1、 第 1 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 中考数学创新题 -折叠剪切问题 折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题 . 一折叠后求度数 【 1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， BC、 BD 为折痕，则 CBD 的度数为（ ） A 600 B 750 C 900 D 950 答案： C 【 2】 如图 ,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后 ,点 D、 C 分别落 在 D、 C的位置，若 EFB 65，则 AED等于（ ） A 50 B 55 C 60 D 65 答案： A 【 3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（ 1）所
2、示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（ 2）所示的正五边形 ，其中 度 . 答案： 36 二折叠后求面积 【 4】 如图 ,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为AE，再将 AED 以 DE 为折痕向右折叠， AE与 BC 交于点 F，则 CEF 的面积为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 图（ 1） 第 3 题图 C D E B A 图 （ 2） 第 2 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 答案： C 【 5】 如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、 F 分别是 AB、 BC 的中点，若沿左图中的虚线剪
3、开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 A 2 B 4 C 8 D 10 答案： B 【 6】 如图 a， ABCD 是一矩形纸片， AB 6cm， AD 8cm， E 是 AD 上一点，且 AE 6cm。 操作： （ 1）将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与 AE 重合，得折痕 AF，如图 b；（ 2）将 AFB 以 BF为折痕向右折过去，得图 c。则 GFC 的面积是（ ） E A A A B B B C C C G D D D F F F 图 a 图 b 图 c 第 6 题图 第 3 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 A.1cm2 B.2 cm2 C
4、.3 cm2 D.4 cm2 答案： B 三折叠后求长度 【 7】 如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 ED BC ，则 CE 的长是（ ） （ A） 10 3 15 （ B） 10 5 3 （ C） 5 3 5 （ D） 20 10 3 答案： D 四折叠后得图形 【 8】 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（ ） A矩形 B三角形 C梯形 D菱形 答案： D 【 9】 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两
5、部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ） A. B. C. D. 答案： D 【 10】 小强拿了张正方形的纸如图（ 1），沿虚线对折一次如图（ 2），再对折一次得图（ 3），然后用剪刀沿图（ 3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( ) A B C D E F 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 4 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 答案： D 【 11】 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN（图甲），再把 B 点叠在折痕 MN 上的 B 处。得到 Rt ABE （图乙），再延长 EB 交 AD 于 F，所得到
6、的 EAF 是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 答案： B 【 12】 将一圆形纸片对折 后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ） 答案： C 【 13】 如图 1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是 （ ） 第 10 题图 A B C D图3图 1 第 12 题图 第 5 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 答案： C 【 14】 如图， 已知 BC 为 等腰 三角形 纸片 ABC 的底边， AD BC， AD=BC. 将此三角形 纸片沿 AD 剪开 ，得到
7、两个三角形 ，若 把这两个三角形拼成一个 平面 四边形， 则 能拼出 互不全等 的四边形 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案： D 五折叠后得结论 【 15】 亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影 .请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于 _ .” 答案： 180 【 16】 如图，把 ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则 A 与 1 2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. A 1 2 B.
8、2 1 2 A C. 3 2 1 2 A D. )21(23 A 答案： B 【 17】 从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形 (如图 1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形 (如图 2)，上述操作所能验证的等式是（ A.a2 b2 =(a +b)(a -b) .(a b)2 = a2 2ab+ b2 .(a + b)2 = a2 +2ab+ b2 .a2 + ab = a (a +b) 第 14 题 图 第 15 题图 （ 1） 第 17 题图 （ 2） 第 6 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 答案： A 【 18】 如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 AB
9、a cm，宽 BC b cm， E、 F 分别是 AB、 CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折后，矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则 a b 等于（ ） A 1:2 B 2:1 C 1:3 D 3:1 答案： A 六折叠和剪切的应用 【 19】 将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图） . （ 1）如果 M 为 CD 边的中点，求证： DE DM EM=3 4 5； （ 2）如果 M为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问 CMG 的周长是否
10、与点 M 的位置有关？若有关，请把 CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由 . 答案： （ 1）先求出 DE= AD83， ADDM21， ADEM85后证之 . （ 2）注意到 DEM CMG，求出 CMG 的周长等于 4a，从而它与点 M 在 CD 边上的位置无关 . 【 20】 同学们肯定天天阅读报纸吧 ?我国的报纸一般都有一个共同的特征 :每次 对折后 ,所得的长方形和原长方形相似 ,问这些报纸的长和宽的比值是多少 ? 答案： 2 1. 【 21】 用剪刀将形状如图 1 所示的矩形纸片 ABCD 沿着直线 CM 剪成两部分 ,其中 M为 AD 的中点 .用
11、这两部分纸片可以拼成一些新图形 ,例如图 2 中的 Rt BCE 就是拼成的一个图形 . A BCDEFMG第 19 题图 E B A C B A M C D M 图 3 图 4 图 1 图 2 第 21 题图 第 7 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 (1)用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 Rt BCE 外 ,还可以拼成一些四边形 .请你试一试 ,把拼好的四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内 . (2)若利用这两部分纸片拼成的 Rt BCE是等腰直角三角 形 ,设原矩形纸片中的边 AB和BC的长分别为 a厘米、 b厘米 ,且 a、 b恰好是关于 x的方程 01)1(2
12、 mxmx的两个实数根 ,试求出原矩形纸片的面积 . 答案： （ 1）如图 （ 2）由题可知 AB CD AE，又 BC BE AB AE BC 2AB， 即 ab 2 由题意知 aa2, 是方程 01)1(2 mxmx 的两根 12 12 maa maa消去 a，得 07132 2 mm 解得 7m 或 21m 经检验：由于当 21m ， 0232 aa ，知 21m 不符合题意，舍去 . 7m 符合题意 . 81 mabS矩形 答：原矩形纸片的面积为 8cm2. 【 22】 电脑 CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种 C
13、PU 蕊片，需要长、宽都是 1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为 10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66 张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗） B A C B A M C E M 图 3 图 4 E 第 21 题答案图 第 8 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 答案： 可以切割出 66个小正方形。 方法一： （ 1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为 10.05cm 的圆内，如图中矩形 ABCD。 AB 1 BC 10 对角线 2AC 100 1 101 205.10 （ 2）我们在矩形 AB
14、CD 的上方和下方可以分别放入 9 个小正方形。 GFHEDCBA新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH，矩形 EFGH 的长为9，高为 3，对角线 9098139 222 EG 205.10 。但是新加入的这两排小正方形不能是每排 10 个，因为： 1 0 991 0 0310 22 205.10 （ 3）同理： 89256458 22 205.10 1 0 6258159 22 205.10 可以在矩形 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方形已有了 5 层。 （ 4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7，
15、那么新加入的这两排，每排都可以是 7 个但不能是 8 个。 98494977 22 205.10 1 1 3496478 22 205.10 第 9 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 （ 5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是 9，这两层，每排可以是 4 个但不能是 5 个。 97811694 22 205.10 1 0 6812595 22 205.10 现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5cm 的空间，因为矩形 ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。 10 2 9 2 8 2 7 2 4 66（个） 方法二： 学生也
16、可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内，然后： （ 1）上下再加一层，每层 8 个，现在共有 6 层。 （ 2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层。 （ 3）最后上下还可加一层，但每层只 能是一个，共 10 层。 这样共有： 4 9 2 8 2 6 2 1 66（个） 【 23】 在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形 .李颖同学按照取两组 对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线 AC 折出 CAE= DAC， ACF= ACB 的方法得到菱形 AECF（
17、见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？ 答案： （方案一） 4 151 2 5 4 622AEHS S S 矩 形菱 形230(cm ) （方案二） 设 BE=x，则 CE=12-x 2 2 225A E B E A B x 由 AECF 是菱形，则 AE2=CE2 222 5 (1 2 )xx 11924x A D E H F B C G （方案一） A D E F B C （方案二） 第 23 题图 第 10 页 共 12 页 中考数学创新题 -折叠剪切问题 2 ABES S S矩 形菱 形 = 1 1 1 91 2 5 2 52 2 4 35.21(m) 比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大 . 【 24】 正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下： 仿上面图示的方法，及韦达下列问题： 操作设计： （ 1）如图（ 2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。 （ 2）如图（ 3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。 答案： （ 1） 第 24 题图（ 1） 第 24 题图（ 2） 第 24 题图（ 3） 方法一： 方法二： 第 24 题答案图（ 1） 第 24 题答案图（ 2）
