1、 1 第 4 讲 指数与指数函数 【 2013 年高考会这样考】 1考查指数函数的图象与性质及其应用 2以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用 3以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小 【复习指导】 1熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重 2本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质重点解决： (1)指数幂的运算； (2)指数函数的图象与性质 . 基础梳理 1根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n 1 且， n N*)，那么这个数叫做
2、 a 的 n 次方根也就是，若xn a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1 且 n N*.式子 n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 (2)根式的性质 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时， a 的 n次方根用符号 n a表示 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 n a表示，负的 n 次方根用符号 n a表示正负两个 n 次方根可以合写为 n a(a 0) n a n a. 当 n 为奇数时， n an a； 当 n 为偶数时， n an |a| a a a
3、a . 负数没有偶次方根 2有理数指 数幂 (1)幂的有关概念 正整数指数幂： an a a an个 (n N*)； 2 零指数幂： a0 1(a0) ； 负整数指数幂： a p 1ap(a0 ， p N*)； 正分数指数幂： amn n am(a 0， m、 n N*，且 n 1)； 负分数指数幂： a mn 1amn 1n am(a 0， m、 n N*且 n 1) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 aras ar s(a 0， r、 s Q) (ar)s ars(a 0， r、 s Q) (ab)r arbr(a 0， b 0， r Q)
4、3指数函数的图象与性质 y ax a 1 0 a 1 图象 定义域 R 值域 (0， ) 性质 过定点 (0,1) x 0 时， 0 y 1 x 0 时， y 1. 在 ( ， ) 上是减函数 当 x 0 时， 0 y 1； 当 x 0 时， y 1； 在 ( ， ) 上是增函数 一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按： 0 a 1 和 a 1 进行分类讨论 (2)换元时注意换元后 “ 新元 ” 的范围 3 三个
5、关键点 画指数函数 y ax(a 0，且 a1) 的图象，应 抓住三个关键点： (1， a)， (0,1)， 1， 1a . 双基自测 1 (2011 山东 )若点 (a,9)在函数 y 3x的图象上，则 tana6 的值为 ( ) A 0 B. 33 C 1 D. 3 解析 由题意有 3a 9，则 a 2， tan a6 tan 3 3. 答案 D 2 (2012 郴州五校联考 )函数 f(x) 2|x 1|的图象是 ( ) 解析 f(x) 2x 1， x1 ，12x 1， x1， 故选 B. 答案 B 3若函数 f(x) 12x 1，则该函数在 ( ， ) 上是 ( ) A单调递减无最小值
6、 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值 解析 设 y f(x)， t 2x 1， 则 y 1t， t 2x 1， x ( ， ) t 2x 1 在 ( ， ) 上递增，值域为 (1， ) 因此 y 1t在 (1， ) 上递减，值域为 (0,1) 答案 A 4 (2011 天津 )已知 a 5log23.4， b 5log43.6， c 15 log30.3，则 ( ) A a b c B b a c C a c b D c a b 4 解析 c 15 log30.3 5 log30.3 5log3103 ， log23.4 log22 1， log43.6 log44 1
7、， log3103 log33 1， 又 log23.4 log2103 log3 103 ， log2 3.4 log3 103 log4 3.6 又 y 5x是增函数， a c b. 答案 C 5 (2012 天津一中月考 )已知 a12 a 12 3，则 a a 1 _； a2 a 2 _. 解析 由已知条件 (a12 a 12)2 9.整理得： a a 1 7 又 (a a 1)2 49，因此 a2 a 2 47. 答案 7 47 考向一 指数幂的化简与求值 【例 1】 化 简下列各式 (其中各字母均为正数 ) (1)a23 b 1 12 a 12 b136 a b5； (2)56a1
8、3 b 2( 3a 12b 1)(4 a23 b 3)12. 审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键 解 (1)原式a 13b12 a 12b13a16b56 a 13 12 16 b12 13 56 1a. (2)原式 52a 16b 3(4 a23 b 3)12 54a 16b 3 a13b 32 54a 12 b 32 54 1ab3 5 ab4ab2 . 化简结果要求 5 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数 幂，也不能既有分母又有负指数幂 【训练 1】 计算： (1
9、)0.027 13 17 2 279 12 ( )2 1 0； (2) 14 12 4ab 1 30.1 2 a3b 3 12. 解 (1)原式 271 000 13 ( 1) 2 17 2 259 12 1 103 49 53 1 45. (2)原式4124 32100 a32 a32 b32 b32425a0 b0 425. 考向二 指数函数的性质 【例 2】 已知函数 f(x) 1ax 1 12 x3(a 0 且 a1) (1)求函数 f(x)的定义域； (2)讨论函数 f(x)的奇偶性； (3)求 a 的取值范围，使 f(x) 0 在定义域上恒成立 审题视点 对解析式较复杂的函数判断其
10、奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决 解 (1)由于 ax 10 ，且 ax1 ，所以 x0. 函数 f(x)的定义域为 x|x R，且 x0 (2)对于定义域内任意 x，有 f( x) 1a x 1 12 ( x)3 ax1 ax12 ( x)3 1 1ax 112 ( x)3 1ax 1 12 x3 f(x)， f(x)是偶函数 (3)当 a 1 时，对 x 0，由指数函数的性质知 ax 1， ax 1 0， 1ax 1 12 0. 6 又 x 0 时， x3 0， x3 1ax 1 12 0， 即当 x 0 时， f(x) 0. 又由 (2)知 f(x)为偶函数，即 f( x)
11、f(x)， 则当 x 0 时， x 0，有 f( x) f(x) 0 成立 综上可知，当 a 1 时， f(x) 0 在定义域上恒成立 当 0 a 1 时， f(x) ax x3ax . 当 x 0 时， 1 ax 0， ax 1 0， ax 1 0， x3 0，此时 f(x) 0，不满足题意； 当 x 0 时， x 0， f( x) f(x) 0，也不满足题意 综上可知，所求 a 的取值范围是 a 1. (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用 f( x) f(x)， f xf x 来判断 (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立
12、问题的常用方法 【训练 2】 设 f(x) e xa ae x是定义在 R 上的函数 (1)f(x)可能是奇函数吗？ (2)若 f(x)是偶函数，试研究其在 (0， ) 的单调性 解 (1)假设 f(x)是奇函数，由于定义域为 R， f( x) f(x)，即 exaaex e xa ae x ， 整理得 a 1a (ex e x) 0， 即 a 1a 0，即 a2 1 0 显然无解 f(x)不可能是奇 函数 (2)因为 f(x)是偶函数，所以 f( x) f(x)， 即 exaaexe xa ae x， 整理得 a 1a (ex e x) 0， 又 对任意 x R 都成立， 有 a 1a 0，
13、得 a 1. 当 a 1 时， f(x) e x ex，以下讨论其单调性， 任取 x1， x2 (0， ) 且 x1 x2， 7 则 f(x1) f(x2) ex1 e x1 ex2 e x2 x1 ex2 x1 x2ex1 x2， x1， x2 (0， ) 且 x1 x2， ex1 x2 1， ex1 ex2 0， ex1 x2 1 0， f(x1) f(x2) 0，即 f(x1) f(x2)， 函数 f(x) e xa ae x， 当 a 1 时在 (0， ) 为增函数， 同理，当 a 1 时， f(x)在 (0， ) 为减函数 考向三 指数函数图象的应用 【例 3】 (2009 山 东
14、)函数 y ex e xex e x的图象大致为 ( ) 审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性 解析 y e2x 1e2x 1 12e2x 1，当 x 0 时， e2x 1 0 且随着 x 的增大而增大，故 y 1 2e2x 1 1 且随着 x 的增大而减小，即函数 y 在 (0， ) 上恒大于 1 且单调递减，又函数 y 是奇函数，故选 A. 答案 A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数 y ax 1ax 1，y ex e x2 ， y lg(10x 1)等 【训练 3】 已知方程 10x 10 x， lg x x 10 的实数解分别为
15、和 ，则 的值是 _ 解析 作函数 y f(x) 10x， y g(x) lg x， y h(x) 10 x 的图象如图所示，由于 yf(x)与 y g(x)互为反函数， 它们的图象是关于直线 y x 对称的又直线 y h(x)与 yx 垂直， y f(x)与 y h(x)的交点 A 和 y g(x)与 y h(x)的交点 B 是关于直线 y x 对称的而 y x 与 y h(x)的交点为 (5,5)又方程 10x 10 x 的解 为 A 点横坐标，同理，8 为 B 点横坐标 2 5，即 10. 答案 10 难点突破 3 如何求解新情景下指数函数的问题 高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、
16、新定义 、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】 (2011 福建五市模拟 )设函数 y f(x)在 ( ， ) 内 有定义对于给定的正数 K，定义函数 fK(x) f x ， f x K，K， f x K， 取函数 f(x) 2 x e x，若对任意的 x ( ， ) ，恒有 fK(x) f(x)，则 K 的最大值为 _ 二、 新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】 若 f1(x) 3|x 1| ， f2(x) 23 |x a| ， x R ，且 f(x) f1 x ， f1 x f2 x ，f2 x ， f1 x f2 x ， 则 f(x) f1(x)对所有实数 x 成立，则实数 a 的取值范围是 _ 9
