1、 1 专题复习之 随机变量及其分布 一、知识点解析 （一）离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、等表示 . 随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 . 随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量 . 2.离 散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 ， ， ， 取每一个值 （ 1， 2，）的概率 ，则称下表 . P P1 P2 为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 .由概率的性质可知，任一离散型
2、随机变量的分布列都具有下述两个性质： （ 1） ， 1， 2， ;（ 2） . 常见的离散型随机变量的分布列： （ 1） 二点分布： 若离散型随机变量 服从参数为 的二点分布，则 期望 方差 证明： , , , 2 （ 2）二项分布 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为 0， 1，2， n， 并且 ，其中 ， ，随机变量 的分布列如下： 0 1 P 称这样随机变量 服从二项分布，记作 ，其中 、 为参数，并记：. 期望 方差 期望公式证明： ， ， 又 ， （ 2） 超几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散
3、型 随机变量，“ ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生 . 随机变量 的概率分布为： 1 2 3 k P p qp 3、 离散型随机变量的期望与方差 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为： 3 P 、期望： 性质： ； 若 ( 是常数 )， 是随机变量，则 也是随机变量， ； 若 (a、 b 是常数 )， 是随机变量，则 也是随机变量，有 ； ； 设 、 相互独立，则 。 推论 1： （ 均是常数）。 特别地： . 推论 2： 若 相互独立，则 . 性质的推导： 的分布列为 P 于是 ) ) 。 、方差： 性质： 4 ； 若 ( 是常数 )， 是随机变量，则 也是随机变量， ； 若
4、 (a、 b 是常数 )， 是随机变量，则 也是随机变量， ； 若 相互独立，则 。 、标准差： . 、 期望和方差的关系： 2、求离散型随机变量 的期望、方差、标准差的基本步骤： 理解 的意义，写出 可能取的全部值； 求 取各个值的概率，写出分布列； 根据分布列， 由期望、方差的定义求出 、 、 . 注意： 常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可 （二）、正态分布 1正态分布密度函数： 22()21() 2 xf x e ，（ 0， - x） 其中是圆周率； e 是自然对数的底； x是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差 .正态分布一般记为 ),( 2N
5、奎屯王新敞 新疆 2正 态分布 ),( 2N ）是由均值和标准差唯一决定的分布 3正态曲线的性质 ：正态分布由参数、唯一确定，如果随机变量 N(， 2)，根据定义有： =E ， =D 。 正态曲线具有以下性质： 5 （ 1）曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交。 （ 2）曲线关于直线 x =对称。 （ 3）曲线在 x =时位于最高点 ，峰值为 。 （ 4）当 x 时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近。 （ 5）当一定时，曲线的形状由确定。越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 注意： 决定了图形的中心位置
6、， 决定了图形中峰的陡峭程度 . 4.标准正态分布 （三） 回归直线 1、设所求的直线方程为 , abxy ，其中 a、 b 是待定系数 12 6 112 2 211( ) ( )()nni i i iiinniiiix x y y x y n x ybx x x n xa y b x ， ni ixnx 11 , ni iyny 11 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 奎屯王新敞 新疆 2、 相关系数 ： 相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量 y与 x 的一组观测值，把 niniiiniiiyyxxyyxxr1 1221)()()(= niniiin
7、iiiynyxnxyxnyx1 12221)(叫做变量 y 与 x 之间的 样本相关系数 ，简称 相关系数 ，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度 . 3、相关系数的性质： r 1，且 r 越接近 1，相关程度越大；且 r 越接近 0，相关程度越小 .一般的，当 r 0.75 时，就可以判断其具有很强的相关性，这时求线性回归方程才有意义。 二、经典例题 1、 设 的分布列为 1 2 3 P 0.1 0.7 0.2 求： ； 的数学期望 . 2、 、 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员， 队队员是 ， 队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率
8、B 队队员胜的概率 A1对 B1 7 A2对 B2 A3对 B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 队、 队最后所得分分别为 ， . （ 1）求 的概率分布； （ 2）求 ， 。 3、 6 件产品中有 2 件次品，从中任意抽取 2 件，含次品的个数的数学期望与方差。 4、有一批数量很大的商品的次品率为 1%，从中任意地连续取出 20 件商品，求抽出次品数的期望与方差。 5、设 ，且 ， ，求 、 ， 8 6、一次单元测验由 20 个选择 题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100
9、 分 .学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。 7、 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲 射手乙 击中环数 8 9 10 击中环数 8 9 10 概率 P 0.2 0.6 0.2 概率 P 0.4 0.2 0.4 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平。 8、袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
10、表示取球终止所需要的取球次数。 （ 1）求袋中所有的白球的个数； （ 2）求随机变量的概率 分布； （ 3）求甲取到白球的概率。 9 9、 某批待出口的水果罐头，每罐净重 x(g)服从正态分布 N(184， 2.52)，求： (1)随机抽取一罐，其实际净重超过 184.5g 的概率。 (2)随机抽取一罐，其实际净重在 179g 与 189g 之间的概率。 10、 设 ),( 2NX ，且总体密度曲线的函数表达式为： 412221)( xxexf ， x R。 （ 1）求，； （ 2）求 )2|1(| xP 的 值。 11、 假设关于某设备的使用年限 x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统
11、计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x呈线性相关关系。试求： （ 1）线性回归方程； （ 2）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 10 12、 某大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率 为 0.1，求在同一时刻 (1) 恰有 2 个设备被使用的概率； (2) 至少有 3 个设备被使用的概率； (3) 至多有 3 个设备被使用的概率？ 13、 调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间 X (单位：分钟 )服从参数为 0.4 的指数分布，求下述事件的概率 (1) X 至多 3 分钟； (2) X 至少 4 分钟； (3) X 在 3 分钟至 4 分钟之间； (4) X 恰为 3 分钟？
