1、毕业论文 文客久久网 本科 毕业论文 (设计 ) 题 目： 小波分析在经济领域的应用 学 院： 学生姓名： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 指导教师： 起 止 日期： 毕业论文 文客久久网 摘 要 在现代社会的经济运行中 , 有很多经济变量和经济指标在随着时间的变化在变化 . 在这些变化中既有周期性的因素 , 也有随机的波动 , 小波分析可以将这些不同的动因分离出来 . 小波分析技术将宏观时间序列分解为不同尺度的时间频率成分 , 从而揭示经济变量之间的相互关系 . 所以小波分析理论是在经济领域研究问题的有利 工具 . 本文第一部分介绍了研究背景和小波分析在经济领域的研究现状 . 第二部分介
2、绍了小波分析的基本理论 . 第三部分介绍了小波分析在经济数据预测的应用 . 第四部分介绍了小波分析在金融领域的具体应用 . 利用 MATLAB 软件编写仿真程序 . 关键词 :经济领域 ; 小波分析 ; MATLAB毕业论文 文客久久网 Wavelet analysis in the economic field application Abstract In the modern society of the economy, a lot of economic variables and economic indicators in as the change of time in cha
3、nge. There are both cyclical factors and random fluctuations. Wavelet analysis can isolate these different causes. Wavelet analysis technology will macro time series into different scales of time and frequency components, And reveals the relationship between economic variables. So the theory of wave
4、let analysis is a good research tool in the economic field. The first part of this text introduces the background and the research status of the Wavelet analysis in economic field. The second part introduces the basic theory of wavelet analysis. The third part introduces the wavelet analysis in econ
5、omic data to predict application. The fourth part introduces the wavelet analysis in the financial sector of the specific application. Use of MATLAB software simulation program. Keywords: Economic field; Walavet transform; MATLAB.毕业论文 文客久久网 目 录 摘 要 .I Abstract. II 1 前言 . 1 2 小波分析理论 . 4 2.1 傅里叶变换 . 4
6、 2.2 小波及连续小波变换 . 5 2.3 多分辨分析 . 6 3 基于小波分析的经济数据预测 . 8 3.1 经济数据预测的小波分析方法 . 8 3.2 模型预测的应用实例 . 10 4 小波分析在金融领域的应用 . 12 4.1 股市数据的小波分析 . 12 4.2 货币乘数的小波分析 . 13 4.3 汇率变化的小波分析 . 13 4.4 隐含波动率 的 Matlab 计算程序 . 13 5 小结 . 17 参考文献 . 18 致 谢 . 19 毕业论文 文客久久网 1 前言 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域 , 它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义 . 小波分析理论的发展开
7、始于 19 世纪 80 年代中期 , 并迅速成为应用数学和工程技术领域的研究热点 . 1910 年 Haar 提出了规范正交小波基的思想 , 构造了紧支撑的正交函数系 Haar 函数系 . 直到后来的 80 年代人们才真正开始研究小波 , 1986 年 , Mallat 和 Meyer 提出了多分辨分析理论 (Multi-resolution Analysis, 简记 MRA), 为小波的构造提供了一般的途径 . 多分辨分析的思想是小波分析的核心 , 是理论和应用的结晶 小波变换的实质就是将信号投影在一簇基函数张成的空间上 . 在地震数据压缩中 , 小波分析最早的被应用 , 经过图像处理、故障
8、诊断具有传统方法不能达到现在的小波分析的结果已经渗透到自然科学、应用科学等方面 , 小波分析已成为国际研究热点 . 傅里叶分析和小波分析都是以线性变换为基础 , 由非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换 , 这种非线性小波变换处理非线性问题更为简单 . 1910 年 Haar 构造了一组 最早的规范小波正交基 . 1936 年 Paley 和 Littlewood 利用 Fourier 级数建立了二进制频率的分量分组理论思想 : 傅里叶变换的相位的变化并不影响函数的形状和大小 , 称为 L- P 理论 , 然后渐渐发展成了多分辨分析 . 1984 年法国物理学家 Morlet 在分析地震波的局部
9、性质时运用了小波的概念 . 1985 年 ,一维小波函数 (t)的存在性也被 Meyer 证明 . 1986 年 Meyer 创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数 (t), 其平移与二进制伸缩构成小波函数空间的标准正交基 . 1988年 , 比利时籍数学 家 Daubeches 发表了长达 86 页的论文 , 证明了有限的支持组正交小波基的存在性 ,结构和有限的支持组正交小波基 , 然后 , 她又发表了另一长篇论文 , 详细证明了小波变换在信号的分析系统中的应用和其时频局域化性能 , 对小波分析理论的应用和研究起到了非常重要的作用 . 1987 年 , 在法国马赛召开了第一届小波分析理论的国
10、际会议 . 1990 年日本京都的国际数学大会显示了小波分析理论的进一步发展 , 并展示了应用领域的不断扩大 . 1992 年中法首届小波分析理论研讨会在我国武汉大学展开 , 使我国小波分析的应用及研究同 世界的研究热潮并轨 . 小波分析是一门新的交叉科学 , 对它进行仿真计算、理论研究、实验分析都是很重要的 ,目前在研究所、高校开展的比较好 . 现在正在逐渐走出仿真及实验室阶段 , 向人们提供具有有用价值的小波分析技术 , 以小波作为工具的分析软件也越来越多 . 近年来 , 由于小波及小波函数的“数学显微镜”的良好的时频局部化能力以及小波基可以构成各种常用的无条件基这两个重要的性质 , 使得
11、小波分析在金融经济分析研究领域引毕业论文 文客久久网 起了高度的重视 . 并且在这些领域的应用也取得了一定的成果 . 1990 年王建忠构造了基于样条函数的 结构单一的正交小波函数 , 并讨论了多尺度分析的生成函数 , 它具有最佳局部化性质 , 同时也讨论出了相应的小波函数 . 1933年一种双正交多分辨率分析的算法由 Shensa提出 . 1997 年 Wicker hauser 等将小波变换的思想进行了更深层次的研究 , 得出了小波包算法 . 1994 年 Duhamel 和 Rioul 通过现成的各种数学算法 , 进一步研究了 Shensa 提出的双正交多分辨率分析 , 这是为了更有效地
12、实现离散和连续小波变换 , 并且给出了两种可以实现双正交变换更为方便的快速算法 . 2000 年 Unser 等讨论了 非正交多项式样条的小波变换 , 指出这种变换实现方便、完全可逆 , 且具有紧支集 . 张清华等于 1992 年提出了小波网络的概念 , 使神经网络与小波分析理论的应用相结合 . 随着小波变换的应用领域不断扩大 , 研究的深入发展 , 必将进一步促进小波分析理论的研究与应用 . 近年来 , 国内外的学者们把小波分析方法应用在金融和经济学上 , 将经济时间序列由单纯的相域分析扩展到了频域与相域共同分析 , 小波分析方法作为一种经济的信号分析方法 , 可以被作为观察时间序列的一个显
13、微镜 . 在经济运行中有很多经济指标和经济变量随着时间在变化 . 在这些变化中 , 既有随机的扰动 , 也有周期性的因素 . 小波分析可以将这些不同的动因分离出来 . 小波分析技术将宏观的时间序列分解成不同的尺度的时间频率成分 , 并且揭示了经济变量之间的相互关系 . 货币乘数、股价指数以及国际市场汇率的波动是人们在金融领域中较为关注的问题 . 用小波分析理论构建的非线性时间序列模型 , 能在复杂的金融财务数据中找出规律并作出预测 . 在金融领域中 Ramsey 等最先把小波分析理论用于股市数据的分析 , 小波分析与数量经济模型的结合可以用于经济和金融中的许多领域 . 小波理论是一个新兴的数学
14、 思想的变换理论 , 而将小波分析用于经济时间序列更是一个较为崭新的研究方法 , 该方法将原来的经济时间序列扩展到了频域与相域的二维空间 , 深化了时间序列的频率特点 . 本文所进行的描述充分说明了小波分析方法是研究经济领域客观规律的有效方法 , 拓展了经济金融数据的研究领域 , 为经济金融发展规律的研究提供了新的视角 . 杜世光、张桥云利用墨西哥帽型小波对中国 19942005 年季度法定准备金率和货币乘数进行小波变换 , 定性的阐述了二者之间的内在结构关系 : 超额的准备率下降是由于提高了法定准备金率 , 而超额准备率的下降会 产生两个方面的作用 : 货币乘数减少是由于现今比率的增加 ;
15、另一方面货币乘数增大是由于储蓄存款比率的增加 . 在 1994 2005 年间该研究发现 :在 1994 2005 年间 , 提高法定准备率会使在中长期降低货币乘数 . 王佳星、金秀、刘烨 , 采用小波分析的方法研究中国沪深两市 A,B 股市场之间的相关性 , 利用小波函数的不同持有期与多尺度变化相对应 , 将中国沪深两市 A,B股市场之间的相毕业论文 文客久久网 关系数进行了多尺度的分解 , 结果表明 : B 股股价的波动性明显高于 A 股股价 , 随着时间尺度的增强 , 股价波动性和小波方差逐渐减少 ; 构成中国 A 股市场的深市与沪市、 B 股市场的沪市与深市的相关一致性要比 A,B 股
16、市场间的相关一致性高 ; 利用小波分析方法可以对不同的市场的相关时变性进行研究 , 并且可从相关的角度研究两个市场之间的分割性 . 徐梅等探讨了基于小波方差的金融波动的长记忆过程 , 对沪、深两市综合指数收益波动的相关性进行分析 . 分析表明大尺度下的整体相关性比小尺度下的整体相关性要强 , 这一结论对组合投资者来说很有意义 , 因为相关性越低 , 风险分散性越好 , 所以选时间存续期短的产品风险比存续期长的风险要小 . 本文的结构如下 : 第一章为前 言部分 , 介绍了小波分析的研究背景和小波分析在经济领域的研究现状 . 第二章介绍了小波分析理论、傅里叶变换、小波变换及多分辨分析 . 第三章
17、介绍了小波分析理论在经济数据预测中的分析方法和应用实例 . 第四章阐述了小波分析在金融领域的应用和基本算法 . 第五章阐述了本文的结论 , 阐述了小波分析的发展趋势 .毕业论文 文客久久网 2 小波分析理论 2.1 傅里叶变换 1807 年 , 由的法国物理数学家傅立叶 (Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830), 提出任意一个周期为 (2 )T 的函数 , 都可以用三角级数表示 : ()ft iktkk Ce 011c o s s in2 kkkka a kt b kt(1) 201 ( ) ,2 ik t ik tkC f t e d t f e
18、(2) k k ka C C ()k k kb i C C (3) 对于离散的时程 ft , 即 N 个离散的测点值 , 0 ,1, 2 . 1,mf m NT 为测量时间 : 1 12010 221( ) ( c o s s in ) c o s22 kN N itk k k k N N kkkaf t a t b t a t C e (4) 其中 1022c o s , 0 , 1 , 2 , . . . , 2Nkmmk m Na x kNN (5) 1022si n , 1 , 2 , . . . , 12Nkmmk m Nb x kNN (6) 1 ( 2 / )01 , 0 , 1
19、 , 2 , . . . , 1N i k m NkmmC x e k NN (7) 2,k kTtN t N (8) 当 T 时 , 化为傅里叶积分（即 Fourier 变换） : ( ) ( ) ,i t i tf f t e d t f e (9) 1( ) ( )2 itf t f e d (10) 毕业论文 文客久久网 尽管 Fourier 分析对数学、物理及信号处理等领域产生了深远的影响 , 但对于大多数应用来说是很不够的 . 对于相对高频谱的信息 , 时间间隔要相对小 , 这样就能给出比较好的精度 , 而对于相对低频谱的信息 , 时间间隔要相对宽 . 这 样就能给出完全的信息 .
20、 这需要一个灵活的变量时频窗口 , 使在高 “中心频率 “时自动变宽 , 也就是说 , Fourier 变换不能作局部分析 , 小波分析正是为了克服 Fourier 变换的这些缺点而提出来的 . 2.2 小波及连续小波变换 2.2.1 小波函数及特点 定义 1: 设 t 为一平方可积函数 , 即 2t L R , 若其 Fourier 变换 满足可容许性条件 2Rd (11) 则称 t 为一个基本小波或小波母函数 . 将 t 进行伸缩和平移 , 设其伸缩因子为 a , 平移因子为 , 令其伸缩平移后的函数为 ,a t ，则有 12,a tta a 0,aR (12) 称之为依赖参数 ,a 的小
21、波基函数 . 若 定 义小 波 母函 数 t 窗 口 宽度 为 t , 窗口 中心 为 0t , 则相 应 可 求得 , 1a tt aa 的窗口中心为 ,0at at , 窗口宽度为 ,at at, 同样 , 设 为 t 的 Fourier 变换 , 其频域窗口中心为 0 , 窗口宽度为 , 设 ,a t 的Fourier 变换为 ,a,则有 12,a a e a (13) 所以 , 其频域窗口中心为,01a a, 窗口宽度为, 1a a , 可见连续小波,a t 的 时 、 频 域 窗 口 中 心 及 宽 度 均 随 尺 度 a 的 变 化 而 伸 缩 . 窗口面积毕业论文 文客久久网 ,
22、 1aat a t ta 不随参数 ,a 而变化 . 在任何 值上 , 小波的时频域窗口大小 t 和 都随频率 的变化而变化 . 这克服了 Gabor 变换中窗口大小不随 时间变化而变化的缺点 ., 并由此可看出尺度的倒数 1a 在一定意义上对应于频率 , 即尺度如果相对小 , 对应频率越高 , 尺度如果相对大 , 对应频率越低 . 如果我们把尺度的定义理解成时间窗口 , 则小尺度信号为短时间信号 , 大尺度信号为长时间信号 , 这一点同时频分布的自然规律是相符的 . 2.2.2 连续小波变换 将任意 2LR空间中的函数 ft在小波基下进行展开 , 称这种展开为函数 ft的连续小波变换 , 其
23、表达式为 , 1,fa R tW T a f t t f t d taa , 逆变换为 ,201 ,fadaf t W T a t dCa ,2011,fada W T a t dCa a (14) 其中 20aC daa , 即对 t 提出容许条件 . 2.3 多分辨分析 多分辨率分析又称多尺度分析 , 这种理论是建立在函数空间上的 , 但其思想的形成由工程得到 , 这套理论是 Mallet 在研究图象处理问题时建立的 . 当时人们研究图象问题的一种最普通的方法是将图象在不同尺度下分析并将结果进行对比 , 为了取有效的信息 . Meyer 正交小波基的提出使得 Mallet 想到图象是否可以用正交小波基的多尺度特性展开 , 以得到图象不同尺度之间的信息增量 , 从而使得多分辨率分析理论的建立 . 任何小波 , 都产生 2LR的一种直接和分解公式 : 21 0 1 .jjZL R W W W W LL(15) 对于每个 jZ , 我们考虑 2LR的闭子空间 21 ,j j jV W W j Z L (16) 这些子空间具有下述性质 :
