1、 1 第 2 讲 排列与组合 【 2013 年高考会这样考】 1考查排列组合的概念及其公式的推导 2考查排列组合的应用 【复习指导】 复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等 基础梳理 1排列 (1)排列的概念：从 n 个 不同 元素中，任取 m(m n)个元素 (这里的被取元素各不相同 )按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个排列 (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m(m n)个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同元素中取
2、出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示 (3)排列数公式 Amn n(n 1)(n 2)( n m 1) (4)全排列数公式 Ann n(n 1)(n 2)21 n！ (叫做 n 的阶乘 ) 2组合 (1)组合的定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组 合 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号 Cmn表示 (3)组合数公式 Cmn AmnAmmn n n n mm！ n！m！ n m ！ (n， m N*，且 m
3、 n)特别地 C0n 1. (4)组合数的性质： Cmn Cn mn ； Cmn 1 Cmn Cm 1n . 一个区别 排列与组合，排列与组合最根本的区别在于 “ 有序 ” 和 “ 无序 ” 取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合 两个公式 2 (1)排列数公式 Amn n！n m ！ (2)组合数公式 Cmn n！m！ n m ！ 利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数 解决排列组合问题可遵循 “ 先组合后排列 ” 的原则，区分排列组合问题主要是判断 “ 有序 ” 和 “ 无序 ” ，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体
4、现“ 有序 ” 和 “ 无序 ” 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍 的效果 四字口诀 求解排列组合问题的思路： “ 排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 ” 双基自测 1 8 名运动员参加男子 100 米的决赛已知运动场有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字 (如： 4,5,6)，则参加比赛的这 8 名运动员安排跑道的方式共有 (
5、) A 360 种 B 4 320 种 C 720 种 D 2 160 种 解析 本题考查排列组合知识，可分步完成，先从 8 个数字中取出 3 个连续的三个数字共有6 种可能，将指定的 3 名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的 5 个排在其他的编号的 5 个跑道上，故共有 6A33A55 4 320 种方式 答案 B 2以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有 ( ) A 200 个 B 190 个 C 185 个 D 180 个 解析 正五棱柱共有 10 个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成 C410 210 个四面体其中四点在同一平面内的有三类： (1)每一底面的五点中选四点
6、的组合方法有 2C45个 (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有 C25个 (3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行 (例如 AB E1C1)，这样共面的四点共有 2C15个 所以 C410 2C45 C25 2C15 180(个 )，选 D. 答案 D 3 (2010 山东 )某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前3 两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( ) A 36 种 B 42 种 C 48 种 D 54 种 解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法当甲排在第一位时，
7、有 A44 24 种排法，当甲排在第二位时，有 A13A 33 18 种排法，所以共有方案 24 18 42(种 )，故选 B. 答案 B 1 2 3 3 1 2 2 3 1 4.如图，将 1,2,3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有 ( ) A 6 种 B 12 种 C 24 种 D 48 种 解析 只需要填写第一行第一列，其余即确定了因此共有 A33A22 12(种 ) 答案 B 5某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安
8、排这 6项工程的不同排法种数是 _(用数字作答 ) 解析 可将 6 项工程分别用甲、乙、丙、丁、 a、 b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、 a、 b 五个元素的排列，可先排 a、 b，再排甲、乙、丙丁共 A25C33 20 种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排 a、 b，共 C35A22 20 种排法 答案 20 考向一 排列问题 【例 1】 六个人按下列要 求站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站在两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰有两人； (5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人顺序已
9、定 审题视点 根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑法、插空法等 解 (1)A25A44 480； (2)A22A55 240； 4 (3)A44A25 480； (4)A22A24A33 144； (5)A66 2A55 A44 504； (6)A36 120. 有条件的排列问题大致分四种类型 (1)某元素不在某个位置上问题， 可从位置考虑用其它元素占上该位置， 可考虑该元素的去向 (要注意是否是全 排列问题 )； 可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数 (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素 (即捆绑法 )然后与其它元素排列 (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排
10、列，然后用这些元素进行插空 (即插空法 ) (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法 【训练 1】 用 0,1,2,3,4,5 六个数字排成没有重复数字的 6 位数，分别有多少个？ (1)0 不在个位； (2)1 与 2 相邻； (3)1 与 2 不相邻； (4)0 与 1 之间恰有两个数； (5)1 不 在个位； (6)偶数数字从左向右从小到大排列 解 (1)A25A44 480； (2)A22A14A44 192； (3)A15A55 A22A14A44 408， (4)A24A12A22 A24A33 120； (5)A66 2A
11、55 A44 504； (6)A36 A35 60. 考向二 组合问题 【例 2】 某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均 不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 审题视点 “ 无序问题 ” 用组合，注意分类处理 解 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C318 816(种 )； (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C518 8 568(种 )； (3)分
12、两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418 C318 6 936(种 )； (4)法一 (直接法 )：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有 C112C48 C212C38 C312C28 C412C18 14 656(种 ) 法二 (间接法 )：由总数中减去五名都 是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C5205 (C512 C58) 14 656(种 ) 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个 (些 )元素与不含某个 (些 )元素问题；也可能遇到 “ 至多 ” 或 “ 至少 ” 等组合问题的计算，此类问题要注意
13、分类处理或间接计算，切记不要因为 “ 先取再后取 ” 产生顺序造成计算错误 【训练 2】 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门， (1)甲、乙所选的课程中 恰有 1 门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ 解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C24C12C12 24(种 ) (2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种，因此满足条件的不同 选法种数为 C24C24 C24 30(种 ) 考向三 排列、组合
14、的综合应用 【例 3】 (1)7 个相同的小球，任意放入 4 个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？ (2)计算 x y z 6 的正整数解有多少组； (3)计算 x y z 6 的非负整数解有多少组 审题视点 根据题目要求分类求解，做到不重不漏 解 (1)法一 先将其中 4 个相同的小球放入 4 个盒子中，有 1 种放法；再将其余 3 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中 ，有以下 3 种情况： 某一个盒子放 3 个小球，就可从这 4 个不同的盒子中任选一个放入这 3 个小球，有 C14种不同的放法； 这 3 个小球分别放入其中的 3 个盒子中，就相当于从 4 个不同的盒子中
15、任选 3 个盒子，分别放入这 3 个相同的小球，有 C34种不同放法； 这 3 个小球中有两个小球放在 1 个盒子中，另 1 个小球放在另一个盒子中，从这 4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有 A24种不同的方法 综上可知，满足题设条件的放法为 C14 C34 A24 20(种 ) 法二 “ 每个盒子都不空 ” 的含义是 “ 每个盒子中至少有一个小球 ” ，若用 “ 挡板法 ” ，可易得 C36 20. (2)可看做将 6 个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法转化为 6 个 0,2个 1 的排列，要求 1 不排在两端且不相邻，共有 C25 10 种排法，因此方程 x y z
16、6 有 10组不同的正整数解； (3)可看做将 6 个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为 6 个 0,2 个 1 的排列，共有 C2828 种排法，因此方程 x y z 6 有 28 组不同的非负整数解 排列与组合的根本区别在于是 “ 有序 ” 还是 “ 无序 ” ，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中，此类问题可利用 “ 挡板法 ” 求解，实质上是最终转化为组合问题 (2)6 在计算排列组合问题时，可能会遇到 “ 分组 ” 问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将 4 个元素分为两组，若一组一个、一组三个共 有 C14C33种
17、不同的分法； 而平均分为两组则有 C24C22A22 种不同的分法 【训练 3】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ (1)分成 1 本、 2 本、 3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本 解 (1)分三步：先选一本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法；对于余下的三本全选有 C33种选法，由分步乘法计数原理知有 C16C25C33 60 种选法 (2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在 (1)的基础上，还应考虑再分配
18、的问题，因此共有 C16C25C33A33 360 种选法 (3)先分三步，则应是 C26C24C22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记 6 本书为分别 A、 B、 C、D、 E、 F，若第一步取了 (AB， CD， EF)，则 C26C24C22种分法中还有 (AB、 EF、 CD)， (CD、 AB、 EF)、(CD、 EF、 AB)、 (EF、 CD、 AB)、 (EF、 AB、 CD)共有 A33种情况，而且这 A33种情况仅是 AB、 CD、EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有 C26C24C22A33 15(种 ) (4)在问题 (3)的基础上再分配，故分配方式有
19、 C26C24C22A33 A33 C26C24C22 90(种 ) 阅卷报告 16 实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误 【问题诊断】 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向 .同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题 . 【防范措施】 “ 至少、至多型 ” 问题不能利用分步计数原理求解，多采用 分类求解或转化为它的对立事件求解 【示例】 有 20 个零件，其中 16 个一等品， 4 个二等
20、品，若从 20 个零件中任意取 3 个，那么至少有 1 个一等品的不同取法有多少种？ 错因 第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复 实录 按分步原理，第一步确保 1 个一等品，有 C116种取法；第二步从余下的 19 个零件中任7 意取 2 个，有 C219种不同的取法，故共有 C116C219 2 736 种取法 正解 法一 将 “ 至少有 1 个是一等品的不同取法 ” 分三类： “ 恰有 1 个一等品 ” ， “ 恰有2 个一等品 ” ， “ 恰有 3 个一等品 ” ，由分类计数原理有： C116C24 C216C14 C316 1 136(种 ) 法二 考虑
21、其对立事件 “3 个都是二等品 ” ，用间接法： C320 C34 1 136(种 ) 【试一试】 在 10 名演员中， 5 人 能歌， 8 人善舞，从中选出 5 人，使这 5 人能演出一个由1 人独唱 4 人伴舞的节目，共有几种选法？ 尝试解答 本题中的 “ 双面手 ” 有 3 个，仅能歌的 2 人，仅善舞的 5 人把问题分为： (1)独唱演员从双面手中选，剩下的 2个双面手和只能善舞的 5个演员一起参加伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的 2 人中选拔，这样 3 个双面手就可以和只能善舞的 5 个演员一起参加伴舞人员的选拔故选法种数是 C13C47 C12C48 245.
