1、人工智能Artificial Intelligence,主讲: 相明西安交通大学电信学院计算机系E_mail：,4.5模糊推理,4.5.1：模糊理论1模糊集定义4.4 设U是论域，A是把任意uU映射为0，1上某个值的函数，即 则称A为定义在U上的一个隶属函数。由A(u)(uU)所构成的集合A =A(u), uU称为U上的一个模糊集，A(u)称为u对A的隶属度， A称为模糊集A的隶属函数。,若论域离散且有限，则模糊集A可表示为：A=A(u1),A(u2),A(un)也可写为：A=A(u1)/u1+A(u2)/u2+A(un)/un或者：A=A(u1)/u1,A(u2)/u2,A(un)/unA=
2、(A(u1),u1),(A(u2),u2),(A(un),un)隶属度为0的元素可以不写。,例如，在论域U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9上，以下形式都可以用来表示模糊集“大”：大=0, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1大=0/0+0.2/1+0.3/2+0.4/3+0.5/4+0.6/5+0.7/6+0.8/7+0.9/8+1/9大=0/0, 0.2/1, 0.3/2, 0.4/3, 0.5/4, 0.6/5, 0.7/6, 0.8/7, 0.9/8, 1/9大=0.2/1, 0.3/2, 0.4/3, 0.5/4, 0.6/5, 0
3、.7/6, 0.8/7, 0.9/8, 1/9,无论论域U有限还是无限，离散还是连续，扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示形式:U上的全体模糊集记为：F(U)=A|A:U0,1或F(U)=A|A:U0,1,2模糊集的运算：主要有包含、交、并、补等等。定义4.5 设A，BF(U)，若对任意uU，都有B(u)A(u)成立，则称A包含B，记为 。定义4.6 设A，BF(U)，分别称AB和AB为A与B的并集和交集，称A为A的补集或者余集。它们的隶属函数分别为：,3.模糊关系定义4.7 设Ai是Ui(i=1,2,n)上的模糊集，则称为A1,A2,An的笛卡儿乘积，它是U1U2Un上的一个模糊集。定义4.
4、8 在U1U2Un上一个n元模糊关系R是指以U1U2Un为论域的一个模糊集，记为,当U和V都是有限论域时，其模糊关系R可用一个矩阵表示。U=u1,u2,umV=v1,v2,vn则UV上的模糊关系为,例 设U=V=u1,u2,u3,R是“信任关系”，则可有,定义4.9 设R1与R2分别是UV与VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指UW上的一个模糊关系，记为R1R2其隶属函数为,例 设有两个模糊关系则R1与R2的合成是合成法则类似与矩阵乘法。 ( 0.2 0.4 0.1 ),4模糊逻辑 含有模糊概念、模糊数据的语句称为模糊命题。它的一般表示形式为：xis A其中，A是一个模糊概念，用相应的模
5、糊集及隶属函数表示； x用以指代所论述的对象。例如， 张三is年轻的此时x为“张三”，“年轻的”即模糊集A。,5模糊匹配：（1）模糊产生式规则的一般形式是：IFETHENH其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的模糊结论；因此模糊产生式规则可具体表示为：IFx is A THEN y is B（2）推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为xisA（3）模糊推理要解决的问题：证据与知识的条件是否匹配：如果匹配，如何利用模糊规则及证据推出结论。,在模糊推理中，知识前提条件中的A与证据中的A不一定完全相同，因此首先必须考虑匹配问题。例如： IF x is 小 THEN y is
6、大 x is 较小两个模糊集或模糊概念的相似程度称为匹配度。常用的计算匹配度的方法主要有贴近度、语义距离及相似度等。（1） 贴近度设A与B分别是论域U=u1,u2,un上的两个模糊集，则它们的贴近度定义为：(A,B)= AB+(1-AB) /2其中,(2) 语义距离海明距离欧几里得距离明可夫斯基距离切比雪夫距离匹配度为：1-d(A,B),(3) 相似度 最大最小法 算术平均法 几何平均最小法,(1) 分别计算出每一个子条件与其证据的匹配度例如对复合条件E=x1 is A1 AND x2 is A2 AND x3 is A3及相应证据E:x1 is A1 , x2 is A2 , x3 is A
7、3分别算出Ai与Ai的匹配度match(Ai,Ai),i=1,2,3。(2) 求出整个前提条件与证据的总匹配度。常用的方法有“取极小”和“相乘”等。match(E,E)=minmatch(A1,A1),match(A2,A2), match(A3,A3)match(E,E)=match(A1,A1)match(A2,A2)match(A3,A3)(3) 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配，否则为不可匹配。,复合条件的模糊匹配,6模糊推理的基本模式(1) 模糊假言推理知识：IF x is A THEN y is B证据：x is A-结论：y is B对于复合条件有：知识：IF x
8、1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B证据： x1 is A1 ， x2 is A2 ， ， xn is An-结论： y is B,(2) 模糊拒取式推理知识：IF x is A THEN y is B证据：y is B-结论：x is A(3)如何由模糊规则和证据推出结论我们主要讨论扎德等人的方法。这种方法的基本思想是：首先由模糊知识 IFx is ATHEN y is B求出A与B之间的模糊关系R；然后再通过R与相应证据的合成求出模糊结论。,4.5.2 简单模糊推理,知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理
9、。合成推理规则：对于知识IF x is A THEN y is B首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合成求出结论。 如果已知证据是x is A且A与A可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B：B=AR 如果已知证据是y is B且B与B可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A：A=RB,构造模糊关系R的方法,1. 扎德方法扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。设AF(U),BF(V)，其表示分别为且用，分别表示模糊集的笛卡儿乘积、并、交、补及有界和运算，则扎德把Rm和Ra分别定义为：,IF x i
10、s A THEN y is B对于模糊假言推理，若已知证据为x is A则：Bm=ARmBa=ARa对于模糊拒取式推理，若已知证据为y is B则：Am=RmBAa=RaB,例 设U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5并设模糊知识及模糊证据分别为： IF x is A THEN y is B x is A其中，A的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3则由模糊知识可分别得到Rm与Ra：,IF x is A THEN y is B,Bm=ARm =1,0.4,0.2,0,0=0.4,0.4,0.4,0.6,1Ba=ARa=0.4,0.4,
11、0.4,0.6,1若已知证据为:y is B,且B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.5/4+0.3/5,则：Am=RmB Aa=RaB=0.5,0.6,0.6,0.6,0.6,2. Mamdani方法 IF x is A THEN y is B对于模糊假言推理，Bc= ARc对于模糊拒取式推理，Ac=RcB,3. Mizumoto方法提出了一组构造模糊关系的方法，分别记为Rs,Rg,Rsg,Rgs, Rgg,Rss等等。其定义分别为：,设U=V=1,2,3,4,5, A=1/1+0.5/2, B=0.4/3+0.6/4+1/5 模糊知识： IF x is A THEN y is B 模
12、糊证据： x is A 其中，A的模糊集为：A=1/1+0.4/2+0.2/3Bs=ARs=0.2,0.2,0.2,0.4,1Bg=ARg=0.2,0.2,0.4,0.6,1,4各种模糊关系的性能分析比较模糊关系性能所依据的基本原则：原则1：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is A-结论：y is B原则2：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is very A-结论：y is very By is B,原则3：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is more or less A-结论：y is more or less
13、By is B原则4：知识：IF x is A THEN y is B证据：x is not A-结论：y is unknowny is not B以上原则是针对模糊假言推理的。,各种模糊关系的性能分析(3),原则5：知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not B-结论：x is not A （该结论必须满足） 原则6：知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not very B-结论：x is not very A,各种模糊关系的性能分析(4),原则7：知识：IF x is A THEN y is B证据：y is not more or
14、less B-结论：x is not more or less A原则8：知识：IF x is A THEN y is B证据： y is B-结论：x is unknownx is A,模糊关系评测实例,设U=V=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 （小）B=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10 （大）,根据基本概念扩充法，由A可得：very A=1,0.64,0.36,0.16,0.04,0,0,0,0,0more or less A=1,0.89,0.77,0.63,0.45,0,0,0,
15、0,0not A=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1,1,1,1not very A=0,0.36,0.64,0.84,0.96,1,1,1,1,1not more or less A=0,0.11,0.23,0.37,0.55,1,1,1,1,1,由B可得：very B=0,0,0,0.04,0.16,0.36,0.64,1,1,1more or less B=0,0,0,0.45,0.63,0.77,0.89,1,1,1not B=1,1,1,0.8,0.6,0.4,0.2,0,0,0not very B=1,1,1,0.96,0.84,0.64,0.36,0,0,0not mor
16、e or less B=1,1,1,0.55,0.37,0.23,0.11,0,0,0,各种模糊关系符合推理原则情况一览表,4.5.3 模糊三段论推理,R1: IF x is A THEN y is BR2: IF y is B THEN z is C-R3: IF x is A THEN z is C其中A、B、C分别是论域U、V、W上的模糊集。设R(A,B),R(B,C)与R(A,C)分别是根据上述模糊知识得到的模糊关系，它们分别定义在UV,VW,UW上，如果R(A,B)R(B,C)=R(A,C)则称模糊三段论成立。B= AR(A,B), C=B R(B,C)= AR(A,B) R(B,C
17、)= AR(A,C),满足模糊三段论的模糊关系,在前面讨论的15种模糊关系中，有一些能满足模糊三段论，有一些不能满足。设U=V=W=1,2,3,4,5A=1/1+0.6/2+0.2/3B=0.3/3+0.7/4+1/5C=0.09/3+0.49/4+1/5对Rm由R1，R2，R3分别得到：,显然，Rm(A,B)Rm(B,C)Rm(A,C)。这说明Rm不满足模糊三段论。,显然，Rg(A,B)Rg(B,C)=Rg(A,C)这说明Rg满足模糊三段论。,各种模糊关系满足模糊三段论情况,表中，“v”表示满足，“”表示不满足。,4.5.4 多维模糊推理,多维模糊推理是指知识的前提条件是复合条件的一类推理。
18、其一般模式为：知识：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B证据： x1 is A1 x2 is A2 xn is An-结论：y is B其中，Ai，AiF(Ui);B,BF(V);Ui及V是论域，i=1,2,n。对于多维模糊推理，目前主要有三种处理方法。1. 扎德方法 (Ui=U)该方法的基本思想是：(1)求出A1,A2,An的交集，并记为A。(2)求出A与B之间的模糊关系R(A,B)，也可记为R(A1,A2,An,B)。(3)求出证据中A1,A2,An的交集，并记为A。(4)由A与R(A,B)的合成求出B。（该方法要求Ai定
19、义在相同的论域）,多维模糊推理举例,例 设U=V=W=1,2,3,4,5A1=1,0.6,0,0,0, A2=0,1,0.5,0,0, B=0,0,1,0.8,0A1=0.8,0.5,0,0,0, A2=0,0.9,0.5,0,0由此可得:A1A2=0,0.6,0,0,0， A1A2=0,0.5,0,0,0Ba=(A1A2)Ra(A1,A2,B)=0.4,0.4,0.5,0.5,0.4,2. 祖卡莫托(Tsukamoto)方法知识：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B证据： x1 is A1 x2 is A2 xn is An
20、-结论：y is B（1）首先构造各个子条件与结论之间的模糊关系 R(Ai,B),i=1,2,n（2）根据复合条件中的每一个子条件求出相应的Bi： Bi=AiR(Ai,B),i=1,2,n（3） 对各Bi取交集，从而得到B： B=B1B2Bn3. 苏更诺(Sugeno)方法,4.5.5 多重模糊推理,所谓多重模糊推理，一般是指知识具有如下表示形式的一种推理：IF x is A1THENy is B1ELSEIF x is A2THENy is B2ELSEIF x is AnTHENy is Bn其中，AiF(U),BiF(V),i=1,2,n。这里只讨论它的一种简单形式：IFx is A T
21、HEN y is B ELSE y is C其中AF(U),B,CF(V)。,知识：IF x is A THEN y is BELSEy is C证据 x is A -结论： y is D其中A, AF(U); B,C,DF(V)。推理方法：通过A、B、C构造UV上的一个模糊关系R，然后，通过A与R的合成得到结论D，即D=AR,多重模糊推理中的模糊关系,4.5.6 带有可信度因子的模糊推理,知识：IF x is A THEN y is BCF1证据： x is A CF2-结论： y is B CF结论可信度的计算：CF=match(A,A)CF1CF2CF=match(A,A)minCF1,
22、CF2CF=match(A,A)max0,CF1+CF2-1CF=minmatch(A,A),CF1,CF2,组合证据,知识：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B CF0证据： x1 is A1 CF1 x2 is A2 CF2 xn is An CFn-结论： y is B CF组合证据的匹配度：match(E,E)=minmatch(A1,A1),match(A2,A2), match(A3,A3)match(E,E)=match(A1,A1)match(A2,A2)match(A3,A3)组合证据的可信度：CF1 =CF1CF2CFnCF1 =CF1CF2CFn结论的可信度： CF=match(E,E)CF0CF1,结论不确定性的合成,结论不确定性的合成：假设根据两组证据及相关知识分别推出了如下两个结论：y is B1 CF1y is B2 CF2则可用如下方法得到它们的合成结论和可信度因子：B=B1B2CF=CF1+CF2-CF1CF2使用这种方法时，一般要求两个推理序列是相互独立的。,完谢谢,
