) 6 0 .0 1 ( 6 ) 0xyL x y x yL x y x y ，解得驻点 (120,80) 0 . 0 6 0 . 0 1 0 . 0 6x x x y y yL L L 由判别法知， (120,80)L 是唯一极大值，从而是最大值 (120,80) 320L 五 1. 2110 yxdx e dy= 2100y ydy e dx= 210 yye dy= 11(1 )2 e 2. (2 )D x y dxdy= 2D dxdyD xdxdyD ydxdy= 2 s in 2002 0 s i
3、nd r d r = 420162 sin3 d = 六 1. 11n n发散 ， 211n n收敛，故21 11()1000n nn 发散。 2. 11ln( 1 ) ( )nnn ，且11n n发散。 11( 1) ln (1 )nn n 满足莱布尼茨条件，故条件收敛。 3. sin 122nnn ，且112nn收敛 故1sin2nnn绝对收敛。 七收敛半径 R ，故收敛域为 ( , ) ()sx = 201! nnn xn =10( 1)! !nnnnnx xnn= 1 ( 1)!n xnxxen = 1( 1)!n xnxxen = ()xxx xe e = 2( 1) xx x e
4、八令 ()y p x ，则 ()y p x ，由 ( ) ( )p x p x ，得 ()y p x = 1xce 1 1 2xxy c e dx c e c 1 2 1 2 3xxy c e c d x c e c x c 九证明：必要性：若1 nn a收敛，则 ns 收敛，从而 2ns 收敛 ，故2 1 21 ()nnn aa 收敛。充分性：若2 1 21 ()nnn aa 收敛，则 2ns 收敛，再由 2 1 2 2n n ns s a ，且 na 0 ( )n 2na 0 ( )n 收敛，故 21ns 21ns 与 2ns 收敛于同一值。 所以1 nn a收敛。 2( 1 ) ( 0 1 ) ( 1 ) n npn pn = 1 1 1 1 1 1. . . .3 2 4 5 ( 2 1 ) ( 2 )p p p p p pnn 显然 ( 1 ) 0 ( ) ( 1 ) nnp nn 且 111( 1 ) 111 2( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2pp p p p p pppnn n n n n n 故011()(2 1 ) (2 )ppn nn 收敛。所以2( 1 ) ( 0 1 ) ( 1 ) n npn pn 收敛。
