1、1 课题：三角函数模型的简单应用（第 1 课时） 一、教材分析 1 设计思想： 引导学生观察日常生活，通过对具有周期性变化这一类实际问题进行建模练习，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而拓广视野，增长知识，积累经验；在建模过程中，让学生自觉地运用问题所给的条件进行自主探究，寻求解决问题的最佳方法和途径，从而培养学生的创新精神和实践能力 。 2 地位和作用： 本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想 ， 从而培养学生的创新精神和实践能力。 二、学情分析 学生学习了三角函数的图 象
2、 及其性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维活跃 ， 学习积极性高，已经形成对数学问题进行 自主探究、 合作探究的意识与能力。 三 、教学目标 1知识与技能：掌握三角函数模型应用的基本步骤：（ 1）根据解析式作出图象；（ 2）根据图象建立解析式；（ 3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。 2过程与方法： 师生共同探究，通过设计一系列阶梯型问题，由浅入深，由易而难，引起学生学习的兴趣和探究的热情。在此过程中，体会和感受 数学建模思想的内涵及数学本质，逐步提高创新精神和实践能力。 3情感、态度与价值观：培养学生的数学应用意识， 认识到 信息技术处理 某 些
3、问题带来 的 优越，并体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活、其他学科的联系，从而使学生热爱数学学习。 四 、教学重难点分析 1教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的问题。 2 教学难点： 将某些实际问题抽象为三角函数模型。 五、 教法及学法分析： 教学方法 启发式（辅以信息技术的运用）、讲练结合式 学习方法 自主探究、合作交流式 教学手段 使用多媒体辅助 教学 六、 预习学案 1函数 ( ) s in ( 0 )f x A x b A 的最大值为 32 ，最小值为 12 ，则 A ， b 。 【处理方式】学生课前预习，自主完成，并校对答案，通过四人小组合作解决存在的
4、问题，在上课时不再讲述本部分内容。 【设计意图】 将书本例 1 进行分解， 引导学生由函数的最大值和最小值确定 参 数 A 和 b 。 2 已知 函数 2 s in ( )( 0 )yx 在区间 02， 的 图象 如右所示， 那么 （ ） A 1 B 2 C 21 D 31 【设计意图】 将书本例 1 进行分解， 引导学生由函数的周期确定参数 。 y x 2 1 1 O 2 3在 0,2 ) 内，求下列符合题意的 值 （看看你所求出的 值有几个） 。 （ 1） sin 0 （ 2） 1sin 2 （ 3） sin 1 （ 4） sin 1 【设计意图】 将书本例 1 进行分解， 引导学生通过在
5、一个周期内求参数 的个数问题的初步研究，加深对一个周期内最值点“独一无二”的认识 ，为课堂例题中求 为何代最值点的缘由埋下伏笔。 4.画出函数 21yx， 21yx以及 21yx的图象。 【设计意图】 为书本例 2 的绝对值函数 sinyx 服务，本题起点低，有利于学生思维的 循序渐进。 5.已知函数类型，求函数解析式的方法是 6.函数图象的变换有哪 4 种常见的变换？ 7.三角函数可以作为描述现实世界中 现象的一种函数模型。 【设计意图】通过填空梳理相关知识点与解 题方法，为新课的展开做好准备工作。 七、 教学过程： 环节一、情境引入 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替 、 四季
6、轮回，潮涨潮 落 、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象 三角函数模型的简单应用。 【设计意图】 引导学生发现日常生活中具有周期变化规律的实例， 体会三角函数的周期变化规律，从而引出本节课的研究主题。 环节二、 应用探究 应用探究 1： 根据解析式作出图象 例 1： 画出函数 sinyx 的图象并观察其周期 和值域 。 （可尝试多种方法） 【处理方式】 学生独立作图，教师巡视，发现学生不同的作图方法，利用实物投影展示 并进行点评。 并追问学生：你是用什么方法画出此函数图象的？ 方法 1：利用图象变换法作图
7、（本题只涉及翻折变换） 外层绝对值函数的变换作图口诀：上不变，下翻上。 方法 2：利用分段函数法作图（绝对值函数的本质是分段函数， 体现转化与化归 思想 ） sin , 2 , 2 )sin sin , 2 , 2 2 )x x k kyx x x k k 方法 3：利用“五点”作图法（点越多，图象越精确） 追问 1： 五点法 作出 0,2 x 的图象后，你将如何处理？为什么能这样处理？ 2 显然 是该函数的一个周期（是否为最小正周期暂时不清楚）。 追问 2：从所画图象中我们容易观察出其周期为 ，如何用代数说明？ 为体现数学的严谨性， 本题 应 用代数方法即周期性定义验证： ( ) si n
8、( ) si n si n ( )f x x x x f x 3 sinyx 的周期是 （体现数 形结合思想 ） 。 方法 4：利用信息技术作图法（采用几何画板作图） 【设计意图】通过画图象来让学生复习三角函数的作图方法，利用三角函数的图象直观 地研究三角函数的周期性 ， 使学生复习旧知识，为新知的学习作铺垫，其中渗透数形结合的思想 ，渗透利用信息技术研究数学问题的思想 。 同时，利用一题多解，发散学生的思维。 变式 1： 画出函数 sinyx 的图象。 【设计意图】 本题着重讲解作图的方法：利用函数性质作图法。（由函数的奇偶性可知，该函数为偶函数，只需先作出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对
9、称性作出 y 轴左侧的图象。） 变式 2： 画出函数 sin siny x x的图象并观察其周期。 【设计意图】本题着重讲解作图的方法：利用叠加原理作图。（如在区间 0, 上， 函4 数 sinyx 和 函数 sinyx 的 图象一致 ， 相加后图象 变为原来的 2 倍，在区间 ,2 上，函数 sinyx 和 函数 sinyx 的图象一上一下，相加后相互抵消 。） 再利用信息技术作图验证（采用几何画板作图）。 【 变式练习 设计意图 】完善作图方法，使学生 开阔思路，启迪思维，培养能力。 并进一步体会利用信息技术作图的方便，增加利用信息技术研究数学问题的 兴趣和意愿 。 应用探究 2： 根据图
10、象建立解析式 例 2： 杭州是个美丽的城市， 4 月的杭州 气候宜人。 如 图， 是杭州 4 月某 天从 614 时的温度变化曲线 ，它 近似满足函数s in ( )y A x b （其中 0A ， 0 ， ( , ) ） （ 1） 求这一天 614 时的最大温差； （ 2） 写出这段曲线的函数解析式 ； （ 3）请 求出 8 时的近似温度 。 【处理方式】 本题关键是 值的确定， 两个学生上黑板同时呈现带不同点求 的 解法，课件中的 （蓝线）是为了说明如果拿平衡点代入求 值时会出现增根，需检验。同时实物投影展示用“五点法”求解。 由 10 0 214 22kk （ kZ ）及 ( , ) ，
11、解得 834 【设计意图】 本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题 。 问题给出了某个时 间段的温度变化曲线， 主要是 写出曲线的函数解析式 ， 也就是利用函数模型来解决问题 ， 要特别注意自变量的变化范围 。 为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里补充了第三小题“求出 8 时的近似温度”。 通过本题进一步巩固建模的关键步骤，根据图象建立解析式的方法，为下节课的“船进出港口问题”打下坚实的基础。 应用探究 3： 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 例 3：杭州的美丽，还在于房屋的采光间距设计较为合理。如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射
12、纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是090 | | .当地夏半年 取正值，冬半年 取负值 . 如果在杭州地区 (纬度数约为北纬 30 )的一幢高为 H 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？（可借助于计算器） 【设计意图】 本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与O1020306 10 14 t /h8 12T /oCBC 太阳光 北回归线南回归线 -太阳光 5 三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意 在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。 【处
13、理方式】学生先仔细阅读 1 分多钟，接着播放一个关于“ 正午太阳高度角 ”的简短视频。 【设计意图】 播放 关于 “ 正午太阳高度角 ” 的简短视频 ，让学生能更好地理解题意。 为降低问题 的难度， 分解成 4 个 小 问题 ， 这 4 个 小 问题 层层递进 。 学生在教师循序渐进的问题引导下，自觉地运用问题所给的条件进行自主探索。 问题 1：太阳光线正午能不能直射杭州地区？若不能，太阳光线从 杭州 哪个方位的上空照射过来？ 【设计意图】 使学生充分调动相关学科的知识来理解题意，从而为建立数学模型作准备。 问题 2： 该实际问题中，两楼 之间的距离 应满足什么条件？ 【设计意图】 让学生找出
14、所求问题的等价问题。 问题 3： 楼房 高 H 与太阳高度角 及楼房影长 L 三者之间是什么关系？ 【设计意图】 根据教 师的分析，学生找出三个量之间的关系。 进而 建立数学模型，利用解三角形来解决实际问题。 问题 4： 太阳光线直射地球什么位置时，楼房的影子最长？ 【设计意图】 让学生认真观察几何画板演示，然后得出结论 ，从中 培养学生的观察分析、归纳能力。 环节三、 生活链接 若你想在杭州某住宅小区买房，该小区的楼高 6 层，每层 3 米，楼与楼之间相距 17 米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？ 【处理方式】 四人小组讨论，展示讨论成果。 【设
15、计意图】例 3 的结论有一定的实用价值，结合我 们杭州 市的实际情况设置逆向思维的问题，激发学生进一步探究的兴趣。 进一步拉近数学与我们生活的距离，让学生真实感受到数学来源于生活，生活中就有数学。 环节四、 课堂小结 【处理方式】 让学生谈谈本节课的收获。 【设计意图】 培养学生的归纳能力 。 环节五、 作业布置 【处理方式】 “课堂过关检测”以 Flash 形式放在学校网站上供学生下载练习。 【设计意图】发挥信息技术潜在的优势， 及时巩固所学知识 。 八 、教学评价 纵观整个教学过程，我不 断地为学生提供开放性思考及合作探究等活动，让学生在整个教学过程中充分发挥他们的主动作用；同时，在教学过程中，我恰当地设置问题，并巧妙地启发学生参与到问题中进行思考和探究，让学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题和解决问题，从而培养学生的创新精神和实践能力 ，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，它是认识和解决我们生活工作中问题的有力武器。同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力，增强了他们对数学的理解和应用数学的信心。
