1、 中考在线 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 从梯子的倾斜度谈起 1. （ 2011 浙江湖州）如图，已知在 Rt ABC 中， C=90 ， BC=1， AC=2，则 tanA 的值为 ( ). A 2 B 21 C 55 D 552 答案 B 分析 根据正切的函数定义，角 A 的正切应是它的对边与邻边的比，所以 B 是正确， A 是B 的正切； C 和 D 都错 2.（ 2011 浙江温州）如图，在 ABC 中， C=90， AB=13， BC=5，则 sinA 的值是（ ） . A.135 B.1312 C.125 D.513 答案 A 分析 利用锐角三角函数概念，得 sinA= 5
2、13BCAB 1.2 30， 45， 60角的三角函数 1.（ 2011 浙江丽水）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=3， AD=4， ABC=60 ，过 BC 的中点 E 作 EF AB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则 DEF的面积是 _. 答案 23. 分析 过 C做 CG AB于 G，则 CHFG为矩形，则得 CG=FH，另在 Rt BCG中， FH=CG=BC sinB= 23 4=2 3 .在 Rt BEF 中 , BF=BE cosB= 21 21 4=1.在平行四边形 ABCD 中，AB=CD,BC=AD,AB/CD，则 B= BCH， B= BCH=9
3、0 ,又有 BE=CE，则可得 BEF CEH（ AAS ） , 得 EF=EH,CH=BF=1 ， DH=CH+CD=4, 则可得11 2 3 4 4 322R t D F HS F H D H .又因为 EF=EH，即 DE 为 DFH 的中线 ，则CBACBA1 232D E F R t D F HSS. 2.（ 2011 福建福州市）计算： 21( ) 4sin 302 2009( 1) + 0( 2) 分析 原式 = 4-2-1+1=2. 1.3 三角函数的有关计算 （ 2011 山东省威）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上， AB CF, F=ACB=90 , E
4、=45 , A=60 ,AC=10，试求 CD 的长 . 分析 过点 B 作 FC 的垂线段，构造直角三角形，利用特殊角度，解直角三角形， 过点 B 作FC 的垂线段 BM，在直角三角形 ABC 中求得 BC 的长，在直角三角形 BCM 中得到 CM、 BM 的长，在直角三角形 BMD 中求出 DM 的长，由 CD=CM-DM 得到结果 . 答案 解：过 B 点作 BM FD 于点 M，在 ACB 中， ACB=90 , A=60 ,AC=10， ABC=30 ,BC=AC tan60 =10 3 , AB CF, BCM=30 , BM=BC sin30 =10 3 21 =5 3 , CM
5、=BC cos30 =10 3 23 =15, 在 EFD 中， F=90 , E=45 , EDF=45 , DM=BM=5 3 , CD=CM-DM=15-5 3 . 1.4 船有触 礁的危险吗 （ 2011 广东）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l， AB 是 A 到 l的小路 . 现新修一条路 AC 到公路 l. 小明测量出 ACD=30， ABD=45， BC=50m. 请你帮FED CBA小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m；参考数据： 414.12 ，732.13 ） . 分析 在两个直角三角形中 ,用 AD 来表示出 DB、
6、 DC,再由 DC-DB=BC=50 求得 . 解答 在 Rt ADC中， ACD=30 , DC=AD tan30 = 3 AD; 在 Rt ADB中， ACD=45 , DB=AD; DC-DB=BC=50, 3 AD-AD=50, AD=25( 3 +1) 68.3m. 1.5 测量物体的高度 （ 2011 德州市 ) 某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如示意图，由距 CD一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 ，在 A和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 测得 A， B 之间的距离为 4 米， tan 1.6 ， t
7、an 1.2 ，试求建筑物 CD 的高度 分析 在 Rt DGF 中 ,中 ,用 DG 来表示出 GF, 在 Rt DGE 中 ,用 DG 来表示出 GE,再由GE-GF=EF=4 求得 . 解答 解：设建筑物 CD与 EF 的延长线交于点 G， DG=x 米在 Rt DGF 中 ,tan DGGF ，即 tan xGF 在 Rt DGE 中， tan DGGE ，即 tan xGE tanxGF ，tanxGE tanxEF tanx 4 1.2 1.6xx解方程得： x =19.2 CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4 B C l D A A C D B E F G 第二章 二次函
8、数 2.1 二次函数所描述的关系 (2011 成都市 )某学校要在围墙旁 建一个长方形的中药材种 植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限 )， 另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD.已知木栏总长为 120 米，设 AB 边的长为 x 米，长方形 ABCD 的面积为 S 平方米求 S与 x 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 x 的取值范围 ) 分析 用 x 表示出 BC，利用矩形面积公式得出 S. 解答 AB=x, BC=120-2x, S=AB BC=x(120-2x)=-2x2+120x. 2.2 结识抛物线 1. （ 2011 浙江温州）已知二次函数的图象 (0
9、 3)x 如图所示 .关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） . A. 有最小值 0，有最大值 3 B. 有最小值 -1，有最大值 0 C. 有最小值 -1，有最大值 3 D. 有最小值 -1，无最大值 答案 C 分析 在自变量 x 范围内，分析二次函数图象，知道有最小值（最低点处 y 得值），有最大值 3（当自变量 x=3 时） . 2. (2011 年安徽 )如图所示， P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一动点，过 P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、 N 两点，设 AC=2， BD=1， AP=x，则 AMN 的面积为 y，则 y 关于 x 的函
10、数图象的大致形状是 ( ). 解答 C 分析 AC=2， BD=1， MN BD， MN=AP， S AMN=y=AP MN 2=12 x2（点 P在 BD 左边，即 x 1） ；当点 P在 BD 右边时，即 1 x 2， 这时 MN=CP=2-x， S AMN=y=AP MN 2=12 x（ 2-x） =-12 x2+x. 2.3 刹车距离与二次函数 (2011 湖南益阳 )如图，已知抛物线经过 定点 A（ 1， 0），它的顶点 P是 y 轴正半轴上的一个动点 ， P 点关于 x 轴的对称点为 P ，过 P 作 x 轴的平行线交抛物线于 B、 D 两点（ B 点在y 轴右侧），直线 BA 交
11、 y 轴于 C 点按从特殊到一般的规律探究线段 CA 与 CB 的比值： （ 1）当 P 点坐标为（ 0， 1）时，写出抛物线的解析式并求线段 CA 与 CB 的比值； （ 2）若 P 点坐标为（ 0， m）时（ m 为任意正实数），线段 CA 与 CB 的比值是否与所求的比值相同？请说明理由 分析 由于抛物线关于 y 轴对称，表示出抛物线的解析式，得到 C、 P、 P 的坐标 ，借助相似得出比值 . 解答 解： 设抛物线的解析式为 y=ax2+1(a 0) ， 抛物线经过 A(1,0)， a+1=0,得 a=-1 ， y=-x2+1. P、 P 关于 x 轴对称，且 P（ 0,1） , P点
12、的坐标为（ 0， -1）， P B x轴 , B点的纵坐标为 -1， 由 -1=-x2+1解得 x= 2 ， B( 2 ,-1), P B= 2 . OA P B, CP B COA, CBCA = BPOA =21= 22 . 设抛物线的解析式为y=ax2+m(a 0) ，抛物线经过 A(1,0)， a+m=0,得 a=-m ， y=-mx2+m. P B x 轴 , B 点的纵坐标为 -m，当 y=-m 时， -mx2+m=-m, m(x2-2)=0, m 0, x2-2=0, x= 2 ， B( 2 ,-m), P B= 2 .同得 CBCA = BPOA =21= 22 . m为任意正
13、实数时 CBCA = 22 . x y B A PP P 1 O C D . . . . . . 2.4 二次函数 y=ax2+bx+c的图像 1.（ 2011 浙江义乌）如图，一次函数 y= 2x 的图象与二次函数 y= x2+3x 图象的对称轴交于点 B. （ 1）写出点 B 的坐标 ； （ 2）已知点 P 是二次函数 y= x2+3x 图象在 y 轴 右侧 部分上的一个动点，将直线 y= 2x 沿y 轴向上平移，分别交 x 轴、 y 轴于 C、 D 两点 . 若以 CD 为直角边的 PCD 与 OCD 相似，则点 P 的坐标为 . 答案 （ 1） )3-23( ， （ 2） （ 2， 2
14、）、 4521 ，、 1611411，、 2526513，. 分析 由于 y=-x2+3x=- (x-32 )2+94 ,所以对称轴为直线 x=32 ，由于直线 y=-2x 与对称轴相交，所以当 x=32 时， y=-3.所以 B )3-23( ， ；以 CD 为直角边，则可能 PCD 为直角，也可能 PDC 为直角，如当 PCD=90 度时，设 OC=a,则 oD=2a,则 CD=5 a,过点 P作 PE x 轴，因为 OCD CPD EPC，所以 CE=a,PE=2a ,所以 OE=2a,所以 P 的坐标为（ 2a,2a ） ,把 P点代入 2x3yx 得： a=118 或 0（舍去），所
15、以 P（ 11 11,4 16 ），其他情况仿照得出 . 2. (2011 温州市 )如图，在平 面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ -2,4），过点A 作 AB y 轴，垂足为 B，连结 OA. （ 1）求 OAB 的面积； （ 2）若抛物线 y=-x2-2x+c 经过点 A. 1 求 c 的值； 2 将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部（不包括 OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即 可） . 分析 （ 1）利用点的坐标与线段长转化以及直角三角形面积公式；（ 2）点 A 坐标代人解析O B C D O x 1 2 3 1
16、 1 1 式，确定 c 的值，配方成顶点 式，借助顶点坐标数值以点带面对函数图象的平移进行分析。 答案 解：（ 1）点 A 的坐标是（ -2,4）， AB y 轴， AB=2， OB=4. OABS =12 AB OB=12 2 4=4 （ 2）把点 A 的坐标（ -2,4）代人 y=-x2-2x+c， 得 -（ -2） 2-2（ -2） +c=4， c=4. y=-x2-2x+4=-（ x+1） 2+5 抛物线顶点 D 的坐标为（ -1,5）， AB 的中点 E 的坐标是（ -1,4）， OA的中点 F 的坐标是（ -1,2）， m 的取值范围为 1 m 3. 2.5 用三种方式表示二次函数
17、 1. （ 2011 山东省威）二次函数 y=x2-2x-3 的图像如图所示，当 y 0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） . A.-1 x 3 B.x -1 C.x 3 D.x -1 或 x 3 答案 A. 分析 当 y 0 时，对应图像就是 x 轴下面的部分，根据图形确定自变量的取值范围 . 2. (2011 山东日照 )如图，是 二次函 数 y=ax2+bx+c（ a 0） 的图 象的一部分 ， 给出下列命题 ： a+b+c=0； b 2a； ax2+bx+c=0 的两根分别为 -3 和 1； a-2b+c 0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号） 答 案 . 分析 由图象可知
18、， a 0,b 0,c 0,-2ba =-1, b=2a, 是错的； 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 1， 0），对称轴 x=-1,则另一个交点为（ -3， 0）， 正确； 将（ 1， 0）代入得 a+b+c=0，故 正确 ； a+b+c=0， b=2a, b 0, a-2b+c=-3b 0， 故 是对的 . 2.6 何时获得最大利润 (2011 菏泽市 )我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元，售价 20 元，多买优惠 ；凡是一次买 10 只以上的，每多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20只计算器，于是每只降价 0.10 (20-10)=1(元 ),因
19、此，所买的全部 20 只计算器都按照每只19 元计算，但是最低价为每只 16 元 . (1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ (2).写出该专卖店当一次销售 x(时，所获利润 y(元 )与 x(只 )之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 分析 第（ 2）问中分段考虑，按三种情况来分别写出来；（ 3）中借助二次函数的最值来解决 . 解答 解 :(1)设一次购买 x 只，才能以最低价购买，则有 : 0.1(x-10)=20-16,解这个方程得 x=50;(2) 22 0 1
20、3 7 ( 0 5 01 ( 2 0 1 3 ) 0 . 1 ( 1 0 ) 8 ( 1 0 5 0 )101 6 1 3 = 3 ( 5 0 )x x x xy x x x xx x x x ） ; (3)将 21 810y x x 配方得 21 ( 40 ) 16 010yx ，所以店主一次卖 40 只时可获得最高利润，最高利润为 160元 . 2.7 最大面积是多少 (2011 杭州 )图形既关于点 O 中心对称，又关于直线 AC、 BD 对称， AC=10， BD=6，已知点 E，M 是线段 AB 上的动点（不与端点重合），点 O 到 EF、 MN 的距离分别为 h1， h2, OEF
21、 与 OGH组成的图形称蝶形 . (1)求蝶形面积 S 的最大值； (2)当以 EH 为直径的圆与以 MQ 为直径的圆重合时，求 h1与 h2满足的关系式，并求出 h1的取值范围 . 分析 首先根据图形 的对称性分析出图形的形状，然后再利用图形特征和已知解题 .（ 1）由题得 面积 S 是三角形 OEF 面积的 2 倍，找有关三角形 OEF 面积的关系式，利用配方法求二次函数的最值 ； （ 2）是一道综合性问题，结合已知条件和图形寻找突破口 . 答案 解： （ 1）由题意，得四边形 ABCD 是菱形 .由 EF BD，得 ABD AEF， 1565hEF ，即 EF= 56 (5-h1) ,
22、S=2S OEF=EF h1=56 (5-h1) h1=-56 ( h1-25 )2+215 , 当 h1=25 时，Smax=215 .（ 2）根据题意，得 OE=OM.如图，作 OR AB 于 R， OB 关于 OR 对称线段为 OS， 1）当点 E,M 不重合时，则 OE,OM在 OR 的两侧，易知 RE=RM. AB= 22 35 = 34 , OR=3415, BR= 22 )3415(3 =349,由 ML EK OB,得 ,O K B E O L B MO A A B O A A B, OAOK +OAOL=ABBE +ABBM= ABBR2 ，即 51h +52h =179,
23、h1+h2=1745 ，此时 h1的取值范围为 0h1 1745 且 h1 3445 ; 2）当点 E,M 重合时，则 h1=h2，此时 h1的取值范围为 0 h1 5. 2.8 二次函数与一元二次方程 ( 2011 山东省威海 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（ -3,0），点 B（ 1,0），交 y 轴于点 E（ 0， -3），点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 l 过点 F 且与 y轴平行，直线 y=-x+m 过点 C，交 y 轴于点 D. （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作
24、 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于点 G，求线段 HG 长度的最大值； （ 3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标 . 分析 第（ 1）小题用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物 线与 y 轴的交点坐标代入求得 a 的值，得出二次函数的表达式；第（ 2）小题中， H、 G 的横坐标相同，用一字母 t 表示出 H、 G 两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于 t 的二次三项式，结合 t 的取值范围，求的 HG 的最大值；第（ 3）小题要分 AC 是对角线和边两种情况来讨论，AC 为边
25、时，点 M、 N 的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细 解答 解：（ 1）设抛物线的函数表达式为 y=a(x-1)(x+3). 抛物线交 y 轴于点 E（ 0， -3），将该点坐标代入得 a=1,抛物线的函数表达式为 y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. (2) 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 A 的坐标为（ -3,0），点 B 的坐标（ 1,0），点C 的坐标（ 5,0） .将点 C 的坐标代入 y=-x+m,得 m=5，直线 CD 的函数表达式为 y=-x+5.设K 点的坐标为（ t,0） ,则 H 点坐标为 (t,-t+5),点 G 的坐标为（ t
26、,t2+2t-3） .点 K 为线段A x B C D H E F G K O x y l A B C D H E F G K O y l 备用图 图 AB 上一动点， -3 t 1. HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+23 )2+441. -3 t 1. 当 t=-23 时，线段 HG 的长度有最大值441.（ 3）点 F 是线段 BC 的中点 .点 B（ 1,），点C（ 5,0），点 F 的坐标为（ 3,0），直线 l 过点 F 且与 y 轴平行，直线 l 的函数表达式为 x=3,点 M 在直线 l 上，点 N 在抛物线上，设点 M 的坐标为（ 3， m）
27、,点 N 的坐标为（ n,n2+2n-3） .点 A（ -3,0），点 C（ 5,0） . AC=8.分情况讨论： 若线段 AC 是以点 A,C,M,N 为顶点的 平行四边形的边，则须 MN AC,且 MN=AC=8，当点 N 在点 M 的左侧时， MN=3-n， 3-n=8，解得 n=-5，点 N 的坐标为（ -5， ,1）； 当点 N 在点 M 的右侧时， MN= n-3， n-3=8，解得 n=11，点 N 的坐标为（ 11， 140） . 若线段 AC 是以点 A,C,M,N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点 C 是点 A 关于点B 的对称点”知：点 M 与点 N 关于点 B 中心对
28、称，取点 F 关于 B 的对称点 P，则 P 的坐标为（ -1,0），过 P 作 NP x 轴，交抛物线于点 N， 将 x=-1 代入 y=x2+2x-3.得 y=-4， 过点 N， B 作直线 NB 交直线 l 于点 M， 在 BPN 与 BFM 中， NBP= MBF BF=BP BPN= BFM=90 BPN BFM, NB=MB. 四边形 ANCM 为平行四边形， 坐标为（ -1， -4）的点 N 符合条件 . 当 N 点的坐标为（ -5,12），（ 11,140），（ -1， -4）时，以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形 . 第三章 圆 3.1 车轮为什么做成圆形 1.（ 2011 年浙江 ） 如图，半径为 10 的 O 中，弦 AB 的长为 16，则 圆心到 这条弦的 距离 为（ ） 2 A.6 B.8 C.10 D.12 解答 A 分析 过 O 作 OC AB， OA=OB， AC=BC， AB=16， AC=8， OA=10， OC=6. 2.（ 2011 湖北巴中） 如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆上， BAC=20， BOC 等于（ ） A 20 B 30 C 40 D 50 A BO
