1、 1 第 4 讲 直线、圆的位置关系 【 2013 年高考会这样考】 1考查直线与圆相交、相切的问题能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2考查与圆有关的量的计算，如半径、面积、弦长的计算 【复习指导】 1会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系 2掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想 基础梳理 1直线与圆 的位置关系 位置关系有三种： 相离 、 相切 、 相交 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法： 判别式 b2 4ac 0相交 ； 0相切
2、 ； 0相离 .(2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系： d r相交 ， d r相切 ， d r相离 2圆与圆的位置关系的判定 设 C1： (x a1)2 (y b1)2 r21(r1 0)， C2： (x a2)2 (y b2)2 r22(r2 0)，则有： |C1C2| r1 r2 C1与 C2相离 ； |C1C2| r1 r2 C1与 C2外切 ； |r1 r2| |C1C2| r1 r2 C1与 C2相交 ； |C1C2| |r1 r2|(r1 r2) C1与 C2内切 ； |C1C2| |r1 r2| C1与 C2内含 一条规律 过圆外一点 M 可以作两条直
3、线与圆相切，其直线方程可 用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可 一个指导 2 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合， “ 代数法 ” 与 “ 几何法 ” 是从不同的方面和思路来判断的， “ 代数法 ” 侧重于 “ 数 ” ，更多倾向于 “ 坐标 ” 与 “ 方程 ” ；而 “ 几何法 ” 则侧重于 “ 形 ” ，利用了图形的性质解题时应根据具体条件选取合适的方法 两种方法 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距 (即圆心到直线的距离 )、弦长的一半及半径构成直角三角形计算 (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |A
4、B| 1 k2|xA xB| k2 xA xB 2 4xAxB. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )已知圆 (x 1)2 (y 2)2 6 与直线 2x y 5 0 的位置关系是( ) A相切 B相交但直线不过圆心 C相交过圆心 D相离 解析 由题意知圆心 (1， 2)到直线 2x y 5 0 的距离 d |21 2 5|22 1 5 6.且21 ( 2) 50 ，因此该直线与圆相交但不过圆心 答案 B 2圆 x2 y2 4x 0 在点 P(1， 3)处的切线方程为 ( ) A x 3y 2 0 B x 3y 4 0 C x 3y 4 0 D
5、 x 3y 2 0 解析 圆的方程为 (x 2)2 y2 4，圆心坐标为 (2,0)，半径为 2，点 P 在圆上，设切线方程为 y 3 k(x 1)， 即 kx y k 3 0， |2k k 3|k2 1 2，解得 k 33 . 切线方程为 y 3 33 (x 1)，即 x 3y 2 0. 答案 D 3 (2011 安徽 )若直线 3x y a 0 过圆 x2 y2 2x 4y 0 的圆心，则 a 的值为 ( ) A 1 B 1 C 3 D 3 3 解析 由已知得圆的圆心为 ( 1,2)，则 3( 1) 2 a 0， a 1. 答 案 B 4 (2012 东北三校联考 )圆 O1： x2 y2
6、 2x 0 和圆 O2： x2 y2 4y 0 的位置关系是 ( ) A相离 B相交 C外切 D内切 解析 圆 O1的圆心为 (1,0)，半径 r1 1，圆 O2的圆心为 (0,2)，半径 r2 2，故两圆的圆心距 |O1O2| 5，而 r2 r1 1， r1 r2 3，则有 r2 r1 |O1O2| r1 r2，故两圆相交 答案 B 5 (2012 沈阳月考 )直线 x 2y 5 0 与圆 x2 y2 8 相交于 A、 B 两点，则 |AB| _. 解析 如图，取 AB 中点 C， 连接 OC、 OA. 则 OC AB， |OA| 2 2， |OC| |0 20 5|12 2 5， |AC|
7、 8 5 3， |AB| 2|AC| 2 3. 答案 2 3 考向一 直线与圆的位置关系的判定及 应用 【例 1】 (2011 东莞模拟 )若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线 (x 2)2 y2 1 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 ( ) A 3， 3 B ( 3， 3) C. 33 ， 33 D. 33 ， 33 审题视点 设出直线 l 的点斜式方程，构造圆心到直线距离与半径的关系的不等式，从而求解 解析 设直线 l 的方程为： y k(x 4)，即 kx y 4k 0 则： |2k 4k|1 k2 1. 解得： k2 13，即 33 k 33 . 4 答案 C 已知直线与圆的位
8、置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d与半径 r 的大小关系，以此来确定参数的 值或取值范围 【训练 1】 (2011 江西 )若曲线 C1： x2 y2 2x 0 与曲线 C2： y(y mx m) 0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. 33 ， 33 B. 33 ， 0 0， 33 C. 33 ， 33 D. ， 33 33 ， 解析 整理曲线 C1方程得， (x 1)2 y2 1，知曲线 C1为以点 C1(1,0)为圆心，以 1 为半径的圆；曲线 C2则表示两条直线，即 x 轴与直线 l： y m(x 1)，显然 x 轴与圆 C1有两个交点，知直
9、线 l 与 x 轴相交，故有圆心 C1到直线 l 的距离 d |m 0|m2 1 r 1，解得 m 33 ，33 ，又当 m 0 时，直线 l 与 x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去故选 B 答案 B 考向二 圆与圆的位置关系的判定及应用 【例 2】 若圆 x2 y2 4与圆 x2 y2 2ay 6 0(a 0)的公共弦的长为 2 3，则 a _. 审题视点 两圆方程相减 得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形解得 解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (x2 y2 2ay 6) (x2 y2) 0 4y 1a，又 a 0，结合图象，再利用半径、弦长
10、的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a22 3 2 1a 1. 答案 1 当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二 次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长 【训练 2】 (2011 济南模拟 )两个圆： C1： x2 y2 2x 2y 2 0 与 C2： x2 y2 4x 2y 1 0 的公切线有且仅有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析 由题知 C1： (x 1)2 (y 1)2 4，则圆心 C1( 1， 1)， C2： (x 2)2 (y 1)2 4，圆心 C2(2,1)，两圆半径
11、均为 2，又 |C1C2| 2 2 13 4，则两圆相交只有两条外公切线，故选 B. 答案 B 5 考向三 直线与圆的综合问题 【例 3】 (2012 福州调研 )已知 M： x2 (y 2)2 1， Q 是 x 轴上的动点， QA， QB 分别切 M 于 A， B 两点 (1)若 |AB| 4 23 ，求 |MQ|、 Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程； (2)求证：直线 AB 恒过定点 审题视点 第 (1)问利用平面几何的知识解决；第 (2)问设点 Q 的坐标，从而确定点 A、 B的坐标与 AB 的直线方程 (1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P，则 |AP| 23 2，又 |AM|
12、1， AP MQ， AM AQ，得 |MP| 12 89 13， 又 |MQ| |MA|2|MP|， |MQ| 3. 设 Q(x,0)，而点 M(0,2)，由 x2 22 3，得 x 5， 则 Q 点的坐标为 ( 5， 0)或 ( 5， 0) 从而直线 MQ 的方程为 2x 5y 2 5 0 或 2x 5y 2 5 0. (2)证明 设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A、 B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程为x(x q) y(y 2) 0，而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx 2y 3 0，所以直线 AB 恒过定点 0， 32 . 在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑
13、平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的 半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错 【训练 3】 已知点 P(0,5)及圆 C： x2 y2 4x 12y 24 0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程； (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 解 (1)如图所示， |AB| 4 3，设 D 是线段 AB 的中点，则 CD AB， |AD| 2 3， |AC| 4.C 点坐标为 ( 2,6)在 Rt ACD 中，可得 |CD| 2. 6 设所求直线
14、 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为： y 5 kx，即 kx y 5 0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式： | 2k 6 5|k2 2 2，得 k 34.又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x 0. 当 k 34时，直线 l 的方程为 3x 4y 20 0. 所求直线 l 的方程为 x 0 或 3x 4y 20 0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x， y)，则 CD PD， 即 CD PD 0， (x 2， y 6)( x， y 5) 0， 化 简 得 所 求 轨 迹 方 程 为 x2 y2 2x 11y 30 0. 难点突破 20 高考中与圆交汇
15、问题的求解 从近两年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高了，因此也就成了高考命题的一个新热点由于圆的特有性质，使其具有很强的交汇性，在高考中圆可以直接或间接地综合出现在许多问题之中，复习备考时值得 重视 一、圆与集合的交汇 【示例】 (2011 江苏 )Ax， y m2 x 2 y2 m2， x， y R ， B (x，y)|2m x y2 m 1， x， y R若 A B ，则实数 m 的取值范围是 _ 二、圆与概率的交汇 【示例】 (2011 湖南 )已知圆 C： x2 y2 12，直线 l： 4x 3y 25. 7 (1)圆 C 的圆心到 直线 l 的距离为 _； (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 _ 三、圆与圆锥曲线交汇 【示例】 (2010 陕西 )已知抛物线 y2 2px(p 0)的准线与圆 (x 3)2 y2 16 相切，则 p的值为 ( ) A.12 B 1 C 2 D 4
