1、毕业论文 文客久久网 本科 毕业论文 (设计 ) 题 目： Banach 空间中有限族严格伪压缩映像的隐迭代序列的收敛性问题 学 院： 学生姓名： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 指导教师： 起 止 日期： 毕业论文 文客久久网 摘要 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分 , 它在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 目前有关非线性算子不动点的迭代逼近的研究是近年来非线性分 析理论的非常活跃的研究热点问题 . 其中严格 伪压缩映像是一类非常重
2、要的非线性映像 . 本文将主要通过 构造有限族严格伪压缩映像的 Mann型 迭代序列和 Ishikawa型 迭代序列 来研 究在 Banach 空间框架下的有限族严格伪压缩映像的隐迭代序列的收敛性问题 . 全文共分 四章 , 第一章前言介绍了 非线性算子不动点理论和迭代算法 的简况 以 及本文的主要工作 . 第 二章 研究 了 Banach 空间框架下有限族严格伪压缩映像的 Mann 型 迭代问题和 Ishikawa 型 迭代问题 . 第 三 章研究了 Banach 空间框架下有限族严格伪压缩映像的具 有误差的 Mann 型 迭代问题和具有误差的 Ishikawa 型 迭代问题 . 第 四 章
3、总结了本文的主要工作 . 关键词 : 严格 伪压缩映像 ; Mann 型 迭代序列 ; Ishikawa 型 迭代序列 ; 具有误差的 Mann 型 迭代序列 ; 具有误差的 Ishikawa 型 迭代序列 毕业论文 文客久久网 The convergence of implicit iterative process for a finite family of strictly pseudocontractive mappings in Banach spaces Abstract Nonlinear operator equations are belong to the fields
4、of the nonlinear functional analysis, and have wide applications in the fields of the differential equations, integral equations, mechanics, control theory, game theory, economic equilibrium theory, transportation, social and economic models and many other aspects. At present, the study of iterative
5、 approximation of fixed points for nonlinear operators is a very active question in nonlinear functional analysis. And strictly pseudocontractive mappings are a very important class of nonlinear mappings. In this thesis, the convergence of implicit iterative process for a finite family of strictly p
6、seudocontractive mappings are considered in Banach spaces by giving the Mann iterative processes and the Ishikawa iterative processes. This thesis includes four chapters. In chapter 1, the history of fixed points of nonlinear operator and iterative algorithms are recalled, a summary of this work are
7、 given. In chapter 2, the convergence of implicit iterative process for a finite family of strictly pseudocontractive mappings are discussed in Banach spaces by giving the Mann iterative processes and the Ishikawa iterative processes. In chapter 3, the convergence of implicit iterative process for a
8、 finite family of strictly pseudocontractive mappings are considered in Banach spaces by giving the Mann iterative processes with errors and the Ishikawa iterative processes with errors. In chapter 4, a summary of this thesis are given. Keywords: Strictly pseudocontractive mappings; Mann iterative p
9、rocesses; Ishikawa iterative processes; Mann iterative processes with errors; Ishikawa iterative processes with errors 毕业论文 文客久久网 目录 摘要 . I Abstract . II 1 前言 . 1 2 有限族严格伪压缩映像的 Mann 型和 Ishikawa 型迭代序列收敛性 . 3 2.1 引言与预备知识 . 3 2.2 有限族严格伪压缩映像的 Mann 型迭代序列收敛性 . 5 2.3 有限族严格伪压缩映像的 Ishikawa 型迭代序列收敛性 . 8 3 有限族
10、严格伪压缩映像的具有误差的 Mann 型和 Ishikawa 型迭代序列收敛性 . 13 3.1 预备知识 . 13 3.2 有限族严格伪压缩映像的具有误差的 Mann 型 迭代序列收敛性 . 14 3.3 有限族严格伪压缩映像的具有误差的 Ishikawa 型 迭代序列收敛性 . 18 4 小结 . 24 参考文献 . 25 致谢 . 27 毕业论文 文客久久网 1 前言 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分 , 它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分 , 而且在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论
11、, 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 因此 , 研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 而非线性算子方程 的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题 . 自 20 世纪初著名的 Banach 压缩映像原理 1 和 Brouwer 不动点定理 2 问世以来 , 特别是最近二三十年来 , 由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力 , 这门学科的理论及应用的研究已取得重要的进展 , 并且日趋完善 . 非线性算子的类型很多 , 包括压缩映像 , 非扩张映像 , 严格伪压缩映像 , 伪压缩映像 , 渐近非扩张映像 ,
12、 渐近伪压缩映像等等 . 其中最简单的一类映像是压缩映像 . 压缩映像的不动点问题 , 即著名的 Banach压缩映像原理已经由 Banach在 1992年用 Picard迭代证明了 , 其中 Picard 迭代序列格式定义如下 : 01, , 0.nnxKx Tx n 其中 E 是 Banach 空间 , K 是 E 的闭凸子集 . 非扩张映像 3 是压缩映像的推广 , 其定义为 设 E 为一个实 Banach 空间 , K 是 E 的一个 非空闭凸子集 , 自映像 :T K K , T 称为非扩张映像 , 如果 , x y K, 有 | | yxTyTx . Banach 压缩映像原理证明
13、中所用的 Picard 迭代方法对于非扩张映像却未必是收敛的 , 之后 Mann 4 受到 Banach 压缩映像原理的启发 , 在 1953 年 , Mann 引进了如下迭代方法 , 称为Mann 迭代格式 : 01,(1 ) , 0.n n n n nxKx x T x n 其中 E 是 Banach 空间 , K 是 E 的闭凸子集 , 0,1n . 对于非扩张映像我们可以利用 Mann 迭代序列得到弱收敛定理 , 而要想得到强收敛定理却要加上一定的紧性条件 . 毕业论文 文客久久网 1974 年 , Ishikawa5 提出了比 Mann 迭代序列更一般的形式 , 即 Ishikawa
14、 迭代序列 : 01,(1 ) , 0 ,(1 ) , 0 .n n n n nn n n n nxKx x T y ny x T x n 其 中 K 是 Banach 空间 E 的闭凸子集 , , 0 , 1nn . 相比于 Mann 迭代序列 , Ishikawa 迭代序列更为一般化且包含了 Mann 迭代序列 , 同时在一定条件下 Ishikawa 迭代可以用于逼近 Lipschitz 伪压缩映像的不动点 , 而 Mann 迭代却无法收敛到它的不动点 , 但是 在一般情况下 , 无论是 Mann 迭代序列还是 Ishikawa 迭代序列都仅仅有弱收敛 . 因此 , 近年来很多专家学者致力
15、于修正的 Mann 迭代序列和修正的 Ishikawa 迭代序列 , 从而在没有对算子外加其他限制的条件下 , 对非扩张映像等获得强收敛定理 . 1976 年 , Browder 和 Petryshyn6 介绍了另一种重要的非线性算子 严格伪压缩映像 , 它是非扩张映像的一个推广 , 严格伪压缩映像已经被许多学者研究过 . 1977 年 , Hicks 和 Kubicek 7 在 Hilbert 空间中 , 研究了严格伪压缩映像的 Mann 迭代序列的收敛性问题 , 在文献 8中 , Xu 和 Ori 介绍了下列隐迭代序列 1(1 ) , 1 .n n n n n nx x T x n 利用这
16、个隐迭代序列 , M.O.Osilike 9 证明了在 Hilbert 和 Banach 空间中严格伪压缩映像的强弱收敛定理 . 2001 年 , M.O.Osilike10 证明了严格伪压缩映像是 L-Lipschitzian 的且连续 . 1995 年 , Liu 11 首次引入并研究了具有误差的 Ishikawa 迭代序列 . 2004 年 , 姚永红和陈汝栋 12 通过使用新的分析技巧 , 进一步研究了一致凸 Banach空间中 Ishikawa迭代格式的强收敛定理 . 2005 年 , 苏永福 13 证明了在 Hilbert 空间中严格伪压缩映像族的隐格式迭代逼近公共不动点的钝角原理
17、 . 所得结果推广了对于非扩张映像得到的结论 . 目前 , 已有许多学者 (见文献 1416)在各种条件下对严格伪压缩映像研究了 Mann 迭代序列及具有误差的 Ishikawa 迭代序列强收敛性问题 . 本文将主要通过 构造有限族严格伪压缩映像的 Mann 型 迭代序列和 Ishikawa 型 迭代序列 , 以及具有误差的 Mann 型 迭代序列和具有误差 的 Ishikawa 型 迭代序列 来研 究在 Banach 空间框架下的有限族严格伪压缩映像的隐迭代序列的收敛性 . 毕业论文 文客久久网 2 有限族严格伪压缩映像的 Mann 型和 Ishikawa 型迭代序列收敛性 2.1 引言与预
18、备知识 严格伪压缩 映像是非扩张映像的推广 . 近几十年来 , 关于 严格伪压缩 映像的收敛问题已经被许多学者所研究 , 并构造了一些迭代序列来研究其收敛性 . 1977 年 , Hicks 和 Kubicek 7 在Hilbert 空间中 , 研究了严格伪压缩 映像的 Mann 迭代序列的收敛性问题 . 2001 年 , Xu 和 Ori 介绍了下列隐迭代序列 1(1 ) , 1 .n n n n n nx x T x n 利用这个隐迭代序列 , M.O.Osilike 9 证明了在 Hilbert 和 Banach 空间中严格伪压缩映像的强弱收敛定理 . 2004 年 , 姚永红和陈汝栋
19、12 通过使用新的分析技巧 , 进一步研究了一致凸 Banach空间中 Ishikawa 迭代格式的 强收敛定理 . 2010 年 , 田明和邸兰云在文献 15中给出了一种求解严格伪压缩非自身映像不动点集上变分不等式的迭代算法 , 并证明了其强收敛性 . 受他们思想的启发 , 本章的主要工作是通过构造 有限族严格伪压缩 映像的 Mann 型迭代序列 和 Ishikawa 型 迭代 序列 来 研究在 Banach 空间框架下有限族严格伪压缩映像 的 强 收敛 定理 . 以下是本章证明中所要用到的定义及引理 . 定义 2.1 2 设 *E 是 E 的共轭空间 , , 表示 E 和 *E 的广义对偶
20、序对 . 称 *2: EEJ 是正规对偶映射 , 若 J 满足下式 * 2 2( ) | , | | | | , .J x f E x f x f x E 如果 E 是一致光滑的 , 那么 J 是单值的且在 E 中每一个有界子集上一致连续 , 用 j 来表示单值对偶映射 . 定义 2.217 设 K 是实 Banach 空间 E 的一闭子集 , :T K K 是一个映像 , T 称为是半紧的 , 如果对 K 中任意有界序列 nx 满足 0 ( ) ,nnx Tx n 则存在一个子列 ,innxx 使得 .inx x K 定义 2.3 10 设 E 为一个实 Banach 空间 , K 是 E
21、的一个非空闭凸子集 , 自映像:T K K 称为 L-Lipschitz 的 , 如果存在一实数 0,L ,x y K有 | | yxLTyTx . 定义 2.4 10 设 T 在 E 中的定义域和值域分别为 ()DT 和 ()RT , T 称为毕业论文 文客久久网 Browder-Petryshyn 型 的 严 格 伪 压 缩 映 像 , 如 果 对 所 有 的 , ( ).x y DT 存在(0 , 1 ) , ( ) ( )k j x y J x y 使得 22, ( ) ( ) ,T x T y j x y x y k x y T x T y 如果 I 表示恒等算子 , 可以写成如下形
22、式 2( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) .I T x I T y j x y k I T x I T y 由上式有 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,k x y T x T y x y T x T y j x y ( ) ( ) ( ) ,k Tx Ty x y k x y Tx Ty x y 即 ,Tx Ty L x y 其中 1.kL k 则严格伪压缩映像是 L-Lipschitzian 的且连续 . 定义 2.5 设 K 是 Banach 空间 E 的闭凸子集 , 0,1.n 则下面的序列称为 Mann 型迭代序列 : 01,(1 ) , 0.n n n n n nx
23、Kx x T x n 定义 2.6 设 K 是 Banach 空间 E 的闭凸子集 , , 0 , 1.nn 则下面的序列称为Ishikawa 型迭代序列 : 01,(1 ) , 0 ,(1 ) , 0 .n n n n n nn n n n n nxKx x T y ny x T x n 为了证明本文的主要结论 , 我们需要下列引理 . 引理 2.118 设 E 是一实 Banach 空间 , J 是正规对偶映像 , 则对任意给定的 ,xy E 有 22 2 , ( ) , ( ) ( ) .x y x y j x y j x y J x y 引理 2.219 设 ,nnna b c 是三个
24、非负实序列满足下列条件 : 10(1 ) , ,n n n na b a c n n 其中 0n 是非负整数 , 00, .nnnncb 则 毕业论文 文客久久网 (1) 极限 limnn a存在 . (2) 此外 , 如果存在一子列 innaa使得 0,ina 则 0( )nan . 2.2 有限族严格伪压缩映像的 Mann 型迭代序列收敛性 引理 2.3 设 E 是一实 Banach 空间 , K 是 E 的一非空闭凸子集 . 12, , , :NT T T KK是 N 个 严格伪压缩映像 , 满足1 ()N iiF F T ( 12, , , NT T T 的公共不动点集合 ). 设n
25、是 0,1中的实序列满足下列条件 : 211( ) ; ( ) .nnnni ii 设 0xK 是任意给定点 , nxK 是由下式定义的 Mann 型迭代序列 : 1(1 ) , 0 .n n n n n nx x T x n (2.1) 则有下列结论成立 : ( )lim nni x p 存在 , 对所有的 ;pF ( ) lim in f 0 .n n nnii x T x 证明 由于每个 : , 1 , 2 , ,iT K K i I N 是严格伪压缩映像 , 则有 ,x y K, 存在常数 (0,1),ik 使得 22, ( ) ( ) , ,i i i i iT x T y j x
26、y x y k x T x y T y i I 令 1min ,i N ikk 则 22, ( ) ( ) , ,i i i iT x T y j x y x y k x T x y T y i I (2.2) 设 ,pF 由 (2.1), (2.2)和引理 2.1 得 2212212 2 221( 1 ) ( ) ( )( 1 ) 2 , ( )( 1 ) 2 2 .n n n n n nn n n n n nn n n n n n n nx p x p T x px p T x p j x px p x p k x T x (2.3) 简化上述不等式 , 有 毕业论文 文客久久网 22 2
27、 21221( 1 ) 21 2 1 21 2 ,1nnn n n n nnn n n n nnkx p x p x T xx p k x T x (2.4) 其中 2 , 2 .n n n n 由条件 (),( )i ii 可得 2 0 ( ).nn n 因此存在一个自然数 0n , 使得 11 2n对所有的 0nn 成立 . 于是 , 由 (2.4)式有 2 2 212210( 1 2 ) 2( 1 ) 2 , ,n n n n n n nn n n n n nx p x p k x T xb x p k x T x n n (2.5) 其中 2.nnb 由条件 () ( )i ii 很容
28、易得到1 .nn b 这样由 (2.5)式和引理 2.2 有极限2lim nn xp 存在 , 且极限 lim nn xp 也存在 (因为 0nxp). 由于 limnn xp 存在 , 则 nx 是有界的 . 所以存在常数 2 0M , 使得 2 2nx p M, 对任意的 1.n 由 (2.5)式得到 2 2 2 211221 2 02, .n n n n n n n nn n nk x T x x p x p b x px p x p b M n n 因此 00022 2112,j j j j n jj n j nk x T x x p M b 于是 222112.n n n n n nnnk x T x x p M b (2.6) 利用1 ,nn b 由 (2.6)式得到 21 .n n n nn x T x 由于1 ,nn 则 lim in f 0 .n n nn x T x 这样就完成了引理 2.3 的证明 . 定理 2.1 设 E 是一实 Banach 空间 , K 是 E 的一非空闭凸子集 . 12, , , :NT T T KK
