1、第3章 随机过程,随机过程的基本概念平稳、高斯、窄带过程的统计特性正弦波加窄带高斯过程的统计特性随机过程通过线性系统高斯白噪声和带限白噪声,本章内容,第3章 随机过程,3.1,随机过程 de 基本概念, 所有样本函数 的集合, 随机变量 的集合,t,t1,t2,定义：,兼有 随机变量 时间函数 的特点,属性：,分布函数数字特征,特性描述：,-何谓随机过程？,一维分布函数,一维概率密度函数,3.1.1 随机过程的分布函数,二维分布函数,二维概率密度函数,-描述孤立时刻的统计特性,-描述内在联系和全部特征,维数 n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分！,n 维分布函数,n 维概率密度函数,-摆
2、动中心,方差,-偏离程度,当 a(t)=0 时：,- t 的确定函数,均值,-描述随机过程的主要特性,3.1.2 随机过程的数字特征,令 ， 则有：,互相关函数,自相关函数,-同一过程的关联程度,-两个过程的关联程度,3.2,平稳 随机过程,狭义平稳,随机过程的统计特性与时间起点无关。,一维分布则与时间t 无关： 二维分布只与间隔有关：,广义平稳,均值与时间 t 无关: 相关函数仅与 有关:,注意：,3.2.1 定义,设x(t) 是平稳过程的任一个实现，它的时间平均值为：,任一样本经历了平稳过程的所有可能状态。,遍历,注意：,意义：,含义：,3.2.2 各态历经性（遍历性）,（1）（2）（3）
3、（4）（5）,-平均功率,-直流功率,-交流功率（方差）,-偶函数,-上 界,重要性质：,3.2.3 平稳过程的自相关函数,样本的功率谱：,统计平均,过程的功率谱,-截短函数,3.2.4 平稳过程的功率谱密度（PSD）,当 =0时，有,平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换：,维纳-辛钦定理,PSD 性质：,偶函数：,非负性：,遍历过程任一样本的PSD = 过程的PSD；,自相关函数的意义？作用？,功率谱密度的意义？作用？,Q&A,设相位随机的正弦波为 其中，A和 c均为常数； 是在(0,2) 内均匀分布的 随机变量。试讨论 是否具有各态历经性。,解题思路：,第1步：判断 是否平稳，
4、即求其统计平均值,若均值为常数，且自相关函数只与时间 间隔 有关， 则 是广义平稳的。,第2步：求 的时间平均值,第3步：比较 统计平均值 和 时间平均值,若两者相等： 则各态历经。,解题过程：,数学期望:,自相关函数:,令t2 t1 = ,所以(t)是广义平稳过程。,(t)的时间平均值所以随机相位余弦波是各态历经的。,3.3,高斯随机过程,若随机过程 的任意n维（n=1,2,.）分布 都服从正态分布，则称它为高斯过程。,（1）若广义平稳，则狭义平稳； （2）若互不相关，则统计独立； （3）若干个高斯过程的代数和仍是高斯型； （4）高斯过程线性变换高斯过程。,3.3.1 定义,3.3.2 重要
5、性质,关于直线 x=a 对称,性质：,-集中程度,a-分布中心,一维概率密度函数,记为(a ，2),3.3.3 高斯随机变量,误差函数,正态分布函数,补误差函数, 自变量的 递增 函数, 自变量的 递减 函数,利用误差函数，可将F(x)表示为：,误差函数的简明特性有助于分析通信系统的抗噪声性能,意义：,3.4,平稳随机过程 通过线性系统,若输入有界且系统是物理可实现的，则有,或,设,则,若给定 的统计特性，则可求得 的统计特性：,是线性系统的直流增益；,平稳、高斯,平稳、高斯,常数,常数,是功率增益,3.5,窄带随机过程,通过窄带系统的随机信号或噪声,窄带条件：,示意图：,可视为包络缓慢变化
6、的正弦波,表达式：,包络相位形式,同相正交形式,随机包络,随机相位,同相分量,正交分量,两者关系：,若知窄带过程 (t) 的统计特性， 则可确定： 同相/正交，包络/相位的统计特性； 反之亦然。,统计特性：,根据上式和窄带过程的统计特性，可推出：,均值 0、方差 的平稳高斯窄带过程 ，它的,并且,互不相关,统计独立,高斯,均值 0,平均功率相同,且 均值为0，方差也相同：,3.5.1 同相和正交分量的统计特性,按照推导思路：,借助结论1根据关系：,3.5.2 包络和相位的统计特性,推出结论2：,均值0 、方差 的平稳高斯窄带过程 ，它的包络瑞利分布： 相位均匀分布： 且,-统计独立,结论2,3
7、.6,正弦波加窄带高斯过程,窄带高斯噪声 ( 0, ),合成信号：,关心-z(t) 的统计特性:,常数,随机相位在(0，2)上均匀分布,在给定条件下，利用3.5.2节的推导方法和结论2。,分析思路：,推导结果：,z(t) 广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布：,A0，即r 0时， f(z) 退化为 瑞利分布； 信噪比 r 较大时， f(z) 近似为 高斯分布。,I0(x)是零阶修正贝塞尔函数; 当 x0 时，I0(x) 单调上升，且 I0(0) =1,讨论：,莱斯分布,注：,f()不再服从均匀分布,3.7,高斯白噪声和带限白噪声,白噪声仅在=0（同一时刻）时才相关,1. 白噪声,理想的宽带过程,其功率谱密度均匀分布在整个频率范围内：,n0 -常数 (W/Hz),2. 高斯白噪声,指概率分布服从高斯分布的白噪声。,高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。,3. 带限白噪声,白噪声通过 LPF-低通白噪声,白噪声通过 BPF-带通白噪声,白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形。,常见形式：,低通白噪声,带通白噪声,若 B fc窄带高斯白噪声,总结作业P61/3-2、3-5 、3-6 、3-8,课件制作：曹丽娜,西安电子科技大学 通信工程学院,
