1、 第二十三届全国中学生物理竞赛初赛试题及答案 本卷共本题，满分 200 分 一、 (20 分，每小题 10 分 ) 1.如图所示，弹簧 S1的上端固定在天花板上，下端连一小球 A，球 A 与球 B 之间用线相连 .球 B 与球 C 之间用弹簧 S2相连 .A、 B、 C 的质量分别为 mA、 mB、 mC，弹簧与线的质量均可不计 .开始时它们都处在静止状态 .现将 A、 B 间 的线突然剪断，求线刚剪断时 A、 B、 C 的加速度 . 2.两个相同的条形磁铁，放在平板 AB 上，磁铁的 N、 S 极如图所示 .开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动 . (i)现将 AB 突然竖直向下平移
2、(磁铁与平板间始终相互接触 )，并使之停在 AB 处，结果发现两个条形磁铁碰在一起 . (ii)如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在AB 位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起 . 试定性地解释上述现象 . 二、 (20 分，第 1小题 12 分，第 2 小题 8 分 ) 1.老爷爷的眼睛是老花眼 . (i)一物体 P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚 .试在示意图1 中画出此时 P通过眼睛成像的光路示意图 . (ii)戴了一副 300 度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P，试在示意图 2 中画出 P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图 . (iii)300 度的老花镜
3、的焦距 f=_m. 2.有两个凸透镜，它们的焦距分别为 f1和 f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为 f3和 f4.已知， f1 f2 |f3| |f4|.如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为 _的透镜作为物镜，应选焦距为 _的透镜作为目镜 . 三、 (20 分，第 1小题 12 分，第 2 小题 8 分 ) 1.如图所示，电荷量为 q1的正点电荷固定在坐标原点 O处，电荷量为 q2的正点电荷固定在 x轴上，两电荷相距 l.已知 q2=2q1. (i)求在 x轴上场强为零的 P 点的坐标 . (ii)若把一电荷量为
4、q0的点电荷放在 P 点，试讨论它的稳定性 (只考虑 q0被限制在沿 x 轴运动和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况 ). 2.有一静电场，其电势 U 随坐标 x 的改变而变化，变化的图线如图 1 所示 .试在图 2 中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线 (设场强沿 x轴正方向时取正值，场强沿 x 轴负方向时取负 值 ) 四、 (20 分 )一根长为 L(以厘米为单位 )的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中，大气的压强与 H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长 L H.现把细管弯成 L 形，如图所示 .假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化 .可以
5、把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出 .当细管弯成 L形时，以 l 表示其竖直段的长度，问 l 取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值 (用水银柱的长度表示 ). 五、 (20 分 )一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子 .电子偶素中的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动 .假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件 .即 式中 n称为量子数，可取整数值 1，2， 3， ； h 为普朗克常量 .试求电子偶素处在各定态时的 r和能量以及第
6、一激发态与基态能量之差 . 六、 (25 分 )如图所示，两个金属轮 A1、 A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属轴 O1和 O2转动， O1和 O2相互平行，水平放置 .每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成， A1轮的辐条长为 a1、电阻为 R1， A2轮的辐条长为 a2、电阻为 R2，连接辐条的金属环的宽度与电 阻都可以忽略 .半径为 a0的绝缘圆盘D 与 A1同轴且固连在一起 .一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点，绳在 D 上绕足够匝数后，悬挂一质量为 m 的重物 P.当 P下落时，通过细绳带动 D和 A1绕 O1轴转动 .转动过程中， A1、 A2保持接触，无相对滑动
7、；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为 R的电阻相连 .除 R 和 A1、 A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计 .整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行 .现将 P 释放，试求P 匀速下落时的速度 . 七、 (25 分 )图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容 器的横截面，其半径为 R，圆筒的轴线在 O 处 .圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为 B.筒壁的H 处开有小孔，整个装置处在真空中 .现有一质量为m、电荷量为 q的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒 .设：筒壁是
8、光滑的， P 与筒壁碰撞是弹性的， P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的 .若要使 P与筒壁碰撞的次数最少，问： 1.P 的速率应为多少？ 2.P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？ 八、 (25 分 )图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是 水平的，截面的边 长都是 l.一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B点使小球处于 C 点 .现给小球一竖直向下的初速度 v0，使小球与 CB 边无接触地向下运动，当 ，分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？ 1. 2. 设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的
9、 . 九、 (25 分 )从赤道上的 C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少 .假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体， R=6400km.已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E与椭圆半长轴 a的关系为 式中M 为地球质量， G 为引力常量 . 1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和 方向 (用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示 ). 2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 3.试导出 . 参考答案及评分标准 一、参考解答： 1.线剪断前，整个系统处于平衡状态 .此时弹簧 S1的弹力F1=(mA+
10、mB+mC)g (1) 弹簧 S2的 弹力 F2=mCg (2) 在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故 F1、 F2的大小尚未变化，但线的拉力消失 .设此时球 A、B、 C的加速度的大小分别为 aA、 aB、 aC，则有 F1-mAg=mAaA (3) F2+mBg=mBaB (4) F2-mCg=mCaC (5) 解以上有关各式得 ，方向竖直向上 (6) ，方向竖直向下 (7) aC=0 (8) 2.开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡 . (i)从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段 .起初，板向下加速移
11、动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动 .在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小 .向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小 .当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起 .接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在AB 处 .在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总 是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变 . (ii)从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动
12、也经历两个阶 .起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动 .接着，磁铁和板一起作加速度力减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小 .当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起 . 评分标准： (本题 20 分 ) 1.10 分 .(1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)、 (6)、 (7)、 (8)式各 1分， aA、 aB的方向各 1 分 . 2.10 分 .(i)5 分， (ii)5 分 .(必
13、须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这 5分，否则不给分 ). 二、参考答案 1. (iii) 2.f1， f4. 评分标准： (本题 20 分 ) 1.12 分 .(i)4 分， (ii)4 分， (iii)4 分 . 2.8 分 .两个空格都填对，才给这 8 分，否则 0 分 . 三、参考解答： 1. (i)通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间 .设 P 点的坐标为 x0，则有 (1) 已知 q2=2q1 (2) 由 (1)、 (2)两式解得 (3) (ii)先考察点电荷 q0被限制在沿 x 轴运动的情况 .q1、 q2两点电荷在 P 点处产生的场强
14、的大小分别为 方向沿 x轴正方向 方向沿 x 轴负方向 由于 处合场强的方向沿 x轴的正方向，即指向 P点 . 由以上的讨论可知，在 x轴上，在 P 点的两侧，点电荷 q1和 q2产生的电场的合场强的方向都指向 P 点，带正电的点电荷在P 点附近受到的电场力都指向 P 点，所以当 q0 0 时， P 点是 q0的稳定平衡位置 .带负电的点电荷在 P点附近受到的电场力都背离 P 点，所以当 q0 0时， P 点是 q0的不稳定平衡位置 . 再考虑 q0被限制在沿垂直于 x轴的方向运动的情况 .沿垂直于 x 轴的方向，在 P 点两侧附近，点电荷 q1和 q2产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点，因而带正电的点电荷
